Ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

· ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

· параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Пример:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M,

N, L

 

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂; пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

 

Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃, которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

 

MKNTPL - искомое сечение

.

 

 

16. Функция y=sinx, ее свойства и график. Функция y=cosx, ее свойства и график.

 

Синусоида:

 

 

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.

Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно начала координат.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π:

sin(x+2 π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z.

sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z.

sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках

 

 

Косинусоида:

 

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π:

cos(x+2 π· k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

cos x = 0при
cos x > 0 для всех
cos x < 0для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:

 

 

17. Периодичность функций y=sinx, y=cosx.

 

Функцию y=f(x), x принадлежит X, называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из множества X выполняется двойное равенство:

f(x-T)=f(x)=f(x+T).

Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y=f(x).

 

Отсюда следует, что, поскольку для любого x справедливы равенства

Sin(x-2п)=sinx=sin(x+2п) и Cos(x-2п)=cosx=cos(x+2п)

Функции y=sinx, y=cosx являются периодическими, причем число 2п служит периодом и той и другой функции.

 

Любое число вида 2пk, где k=+ - 1, + - 2, + - 3…, является периодом функций y=sinx, y=cosx; 2п – основной период и той и другой функции.

 

Пример: y=sin3x

Пусть T – основной период функции y=sinx. Введем обозначение f(x)=sin3x. Тогда

F(x+T)=sin3(x+T)=sin(3x+3T).

Чтобы число T было периодом функции, должно выполняться тождество sin(3x+3T)=sin3x. Значит, 3T=2пn. Но поскольку речь идет о нахождении основного периода, получаем T=2п\3.

 

Преобразование графиков тригонометрических функций

1) Зная график y = f(x) посторить график y = m*f(x), где m – положительное число

a. Если m>1: ординаты точек исходного графика функции (y=f(x)) умножаются на число m и получаются уже ординаты искомого графика (y=m*f(x). Такое преобразование обычно называют растяжением от оси х с коэффициентом “m”.
Как пример смотрите рисунок 88 параграфа 13

b. Если m<1: это уже не растяжение, а сжатие к оси x c коэффициентом . Например, если m= , то говорят о сжатии с коэффициентом 3.
как пример смотрите рисунок 89 параграфа 13

2) Зная график функции y = f(x) построить график функции y = m*f(x), где m = -1

a. По сути дела, из графика y = f(x) нужно получить график y = -f(x), что делается симметрическим преобразованием исходного графика, тобишь, если была точка (0;1), то она переходит в точку (0;-1) и т.д.
Все это довольно неплохо видно на рисунке 91, располагающегося на странице 104 учебника

3) Зная график функции y = f(x),построить график функции y = m*f(x), где m – отрицательное число

a. Все довольно просто

i. Строим график y = f(x)

ii. Растягиваем или сужаем его относительно оси x (в зависимости от положительного коэффициента |m|)

iii. Растянутый/сжатый график отображаем симметрично оси x
Примеры опять же можно глянуть в учебнике

4) Зная график функции y = f(x), построить график функции y = f(k*x), где k –положительное число

a. Вообще график функции y = f(k*x) получается из графика функции y = f(x) с помощью сжатия к оси y с коэффициентом k. Отметим, что при этом точка пересечения графика с осью y остается на месте. Если же 0<k<1, то говорят о растяжении от оси y с коэффициентом .
Чтобы лучше понять: учебник стр. 105-106

5) Зная график функции y = f(x), построить график функции y = f(k*x), ГДе k = -1

a. График функции y = f(-x) можно получить из графика функции y = f(x) путем преобразования симметрии относительно оси y.
Замечание: при построении графика y = f(-x) обычно сначала проверяют функцию y = f(x) на четность/нечетность. Если четная, то график функции y = f(-x) совпадает с графиком y = f(x), если нечетная, то вместо графика y = f(-x) можно построить график y = -f(x)

6) Зная график y = f(x), построить график функции y = f(k*x), где k – отрицательное число.

a. Построить график функции y = f(x)

b. Осуществить его сжатие с коэффициентом |k|

c. Сжатый график отобразить симметрично относительно оси y.

Чтобы посмотреть примеры и получше все понять, смотрите параграф 13 учебника,
страница 102 - 109

19 функция y=tg x y=ctg x их свойства и графики

Свойство 1. Область определения функции у = tg х — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

 

Это свойство означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой нет точки, принадлежащей прямой нет точки, принадлежащей прямой и т.д. Эти прямые проведены пунктиром на рис. 60.

Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между
Свойство 2. у = tg х— периодическая функция с основным периодом п.
Это следует из двойного равенства полученного в § 5.
Значит, если мы построим ветвь графика в полосе от то затем нужно будет сдвинуть построенную ветвь по оси х вправо и влево на п, 2п, Зп и т.д. Тек самым получено второе представление о графике.

Свойство 3. у =tg х—нечетная функция. Это следует из доказанного в § 5 соотношения График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть графика на промежутке от а затем воспользоваться указанной симметрией.

Приступим к построению графика на полуинтервале , Выберем контрольные точки:

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую (рис. 61). Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно начала координат (рис. 62). Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца (рис. 63).

График функции у = tg х называют тангенсоидой. Ту ее часть, которая изображена на рис. 62, обычно называют главной ветвью тангенсоиды.

 

Свойство 4. Функция возрастает на интервале В более общем виде — функция возрастает на любом интервале вида
Свойство 5. Функция у = tg хне ограничена ни сверху, ни снизу.

Свойство 6. У функции у = tg х нет ни наибольшего, ни наимень шего значения.
Свойство 7. Функция у = tg х непрерывна на интервале В более общем виде — функция непрерывна на любом интервале вида
При значениях функция претерпевает разрыв. Каждая прямая вида служит вертикальной асимптотой графика функции.

Свойство 8.

Замечание. Свойства 4—8, прочитанные по графику, можно доказать, опираясь на соответствующие математические утверждения, которые нам с вами пока не известны (поэтому мы и ограничиваемся наглядно-интуитивными представлениями). Впрочем, доказательство одного из свойств мы можем осуществить и сейчас.
Докажем, что функция у=tg х возрастает на полуинтервале . Возьмем два значения аргумента х₁ и х₂из этого промежутка: х₁ < х₂. Тогда в силу возрастания функции х на выбранном полуинтервале, будем иметь sin х₁ < sin х₂. В силу убывания функции у— соs х на выбранном полуинтервале будем иметь соs х₁ > соs х₂. Значит,

Итак, а это и означает возрастание функции у=tg х на выбранном промежутке.

 

20 Арккосинус. Решение уравнения cost = а

В предыдущем параграфе мы отметили, что уравнение вида соs t =а для одних значений а мы решать умеем, а для других — нет.

Определение. Если то агссос а (арккосинус а) — это такое число из отрезка [0, п], косинус которого равен а (рис. 77). Итак,

Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения соs t =а:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

 

 

21 Арксинус. Решение уравнения sint = a

Определение.

Теперь мы в состоянии сделать общий вывод о решении уравнения t = a:

Правда, в трех случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

 

Билет 22 арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x=a, ctg x=a
Арктангенс (arctg a) – это такое число из интервала (-п\2; п\2), тангенс которого равен а
Arctg a = x ótg x = a, -п\2 < х < п\2
Уравнение tg х = а имеет решение
Х=arctg a + пк, л принадлежит Z
Для любого значения а справедлива формула
Arctg (-a)=-arctg a
Арккотангенс (arcctg a) – это такое число из интервалов (0;П), котангенс которого равен а
Arcctg a = x ó ctg x=a, 0< x < П
Уравнение ctg x=a имеет решение
X = arcctg a + пк, K принадлежит Z
Arcctg (-a)= П – arctg a

23 билет
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения - уравнения, в которых перменные содержатся под знаками тригонометрических ф-ций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения типа sin x= a cos,tg,ctg=х, где а- действительное число. К настоящему моменту мы знаем, что:
1) если |а| < или = 1, то решения уравнения cos x= a имеют вид (дальше ->)
X=+или -arccos a + 2пn
2) |a| <,=1
Sinx=a -> х=(-1)в степени n arcsin a + пn
Или X= arcsin a+ 2пk;
Или x= п-arcsin a+2пk
3)|a|>1
Cosx=a, sinx=a не имеют решения
4) tgx=a для любого значения имеют вид x=arctg a+ пн
5) следует выделить частные случаи
Sin x = 0, x=пn
Sinx=1, x=п/2+2пn
Sinx=-1, x=-п/2+2пn
Cosx=0 x=п/2+пn
Cosx=1 x=2 пn
Cosx=-1 x=п +2 пn
____________________
Где Параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения n,k принадлежат z
Также к простейшим относят t(kx+m)=a
T- знак какой либо тригонометрической функции

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнения вида a sin x+ b cos x= 0 называют однородными тригоном. уравнениями первой степени
A sin квадрат(далее2*)x + b cos x=0 называют однородными тригоном. уравнениями второй степени

Алгоритм решения уравнений
A sin (2*) x + b sin x cos x + c cos (2*) x = 0
1. Посмотреть есть ли A sin (2*) x
2. Если есть (а не равно 0) то уравнение решается делением обеих частей на cos (2*) x и последующим введением новой переменной z=tgx
3. Если нет то решаем вынося cos xза скобки и раскладывая