Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона ее к плоскостям проекций

Величина отрезка прямой линии в пространстве выражается гипотенузой прямоугольного треугольника, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость, а другой разности удалений концов отрезка от той же плоскости проекций (рис.12).

 

	АВ0 ║ А1В1 Δ АВВ0 – прямоугольный АВ - истинная величина отрезка АВ0 = А1В1 ВВ0 = ZВ – ZА= ΔZ ВВ1 = ZВ; В0В1 = АА1 = ZА <φ – угол наклона прямой к плоскости проекций <Ψ - угол наклона прямой к плоскости проекций
Рис.2.12

 

Истинная величина отрезка [АВ] определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет [АВ₀]=[А₁В₁], а второй ∆Z = Z_В - Z_А. Угол φ определяется между отрезком [АВ] и горизонтальной проекцией [А₁В₁]= [АВ₀].

Истинная величина отрезка определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого один катет [АВ₀]=[А₁В₁], а второй ∆Y = Y_В - Y_А. Угол Ψ определяется между отрезком [АВ] и фронтальной проекцией [А₂В₂]= [АВ₀].

Рассмотрим пример определения истинной величины отрезка [АВ] на эпюре (рис.13).

 

Рис. 13

 

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

Если две прямые в пространстве параллельны, то и параллельны между собой одноименные проекции прямых. Если а ║ b, то а₁ ║ b₁, а₂ ║ b₂.

Для того, чтобы судить о параллельности двух прямых общего положения в пространстве, необходима и достаточна параллельность их проекций на двух плоскостях проекций (рис.14).

Параллельность профильных прямых не может быть определена по фронтальным и горизонтальным проекциям этой прямой. Для оценки их взаимного положения необходимо обратиться к профильной проекции, по которой и делают окончательный вывод (рис.15).

Если [АВ]║[СD], то [А₃В₃]║[С₃D₃].

Рис.14	Рис.15.

 

 

При безосной системе нужно сделать следующие построения (рис.16.). Применяя косоугольное проецирование строим А₀В₀ и С₀D₀.

Рис. 16

 

[А₁А₀] ║ [В₁В₀] ║ [D₁D₀] ║ [С₁С₀] и

[А₂А₀] ║ [В₂В₀] ║ [D₂D₀] ║ [С₂С₀].

 

Если [В₀А₀]║ [D₀С₀], то │АВ│ ║ │СD│

 

Пересекающиеся прямые.

Пересекающиеся прямые имеют общую точку. Эта общая точка должна быть как в пространстве, так и на эпюре (рис.17).

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций должны находиться на одной линии связи. a b=K; a₁ b₁=K₁; a₂ b₂=K₂.

Для заключения о пересечении прямых общего положения достаточно иметь их проекции на две плоскости проекций.

Если пересекаются профильные прямые, то необходимо построить их профильные проекции, а при безосной системе сделать дополнительные построения (рис.18).

Рис.17	Рис.18.
Если [А0В0] ∩ [D0С0]=К0, то [АВ] ∩ [DC]=К. [А1А0] ║ [С1С0] ║ [В1В0] ║ [К1К0] и [А2А0] ║ [С2С0] ║ [В2В0] ║ [К2К0].

 

 

 

Скрещивающиеся прямые.

Рис.19

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рис.19).

L и К – на одном перпендикуляре к .

М и N – на одном перпендикуляре к .

 

 

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ УГЛОВ

Рис.20.

 

 

Плоский угол проецируется на плоскость проекций в истинную величину тогда, когда обе его стороны параллельны плоскости проекций.

Если стороны прямого угла произвольно расположены по отношению к плоскостям проекций, то прямой угол может проецироваться и тупым и острым.

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол спроецируется в виде прямого же угла (рис.20).

 

 

Пусть стороны АВ прямого угла АВС║ , требуется доказать, что проекция его угол А₁В₁С₁=90^о, [АВ] ([ВВ₁]∩[ВС]), но АВ║А₁В₁ – поэтому А₁В₁ , следовательно А₁В₁ В₁С₁. Если с d, а c ║ , то c₂ d₂; d₁ – произвольное положение (одно из множества).

Рис.21

 

ЛЕКЦИЯ 3

ПЛОСКОСТЬ

Положение плоскости в пространстве можно определить:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. Прямой и точкой вне ее;

3. Двумя пересекающимися прямыми;

4. Двумя параллельными прямыми (рис.1).

 

(А1В1С1)	(a1 С)	(m ∩ n)	δ (b ║ с)
Рис. 1.

Рис. 2.

Плоскость может быть задана также отсеками плоской фигуры (рис.2).

 

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций:

1.Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис.1 и 2).

2. Частные положения плоскости:

а) Плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтально-проецирующей (рис.3). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, являющуюся следом этой плоскости = ∩ угол , который образуется между плоскостью и , проецируется на плоскость без искажения.

Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, совпадают со следом этой плоскости α₁= (АВС)∩ (рис. 3).

 

Рис. 3.

б) Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций , называется фронтально-проецирующей плоскостью, изображается следом плоскости, полученной от пересечения заданной плоскости (АВС) с фронтальной плоскостью проекций . = (АВС)∩ .

Рис. 4.

Фронтальные проекции всех точек и фигур, лежащих в этой плоскости, совпадают с ее фронтальным следом. Угол φ между плоскостью и проецируется без искажения, т.е.φ₂ ≡ φ (рис. 4.).

 

Плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекций называется профильно-проецирующей плоскостью.

Частный случай, когда профильно-проецирующая плоскость проходит через ось ОХ и делит пополам угол между плоскостями и - плоскость симметрии (рис.5).

 

 

Рис.5

Основные свойства проецирующих плоскостей состоят в том, что все геометрические образы, лежащие в них, на одной из плоскостей проекций изображаются прямой, совпадающей со следом плоскости, т.е. с линией пересечения проецирующей плоскости с соответствующей плоскостью проекций.

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называется плоскостями уровня. Плоскость δ и . Фронтальная и профильная проекция такой плоскости – горизонтальные прямые. Любая фигура, расположенная в плоскости δ₂ на горизонтальную плоскость проекций проецируется без искажения.

а) Плоскость δ, параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтальной плоскостью (рис.6). Изображается следом плоскости, полученным от пересечения плоскости δ с плоскостью проекций : δ₂= δ . АВС δ; А₂В₂С₂ δ₂; А₁В₁С₁=АВС.

 

 

Рис.6.

б) Плоскость , параллельная плоскости , называется фронтальной (рис.7). ₁= . АВС ; А₁В₁С_{1 1}; А₂В₂С₂=АВС.

 

Рис.7.

Любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на без искажений.

Все геометрические образы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости проекций без искажения.

3.2. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

1. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с этой плоскостью две общие точки (рис.8).

2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9).

 

Рис.8.	Рис.9
с (а ║ b); [12] c (а ║ b)	С (АВС); С d; С1 d1; С2 d2; d ║[AB]; d 1║[A1B1]; d 2║[A2B2].

Построение точки в плоскости производится, исходя из условия, что она должна находиться на прямой, лежащей в этой плоскости. Т.о. задача на построение точки в плоскости сводится к задаче на построение прямой в этой плоскости (рис.10). Чтобы построить горизонтальную проекцию точки М, принадлежащей плоскости (а b), нужно провестипрямую ℓ (а b); [12] ℓ; [1₂2₂] ℓ₂; [1₁2₁] ℓ₁; М₂ ℓ₂ ; М₁ ℓ₁ .

 

Рис.10

 

 

3.3. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Главными линиями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные плоскостям проекций , или . Линии плоскости, параллельные называются горизонталями плоскости; линии плоскости, параллельные – фронталями плоскости; линии плоскости, параллельные – профильными прямыми (рис.11).

Линии наибольшего ската – прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям (рис.12).

Линия наибольшего ската и ее горизонтальная проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный плоскостью (f ∩ h) и плоскостью проекций .

С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоскости (рис.13). Дана плоскость (f ∩ h) и точка А. Нужно определить принадлежит ли точка А плоскости. Для этого через точку А проводим горизонталь. Горизонтальная проекция точки А вне горизонтали, значит точка А не лежит в плоскости.

 

Рис.11	Рис.12а
Рис. 12б	Рис. 13