Уравнение проекции Меркатора

Покажем, что прямая линия на карте в меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Локсодромия ® кривая, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом К (рис. 6.2).

 

Рис. 6.2. Локсодромия на земном шаре

 

Судно, совершающее плавание постоянным курсом, перемещается именно по локсодромии.

Уравнение локсодромии на поверхности эллипсоида имеет вид:

(6.6)

Если пренебречь сжатием эллипсоида и приняв Землю за шар, то уравнение локсодромии примет вид:

(6.7)

Из формулы (6.7) выводятся следующие свойства локсодромии:

· – при К = 0°(180°) ® локсодромия совпадает с меридианом;

• – при К = 90°(270°) ® локсодромия совпадает с параллелью, а при j = 0° – с экватором;
• – при любых других К – локсодромия является логарифмической спиралью, стремящейся к полюсу, но никогда его не достигающей;
• – локсодромия своей выпуклостью обращена к экватору.

Длину и направление локсодромии по известным координатам точек вычисляют по формулам аналитического счисления.

Напишем уравнение прямой, проходящей через т. А (Х₀, У₀) наклонно к оси Х под углом К равным курсу (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Уравнение прямой

 

(6.8)

Подставим в полученное уравнение (6.5) вместо Х и У их выражения через j и l, принимая для простоты Землю за шар:

(6.9)

где а – коэффициент пропорциональности определяющий расстояния между меридианами.

(6.10)

Тогда:

(6.11)

Это уравнение показывает, что прямая линия на меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Таким образом, проводя на меркаторской проекции параллели в расстоянии МЧ от экватора, удовлетворяются оба требования, предъявляемые к морской навигационной карте.

Единицы длины на карте меркаторской проекции

Из принципа построения меркаторской проекции видно, что все параллели картографической сетки вытягиваются пропорционально secj и для сохранения равноугольности все меридианы этой сетки должны быть растянуты, в свою очередь, пропорционально растяжению параллелей, т.е. в secj раз.

Чтобы построить картографическую сетку, удовлетворяющую требованию равноугольности, и учесть растяжение меридианов на величину secj надо практически знать удаление по меридианам каждой параллели от экватора.

Удаление параллелей от экватора обычно выражается в экваториальных милях, так как экватор не испытывает растяжения и экваториальная миля ® величина const.

Меридиональная часть (МЧ или D) ® расстояние по меридиану от экватора до данной параллели, выраженное в экваториальных милях.

Если принимать Землю за шар, то МЧ вычисляется по формуле:

. (6.12)

Для сфероида надо учесть сжатие Земли и формула для МЧ примет вид:

. (6.13)

где ® эксцентриситет эллипсоида вращения;

а, в ® большая и малая полуоси земного эллипсоида.

Вычисленные по формуле (6.13) МЧ для эллипсоида даны в табл. 26 «МТ-75» (с. 280¸287) в экваториальных милях с точностью до 0,1 по аргументу j с интервалом в 1¢ или в табл. 2.28 а «МТ-2000» (с. 314¸321) ® см. табл. 6.2.

 

Меридиональные части (выдержка)

Таблица 6.2.

Широта
¢	0°	1°	2°	3°	…	11°	12°	13°	…	44°	45°	…	89°	…	¢
МЧ, экв. мили
	0,0	59,6	119,2	178,9	…	659,7	720,5	781,6	…	2929,8	3013,6	…	16276,5	…
	1,0	60,6	120,2	179,9	…	660,7	721,6	782,6	…	2931,2	3015,1	…	16334,3	…
	2,0	61,6	121,2	180,9	…	661,7	722,6	783,6	…	2932,6	3016,5	…	16393,0	…
: :	: :	: :	: :	: :	…	: :	: :	: :	…	: :	: :	…	: :	…	: :
	57,6	117,2	176,9	236,6	…	718,5	779,6	840,9	…	3010,8	3096,1	…	27969,0	…
	58,6	118,2	177,9	237,6	…	719,5	780,6	841,9	…	3012,2	3097,5	…	30351,9	…
¢	0°	1°	2°	3°	…	11°	12°	13°	…	44°	45°	…	89°	…	¢

 

(более подробно см. табл. 24.5).

Разность меридиональных частей (РМЧ) ® расстояние по меридиану на проекции Меркатора между двумя параллелями, выраженное в экваториальных милях.

Меркаторская миля ® РМЧ двух параллелей, отстоящих друг от друга на 1¢.

Меркаторская миля является изображением на карте морской мили для данной широты (j) и служит для измерения расстояний на карте.

Длина меркаторской мили изменяется с широтой (j) пропорционально secj несмотря на то, что величина морской мили остается во всех широтах постоянной.

Если в j = 0° меркаторская миля изображается отрезком, равным экваториальной миле, то в j = 60° она изобразится отрезком, равным 2-м экваториальным милям. То есть ® измерять расстояния на карте в проекции Меркатора по вертикальной рамке в той же средней широте, где лежит измеряемый отрезок.

Единица карты ® длина изображения одной экваториальной мили на меркаторской карте, выраженная в линейных мерах (длина изображения 1′ дуги параллели в проекции Меркатора).

Единица карты зависит от ее масштаба, который может быть отнесен к экватору или к любой выбранной параллели® главной параллели. ( см. табл. 6.1)

Построение меркаторской карты начинается с вычисления единицы карты. Если С_Э ® главный масштаб по экватору, то единица карты (е) будет:

= (6.14)

где Р ₀ – длина 1′ дуги главной параллели (φ ₀) в мм,

(для φ ₀ = 60^о → Р ₀ = 0,502.168 (из табл. 6.3) ´ 1852.000 = 930.015)

С ₀ – знаменатель главного масштаба карты;

М ₀ = 1/ С ₀ – главный масштаб.

 

Длина минуты дуги меридиана и параллели (из табл. 2.29 «МТ-2000»)

Таблица 6.3.

φ^о	Длина минуты меридиана (мили)	Длина минуты параллели (мили)	φ^о	Длина минуты меридиана (мили)	Длина минуты параллели (мили)
45	0,995 107 0,995 119 0,995 155 0,995 216 0,995 300 0,995 408 0,995 539 0,995 692 0,995 866 0,996 062 0,996 277 0,996 510 0,996 762 0,997 030 0,997 313 0,997 610 0,997 919 0,998 239 0,998 568 0,998 906 0,999 249 0,999 597 0,999 947 1,000 123	1,001 812 1,001 206 0,999 388 0,996 361 0,992 127 0,986 692 0,980 062 0,972 244 0,963 487 0,953 085 0,941 764 0,929 301 0,915 708 0,901 003 0,885 201 0,868 322 0,850 385 0,831 410 0,811 422 0,790 442 0,768 496 0,745 610 0,721 810 0,709 577	62	1,000 299 1,000 650 1,000 999 1,001 343 1,001 682 1,002 013 1,002 335 1,002 647 1,002 947 1,003 232 1,003 503 1,003 758 1,003 994 1,004 213 1,004 410 1,004 588 1,004 743 1,004 876 1,004 985 1,005 071 1,005 132 1,005 170 1,005 182	0,697 125 0,671 586 0,645 221 0,618 063 0,590 145 0,561 499 0,532 162 0,502 168 0,471 554 0,440 358 0,408 617 0,376 370 0,343 657 0,310 518 0,276 995 0,243 128 0,208 959 0,174 530 0,139 885 0,105 066 0,070 117 0,035 080

 

Таблица 6.3 позволяет рассчитать для проекции Меркатора единицу карты (е), модули параллелей (υ), частные масштабы (М) и линейный масштаб карты (μ).

Если при построении карты масштаб определяется тем условием, чтобы на карту поместился заданный район, то единица карты может быть рассчитана делением длины горизонтальной рамки карты (93 см или 68 см) на РД (D l) между крайними меридианами, выраженную в минутах.

Таким образом, сущность построения меркаторской карты состоит в том, что меридианы проводятся на расстояниях, пропорциональных РД (D l), с учетом масштаба, а параллели – на расстояниях, пропорциональных РМЧ, с учетом того же масштаба. Как РД, так и РМЧ выражены при этом в одних и тех же постоянных единицах – экваториальных милях.