Прямая параллельная плоскости.

Рис.9

 

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9). а ║[АВ], а₁ ║[А₁В₁], а₂ ║[А₂В₂], задача не имеет единственного решения.

 

Пересечение прямой с плоскостью.

 

Для определения точки пересечения прямой а с плоскостью общего положения (АВС) необходимо выполнить следующие построения (рис.10):

1. Через данную прямую а провести вспомогательную проецирующую плоскость , так как

а , то а .

2. Построить линию пересечения n данной плоскости (АВС) и вспомогательной плоскости . (АВС) ∩ =n; [12] n; [1₁2₁] n₁; [1₂2₂] n₂.

3. Определить точку пересечения К прямой а и заданной плоскости К= а ∩n; К₁= а₁ ∩n₁; К₂ а₂.

4. Определяем видимость прямой. Для этого рассматриваем конкурирующие точки 1-3 и 4-5. Точка 1 [AB] (АВС); точка 3 а. На горизонтальной плоскости проекций проекции точек 1₁ и 3₁ совпадают, а на фронтальной плоскости проекций отрезок 1₂3₂ в горизонтальном проецирующем положении. Проекция точки 1₂ [АВ] (АВС) находится выше проекции 3₂ а. Таким образом на горизонтальной плоскости проекций отрезок прямой до точки К будет закрыт плоскостью.

Рис.11

 

Рассмотрим конкурирующие точки 4-5; 4 [ВС] (АВС); 5 а. Отрезок [4₁5₁] находится во фронтально-проецирующем положении – на фронтальной плоскости проекций превращается в точку. Таким образом, прямая на фронтальной плоскости проекции будет видна до К₂, а дальше уходит за плоскость.

 

 

Прямая, перпендикулярная плоскости.

Рис.11

Построение перпендикуляра к плоскости основано на положении геометрии: прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости и проходящих через точку пересечения перпендикуляра с этой плоскостью (рис.11).

Пусть некоторый отрезок прямой [АС] плоскости и точка А – точка пересечения отрезка прямой с этой плоскостью.

Построим на плоскости горизонтали h и на – h₁, так как [CA] [AB], [C₁A₁] [A₁B₁] прямой угол спроецируется на плоскость без искажения, А₁В₁С₁=АВС.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости.

Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра от точки до его основания на плоскости:

1. Из точки опустить перпендикуляр на плоскость

2. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью

 

Пример 1. Определить расстояние от точки М до плоскости (АВС) (рис.12).

1. В плоскости (АВС) строим горизонталь и фронталь. Из точки М опускаем перпендикуляр n (АВС); n₁ h₁, n₂ f₂.

2. Находим точку пересечения перпендикуляра n с плоскостью (АВС). n ; n₂ ; ∩ (АВС)=m; m₂ ; [34] m; n₁∩m₁=К₁ ; К₂ n₂.

3. Определяем истинную величину расстояния от точки М до плоскости (АВС).

 

Рис.12

 

Пример 2. Построить плоскость перпендикулярную данной прямой (рис.13). Так как прямая а (h∩f); а ₁ h₁; h₂║ОХ; а ₂ f₂; f₁║ОХ.

 

Рис.13

Пример 3. Определить расстояние от точки М до прямой b (рис.14).

Рис. 14

1. В точке М задаем плоскость (h∩f) b; h₁ b₁; h₂ ∩ОХ; f₂ b₂; f₁║ОХ.

2. Находим точку пересечения прямой b с заданной плоскостью

b ; b₂ ; ∩ (h∩f)=n; n₂ ; [12] n; n₁∩b₁=K₁; K₂=b₂.

Истинную величину расстояния определяем способом треугольника.

 

 

ПЛОСКОСТИ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ

Для построения плоскости перпендикулярной к данной, необходимо построить перпендикуляр к ней, затем уже строить плоскость, проходящую через данный перпендикуляр. Так как через прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей, то задание имеет множество решений.

Пример. В точке D построить плоскость , перпендикулярную плоскости β (АВС) (рис.15). n (ABC); n₁ h₁; n₂ f₂.

Плоскость задаем двумя пересекающимися прямыми n∩m; n , а m одна из множества прямых, проецирующих через точку D.

 

Рис.15

 

 

ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА.

Многие пространственные задачи в общем виде решаются довольно сложно, однако будучи поставлены в частное положение, решаются легко. Примером может служить одна из основных задач курса: определение расстояния от точки до прямой.

Сущность методов преобразования чертежа состоит в том, что задача общего положения переводится в частное, где она решается значительно легче.

Будем рассматривать следующие методы преобразования чертежа:

1. Метод перемены плоскостей проекций

2. Метод вращения