Ортогональная система трех плоскостей проекций

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляют собой совокупность точек, то можно утверждать, что две ортогональные проекции предмета вполне определяют его форму.

Однако на практике часто возникает необходимость создания дополнительных проекций. - профильная плоскость проекции [AA₃ ] (рис.10).

 

Рис. 10

 

Проекции точек на профильную плоскость проекций называются профильными проекциями – А₃.

Плоскости проекций попарно пересекаясь определяют три оси ОX; ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О.

А₁Ау = Х – абсцисса (расстояние от точки до )

А₁Ах= Y - ординат (расстояние от точки до )

А₂Ах = Z - аппликата (расстояние от точки до )

Длины проецирующих перпендикуляров, определяющих расстояние точки до плоскостей проекций, являются координатами точки. Задание точки осуществляется в следующем виде: А (Х, Y, Z). Знаки координат Х, Y, Z в четырех угловых пространствах показаны в таблице1.

Таблица 1

	X	Y	Z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-

1.5. БИССЕКТОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ (ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ И ПЛОСКОСТЬ ТОЖДЕСТВА)

Плоскость, которая проходит через I и III угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью симметрии и обозначается (рис. 11).

Плоскость, которая проходит через II и IV угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью тождества и обозначается (рис.12).

 

Рис. 11	Рис. 12.
Рис.13..

На рис.13 изображен вид А пересекающихся плоскостей ; ; s; , на котором легко определяются координаты точек A, B, C, D, принадлежащих плоскостям s и .

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости симметрии одинаковы по величине и по знаку: Уа = Z_А; -У_С = Z_С.

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости тождества одинаковы по величине, но противоположны по знаку: -У_В = Z_В; У_D = - Z_D

1.6. ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО БИССЕКТОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Пусть точка L симметрична точке К относительно s (рис.14). Тогда координата Y_К равна по величине и по знаку координате Z_L (Y_К = Z_L), а координата Z_К равна по величине и по знаку координате Y_L (Z_К = Y_L).

Координаты Y и Z точек, симметричных относительно плоскости симметрии, равны по величине и по знаку координатам Z и Y заданных точек.

Пусть точка М симметрична точке К относительно плоскости тождества (рис.15). Тогда координаты Y_К равны по величине, но противоположны по знаку координате –Z_М, а координата Z_К равна по величине, но противоположна по знаку координате –Y_М (Y_К = –Z_М; Z_К = –Y_М).

А	А
Рис.14	Рис. 15.

ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

 

Пусть точка В симметрична точке А относительно плоскости (рис.16).

Рис.16

У точек симметричных относительно горизонтальной плоскости проекций координата Z меняет знак на противоположный Z_А= -Z_В. А(Х,Y,Z); В(Х,Y,-Z).

Пусть точка С симметрична точке А относительно плоскости проекций . У точек, симметричных относительно фронтальной плоскости проекций координата Y меняет знак на противоположный -Y_C= Y_A. А(Х,Y,Z); С(Х,-Y,Z).

Пусть точка D симметрична точке А относительно оси проекций ОХ. У точек, симметричных относительно оси проекций ОХ, координаты Y и Z меняют знак на противоположный Y_D= -Y_A; Z_D= -Z_A. А(Х,Y,Z); D(Х,-Y,-Z).

 

ЛЕКЦИЯ 2

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

Для построения изображения прямой линии на плоскостях проекций достаточно построить проекции двух точек этой прямой (рис.1).

 

Рис.1

a([ВВ₂] || [АА₂]) ∩ = a₂

([АА₁] || [ВВ₁]) ∩ = a₁

а –прямая в пространстве, a ₁ – горизонтальная проекция прямой, а ₂ – фронтальная проекция прямой.

Проекция прямой линии есть также прямая линия.

Точка, лежащая на прямой линии, имеет свои проекции на соответствующих проекциях прямой. C₁ [А₁В₁]; C₂ [А₂В₂].

В каком отношении точка делит отрезок прямой линии в пространстве, в таком же отношении проекции этой точки делят соответствующие проекции отрезка.

.

Совмещая плоскости проекций и строим эпюр отрезка [АВ]. Так как в дальнейшем будут рассматриваться только безосные эпюры, определим разницу между эпюром с осями и безосным эпюром.

По эпюру с осями можно определить положение точек А и В в пространстве по координатам X, Y, Z. Безосный эпюр точек А и В не определяет их положение в пространстве, но позволяет судить об их относительности ориентировке (рис.2).

∆Х характеризует смещение точки А по отношению к точке В в направлении параллельном и . Относительное смещение точки в направлении перпендикулярном плоскости определяется отрезком ∆У; отрезок ∆Z показывает превышение точки В над точкой А.

 

Эпюр с осями	Безосный эпюр
Рис.2.

Положение прямой относительно плоскостей проекций.

1. Прямыми общего положения называются прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций (рис.1, 2, 3).

 

Рис. 3

 

 

2. Прямые уровня - прямые, параллельные плоскостям проекций.

а) Прямые, параллельные горизонтальной плоскости проекций, называются горизонтальными прямыми или горизонталями (рис.4)

 

Рис.4.

[АВ] b

[А₁В₁] b₁

[А₂В₂] b₂

 

b₂ ┴ линии связи;

b₂ ║ ОХ

b₁ – конгруэнтна самой прямой

 

б) Прямая, параллельная , называется фронтальной прямой или фронталью (рис.5).

 

Рис. 5

[CD] c

[C₁D₁] c₁

[C₂D₂] c₂

 

c₁┴ линии связи

c₁║ ОХ

c₂ конгруэнтна самой прямой

 

 

в) Прямая, параллельная называется профильной прямой (рис.6). d₂ OX, d₁ OX, d₃- конгруэнтна самой прямой.

 

Рис.6.

 

[MN] d

[M₁N₁] d₁

[M₂N₂] d₂

 

 

 

 

3. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая, перпендикулярная , называется горизонтально-проецирующей прямой. Одна из проекций превращается в точку, а другая совпадает с линией проекционной связи и конгруэнтна самой прямой (рис.7). n , [АВ] n; [А₂В₂] n₂; А₁ В₁ n_1.

 

Рис. 7

 

 

Прямая, перпендикулярная , называется фронтально-проецирующей прямой (рис.8). m , [CD] m; [C₁D₁] m₁; C₂ D₂ m₂; m₁ конгруэнтна m.

 

Рис. 8

 

 

Прямая, перпендикулярная , называется профильно-проецирующей прямой (рис.9). ℓ , [MN] ℓ; [M₁N₁] ℓ ₁; [M₂N₂] ℓ ₂ ; [M₁N₁]=[M₂N₂]=[MN].

Рис. 9

 

 

Прямая, параллельная плоскости симметрии (рис.10).

Прямая, параллельная плоскости тождества (рис.11).

 

Рис. 10	Рис.11