Взаимное расположение плоскостей

Плоскости по отношению друг к другу могут занимать два положения: быть параллельными или пересекаться.

Параллельные плоскости не имеют ни одной общей точки.

Если плоскости параллельны, то на КЧ параллельны их одноименные следы. На рисунке 3.11 изображены две параллельные плоскости:

.

Рис. 3.11

Признак параллельности плоскостей:

Плоскости параллельны, если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости.

.

Рис. 3.12

Если две плоскости не параллельны, то они обязательно пересекаются и результатом их пересечения является прямая.

Рассмотрим сначала частные случаи пересечение двух плоскостей.

Пример 1. Пересекаются плоскость общего положения и горизонтально-проецирующая плоскость , заданная следом.

Этот случай является основой для решения задач на пересечение плоскостей в общем виде.

Так как одна из заданных плоскостей проецирующая, то все геометрические элементы, включая и линию пересечения плоскостей l, спроецируются на след этой плоскости.

На КЧ горизонтальная проекция линии пересечения определяется исходя из принадлежности ее проецирующей плоскости ,а фронтальная проекция – по принадлежности второй заданной плоскости.

Рис. 3.13

Пример 2. Пересекаются плоскости общего положения, заданные следами.

Рис. 3.14

В этом случае следы плоскости пересекаются в пределах чертежа, следовательно, линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, являющимся следами линии пересечения, которые находятся в точках пересечения одноименных следов плоскостей.

Для построения линии пересечения плоскостей в общем случае необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям, или одну общую точку, если известно направление линии пересечения.

Направление линии пересечения известно в том случае, если:

1) пересекающиеся плоскости содержат взаимно-параллельные прямые (линия пересечения плоскостей параллельна этим прямым);

2) две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости (линия пересечения перпендикулярна этой плоскости).

 

Общая точка для двух пересекающихся плоскостей в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости частного положения, также пересекающей заданные плоскости по прямой (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Общий случай: Пересекаются плоскости общего положения.

.

Рис. 3.16

.

Лекция 4

Взаимное расположение прямой и плоскости

Для прямой и плоскости возможны три случая их взаимного расположения:

1) прямая линия может принадлежать плоскости[5];

2) быть параллельна плоскости;

3) пересекаться с ней.

Параллельность прямой и плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости хорошо известен из курса стереометрии:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Рис. 3.16

Определение видимости на КЧ

Для улучшения наглядности изображений, заданных на КЧ, принято видимые для наблюдателя линии показывать сплошными, а невидимые – штриховыми линиями. При этом предполагается, что:

1) плоскости и поверхности непрозрачны;

2) луч зрения от наблюдателя всегда попадает перпендикулярно к той плоскости проекций, относительно которой определяется видимость.

На рисунке 3.17 заданы две пары точек:

1) точки А и В, находящиеся на одном проецирующем луче, направленном перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций ;

2) точки С и D, через которые проходит проецирующий луч, перпендикулярный фронтальной плоскости проекций .

Рис. 3.17

Необходимо определить видимость точек относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Если на КЧ какие-либо две проекции точек совпадают, то для наблюдателя будет видима та точка, проекция которой находится дальше от оси проекций.

Точки А и В, С и D называются точками, конкурирующими в видимости, а сам метод определения видимости – методом конкурирующих точек.

Конкурирующими в видимости точками называются точки, лежащие на одном проецирующем луче, но принадлежащие разным геометрическим объектам.