Ортогональные проекции геометрических объектов

2.1. Комплексный чертеж точки (Эпюр Монжа)

Проецирование геометрического объекта (точки, линии или фигуры) на одну плоскость проекций не определяет его положения в пространстве (какой-либо проекции точки может соответствовать бесчисленное множество точек в пространстве) и не дает полного представления о нем. Поэтому принято использовать не одну, а две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций – горизонтальную , фронтальную и профильную . Две плоскости проекций делят пространство на 4 четверти (рис. 2.1 а), три плоскости – на 8 октантов (рис. 2.1 б).

Линии пересечения плоскостей проекций 0x, 0y, 0z называются осями проекций. Они аналогичны осям декартовой системы координат с той разницей, что ось 0x имеет положительное направление влево.

Рис. 2.1

Т.к. любой предмет можно рассматривать как множество точек, проецирование его на плоскость сводится к построению отдельных точек ему принадлежащих. Поэтому все базовые понятия и правила проецирования рассматриваются на примере построения точки.

Построим проекции точки А, расположенной в первом октанте пространства (рис.2.2). Для этого через точку проведем проецирующие лучи, идущие перпендикулярно плоскостям проекций. На пересечении этих лучей с плоскостями проекций находятся проекции самой точки А.

Рис. 2.2

Несмотря на наглядность пространственного изображения, работать с ним неудобно, т.к. горизонтальная и профильная плоскости проекций изображаются на нем с искажением. Удобнее совместить эти плоскости с фронтальной плоскостью проекций, развернув их на угол 90° вокруг осей проекций 0x и 0y. При этом ось 0y разворачивается как с горизонтальной, так и с фронтальной плоскостями проекций, поэтому на чертеже она обозначается дважды – 0y и 0y′.

Полученный таким образом чертеж называется комплексным чертежом (КЧ), или эпюром Монжа. В связи с тем, что он представляет собой развернутую в плоскость пространственную модель, самой точки на комплексном чертеже нет (рис. 2.3).

Проекции точки на КЧ соединяются между собой пря­мыми линиями, называющимися линиями связи и проходящими перпендикулярно осям проекций.

Независимо от того, в каком октанте находится точка, ее горизонтальная и фронтальная проекции всегда лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси 0x, а фронтальная и профильная проекция – на линии связи, перпендикулярной оси 0z.

Рис. 2.3

Исходя из рисунка пространственной модели (рис. 2.2) можно выявить взаимосвязь между проекциями точки А:

1) расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций (высота точки)

;

2) расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций (глубина точки)

;

3) расстояние от точки А до профильной плоскости проекций (широта точки)

.

Например, расстояние от фронтальной проекции точки до оси 0x равно расстоянию от профильной проекции до оси 0y. Следовательно, по двум любым проекциям точки можно построить третью.

Точки могут занимать частное положение в пространстве относительно плоскостей проекций:

1) если точка расположена на оси проекций, то две ее проекции лежат на этой оси, а третья находится в начале координат;

2) если точка лежит на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой плоскости, а две другие – на осях проекций.

Допустим, что точка В лежит на оси 0z, а точка С принадлежит горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.4). Для точки С построения следует начинать с проекции, принадлежащей плоскости , для точки В – с проекций и , лежащих на осях проекций.

Рис. 2.4

Лекция 2

Проецирование прямой

Рис. 2.5

Аксиома евклидовой геометрии гласит: «Через две точки проходит единственная прямая». В связи с этим построение проекций прямой линии на КЧ сводится к построению проекций двух точек ей принадлежащих.

Построим проекции прямой d, которой принадлежат точки А и В. Спроецировав их на плоскости проекций, а затем соединив между собой одноименные проекции, получаем проекции прямой (рис.2.5).

 

Рис. 2.6

На КЧ прямая может быть задана проекциями двух точек (отрезком) или, на основании инвариантного свойства 2[1], непосредственно своими проекциями (рис. 2.5 б, 2.6).