Лекция 1 метод проецирования

ЛЕКЦИЯ 1 МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур.

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем: в пространстве выбирают произвольную точку S – центр проецирования, и плоскость, не проходящую через точку S – плоскость проецирования (рис.1).

Рис. 1.

А , А¹S, А, В – точки в пространстве S – центр проекций [SA), [SB) – проецирующие лучи А₁;В₁- проекции точек А и В

– плоскость проекций

[SA) ∩ ₌ А₁

[SB) ∩ =В₁

 

Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость , через центр проецирования S и точку А проводят прямую до ее пересечения с плоскостью проекций (рис.1).

 

 

Рис. 2.

Проекцией фигуры называют множество проекций всех ее точек.

Проекция криволинейной фигуры представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности и плоскости проекций (рис.2).

Свойства центрального проецирования:

Так как через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, то при заданном центре проецирования и плоскости проекций, каждая точка пространства будет иметь одну и только одну центральную проекцию.

Рис.3.

Обратное утверждение – каждой центральной проекции точки однозначно соответствует точка пространства, не имеет смысла. Поэтому одна центральная проекция точки не дает возможности судить о положении самой точки в пространстве. Для того, чтобы сделать возможным определение положения точки в пространстве по ее центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки, полученные из двух различных центров (рис.3).

 

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Широкое применение в практике получил тот случай, когда центр проецирования удален в бесконечность. Проецирующие лучи при этом параллельны между собой, и проекции точек, фигур и тел получают названия параллельных проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные.

В первом случае плоскость проекций с направлением проецирования образует угол 90^о, а во втором не равный 90^о (рис.4 и рис.5).

Рис. 4.	Рис.5.

 

Каждой точке пространства соответствует только одна параллельная проекция. Обратное утверждение не имеет смысла.

Для определения точки в пространстве необходимо иметь две ее параллельные проекции, полученные при различных направлениях проецирования (рис.6).

Рис. 6.

В дальнейшем мы будем пользоваться параллельными проекциями, ортогональными (прямоугольными) и аксонометрическими, причем первые будут прямоугольными, а вторые прямоугольными и косоугольными.

 

 

1. 3. Ортогональные проекции точки (Эпюр Монжа).

Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим двум плоскостям.

Одну из этих плоскостей проекций располагают горизонтально, а вторую – вертикально. Плоскость называется горизонтальной плоскостью проекций, – фронтальной. Плоскости и бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций (координат) и обозначается ОХ.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла (четверти) I, II, III, IV (рис.7).

 

Рис.7. Система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

А₁ – горизонтальная проекция точки А

А₂ - фронтальная проекция точки А

Проецирующие лучи определяют плоскость

a ([АА₂] [АА₁]) перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения – оси ОХ. Эта плоскость пересекает и по отрезкам прямых [А₁А_х] и [А₂А_х], которые образуют с осью Х и друг с другом прямые углы с вершиной в точке А_х

АА₁ = А₂А_х – расстояние от точки А до

АА₂ = А₁А_х - расстояние от точки А до

Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости вполне определяют положение точки в пространстве.

Построение проекций точек в 4-х угловых пространствах показано на рис.8.

Рис.8.

Чтобы получить плоский чертеж, плоскость совмещают вращением вокруг оси ОХ с плоскостью .

Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (рис.9).

I	II	III	IV	N	M
Рис.9.

Проекции одной и той же точки на две взаимно перпендикулярные плоскости располагаются на прямой, перпендикулярной оси проекций х₁₂.

Эта прямая называется направлением проецирования или линией проекционной связи.

 

 

ЛЕКЦИЯ 2

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

Для построения изображения прямой линии на плоскостях проекций достаточно построить проекции двух точек этой прямой (рис.1).

 

Рис.1

a([ВВ₂] || [АА₂]) ∩ = a₂

([АА₁] || [ВВ₁]) ∩ = a₁

а –прямая в пространстве, a ₁ – горизонтальная проекция прямой, а ₂ – фронтальная проекция прямой.

Проекция прямой линии есть также прямая линия.

Точка, лежащая на прямой линии, имеет свои проекции на соответствующих проекциях прямой. C₁ [А₁В₁]; C₂ [А₂В₂].

В каком отношении точка делит отрезок прямой линии в пространстве, в таком же отношении проекции этой точки делят соответствующие проекции отрезка.

.

Совмещая плоскости проекций и строим эпюр отрезка [АВ]. Так как в дальнейшем будут рассматриваться только безосные эпюры, определим разницу между эпюром с осями и безосным эпюром.

По эпюру с осями можно определить положение точек А и В в пространстве по координатам X, Y, Z. Безосный эпюр точек А и В не определяет их положение в пространстве, но позволяет судить об их относительности ориентировке (рис.2).

∆Х характеризует смещение точки А по отношению к точке В в направлении параллельном и . Относительное смещение точки в направлении перпендикулярном плоскости определяется отрезком ∆У; отрезок ∆Z показывает превышение точки В над точкой А.

 

Эпюр с осями	Безосный эпюр
Рис.2.

Положение прямой относительно плоскостей проекций.

1. Прямыми общего положения называются прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций (рис.1, 2, 3).

 

Рис. 3

 

 

2. Прямые уровня - прямые, параллельные плоскостям проекций.

а) Прямые, параллельные горизонтальной плоскости проекций, называются горизонтальными прямыми или горизонталями (рис.4)

 

Рис.4.

[АВ] b

[А₁В₁] b₁

[А₂В₂] b₂

 

b₂ ┴ линии связи;

b₂ ║ ОХ

b₁ – конгруэнтна самой прямой

 

б) Прямая, параллельная , называется фронтальной прямой или фронталью (рис.5).

 

Рис. 5

[CD] c

[C₁D₁] c₁

[C₂D₂] c₂

 

c₁┴ линии связи

c₁║ ОХ

c₂ конгруэнтна самой прямой

 

 

в) Прямая, параллельная называется профильной прямой (рис.6). d₂ OX, d₁ OX, d₃- конгруэнтна самой прямой.

 

Рис.6.

 

[MN] d

[M₁N₁] d₁

[M₂N₂] d₂

 

 

 

 

3. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая, перпендикулярная , называется горизонтально-проецирующей прямой. Одна из проекций превращается в точку, а другая совпадает с линией проекционной связи и конгруэнтна самой прямой (рис.7). n , [АВ] n; [А₂В₂] n₂; А₁ В₁ n_1.

 

Рис. 7

 

 

Прямая, перпендикулярная , называется фронтально-проецирующей прямой (рис.8). m , [CD] m; [C₁D₁] m₁; C₂ D₂ m₂; m₁ конгруэнтна m.

 

Рис. 8

 

 

Прямая, перпендикулярная , называется профильно-проецирующей прямой (рис.9). ℓ , [MN] ℓ; [M₁N₁] ℓ ₁; [M₂N₂] ℓ ₂ ; [M₁N₁]=[M₂N₂]=[MN].

Рис. 9

 

 

Прямая, параллельная плоскости симметрии (рис.10).

Прямая, параллельная плоскости тождества (рис.11).

 

Рис. 10	Рис.11

 

 

 

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ УГЛОВ

Рис.20.

 

 

Плоский угол проецируется на плоскость проекций в истинную величину тогда, когда обе его стороны параллельны плоскости проекций.

Если стороны прямого угла произвольно расположены по отношению к плоскостям проекций, то прямой угол может проецироваться и тупым и острым.

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол спроецируется в виде прямого же угла (рис.20).

 

 

Пусть стороны АВ прямого угла АВС║ , требуется доказать, что проекция его угол А₁В₁С₁=90^о, [АВ] ([ВВ₁]∩[ВС]), но АВ║А₁В₁ – поэтому А₁В₁ , следовательно А₁В₁ В₁С₁. Если с d, а c ║ , то c₂ d₂; d₁ – произвольное положение (одно из множества).

Рис.21

 

ЛЕКЦИЯ 3

ПЛОСКОСТЬ

Положение плоскости в пространстве можно определить:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. Прямой и точкой вне ее;

3. Двумя пересекающимися прямыми;

4. Двумя параллельными прямыми (рис.1).

 

(А1В1С1)	(a1 С)	(m ∩ n)	δ (b ║ с)
Рис. 1.

Рис. 2.

Плоскость может быть задана также отсеками плоской фигуры (рис.2).

 

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций:

1.Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис.1 и 2).

2. Частные положения плоскости:

а) Плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтально-проецирующей (рис.3). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, являющуюся следом этой плоскости = ∩ угол , который образуется между плоскостью и , проецируется на плоскость без искажения.

Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, совпадают со следом этой плоскости α₁= (АВС)∩ (рис. 3).

 

Рис. 3.

б) Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций , называется фронтально-проецирующей плоскостью, изображается следом плоскости, полученной от пересечения заданной плоскости (АВС) с фронтальной плоскостью проекций . = (АВС)∩ .

Рис. 4.

Фронтальные проекции всех точек и фигур, лежащих в этой плоскости, совпадают с ее фронтальным следом. Угол φ между плоскостью и проецируется без искажения, т.е.φ₂ ≡ φ (рис. 4.).

 

Плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекций называется профильно-проецирующей плоскостью.

Частный случай, когда профильно-проецирующая плоскость проходит через ось ОХ и делит пополам угол между плоскостями и - плоскость симметрии (рис.5).

 

 

Рис.5

Основные свойства проецирующих плоскостей состоят в том, что все геометрические образы, лежащие в них, на одной из плоскостей проекций изображаются прямой, совпадающей со следом плоскости, т.е. с линией пересечения проецирующей плоскости с соответствующей плоскостью проекций.

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называется плоскостями уровня. Плоскость δ и . Фронтальная и профильная проекция такой плоскости – горизонтальные прямые. Любая фигура, расположенная в плоскости δ₂ на горизонтальную плоскость проекций проецируется без искажения.

а) Плоскость δ, параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтальной плоскостью (рис.6). Изображается следом плоскости, полученным от пересечения плоскости δ с плоскостью проекций : δ₂= δ . АВС δ; А₂В₂С₂ δ₂; А₁В₁С₁=АВС.

 

 

Рис.6.

б) Плоскость , параллельная плоскости , называется фронтальной (рис.7). ₁= . АВС ; А₁В₁С_{1 1}; А₂В₂С₂=АВС.

 

Рис.7.

Любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на без искажений.

Все геометрические образы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости проекций без искажения.

3.2. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

1. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с этой плоскостью две общие точки (рис.8).

2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9).

 

Рис.8.	Рис.9
с (а ║ b); [12] c (а ║ b)	С (АВС); С d; С1 d1; С2 d2; d ║[AB]; d 1║[A1B1]; d 2║[A2B2].

Построение точки в плоскости производится, исходя из условия, что она должна находиться на прямой, лежащей в этой плоскости. Т.о. задача на построение точки в плоскости сводится к задаче на построение прямой в этой плоскости (рис.10). Чтобы построить горизонтальную проекцию точки М, принадлежащей плоскости (а b), нужно провестипрямую ℓ (а b); [12] ℓ; [1₂2₂] ℓ₂; [1₁2₁] ℓ₁; М₂ ℓ₂ ; М₁ ℓ₁ .

 

Рис.10

 

 

3.3. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Главными линиями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные плоскостям проекций , или . Линии плоскости, параллельные называются горизонталями плоскости; линии плоскости, параллельные – фронталями плоскости; линии плоскости, параллельные – профильными прямыми (рис.11).

Линии наибольшего ската – прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям (рис.12).

Линия наибольшего ската и ее горизонтальная проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный плоскостью (f ∩ h) и плоскостью проекций .

С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоскости (рис.13). Дана плоскость (f ∩ h) и точка А. Нужно определить принадлежит ли точка А плоскости. Для этого через точку А проводим горизонталь. Горизонтальная проекция точки А вне горизонтали, значит точка А не лежит в плоскости.

 

Рис.11	Рис.12а
Рис. 12б	Рис. 13

 

ЛЕКЦИЯ 4

ДВЕ ПЛОСКОСТИ.

Две плоскости могут быть параллельны друг к другу или пересекаться между собой.

 

Параллельные плоскости.

Две плоскости параллельны, если в каждой из них можно построить по две пересекающихся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны прямым другой плоскости.

Рис.1

Наиболее простой случай – параллельность двух проецирующих плоскостей. Здесь достаточно параллельности следов плоскостей (рис.1).

В случае параллельности плоскостей общего положения необходимо в каждой из них указать по две соответственно параллельные прямые (рис.2). В качестве таких прямых можно взять главные линии плоскости или какие-то другие прямые. (АВС)║ (а ∩ b)║ (d ∩ c).

 

(АВС)	а ║h; а 1║h1 ;а 2║h2 b ║f; b1 ║f1; b2 ║f2 (а ∩ b)	d║[AB]; d1║[A1B1]; d2║[A2B2] с║[BC]; с1║[B1C1]; с2║[B2C2]; (d ∩ c)
Рис.2

Пересекающиеся плоскости.

Основная задача – построение линии пересечения двух плоскостей, которая вполне определяется двумя точками, принадлежащими обеим плоскостям:

а) проецирующие

Проецирующие плоскости одного наименования, как перпендикулярные к одной и той же плоскости проекций, пересекаются по прямой линии также перпендикулярной к этой плоскости проекций (рис.3). Проецирующие плоскости разных наименований пересекаются по прямой, для которой они будут проецирующими плоскостями (рис.4).

Рис.3	Рис.4.
∩ = а ; ∩ = b	∩ =n; n1 ; n2

 

б) Наиболее просто решается задача, если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая (рис.5). (АВС)∩ =m; m₁ . m – линия пересечения, так как линия пересечения принадлежит и плоскости , то 12 лежат на следе плоскости.

 

 

Рис. 5

 

в) Две плоскости общего положения.

Рассмотрим случай пересечения плоскостей общего положения (рис.6).

Рис.6

Три плоскости пересекаются в одной точке, поэтому общий метод построения точек линии пересечения состоит в следующем: две пересекающиеся плоскости пересекаются третьей, вспомогательной плоскостью.

∩ =m; ∩ =n; m₁∩n₁=K₁; K₂

∩ = ; ∩ = ; ∩ =L₁;L₂ .

Через точки K и L проводим линию пересечения ℓ (рис.7).

 

Рис.7

 

Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскости (рис.8). (АВС)∩ (DEF)=[LK].

 

Рис.8

 

ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА.

Многие пространственные задачи в общем виде решаются довольно сложно, однако будучи поставлены в частное положение, решаются легко. Примером может служить одна из основных задач курса: определение расстояния от точки до прямой.

Сущность методов преобразования чертежа состоит в том, что задача общего положения переводится в частное, где она решается значительно легче.

Будем рассматривать следующие методы преобразования чертежа:

1. Метод перемены плоскостей проекций

2. Метод вращения

ЛЕКЦИЯ 6

МЕТОД ВРАЩЕНИЯ

 

Сущность метода вращения состоит в том, что при фиксированном положении плоскостей проекций будем вращать геометрические элементы задачи до такого положения, в котором задача могла бы быть решена легко.

При вращении вокруг неподвижной оси каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, точка перемещается по окружности, центр которой лежит на оси вращения, а радиус равен расстоянию от точки до оси.

Все точки фигуры должны поворачиваться вокруг одной оси в одну и ту же сторону, на один и тот же угол. Точки, находящиеся на оси вращения, остаются неподвижными. Наиболее просто задача решается, если ось вращения перпендикулярна или параллельна плоскости проекций.

 

ЛЕКЦИЯ 7

7.1. ГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И МНОГОГРАННИКИ.

 

Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m. При этом, если одна точка S образующей неподвижна, получается парамидальная поверхность, если же при перемещении образующая параллельна заданному направлению, то создается призматическая поверхность (рис.1).

 

Рис. 1.

Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматических поверхностей она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайними относительно его положениями образующей ℓ), ребро (линия пересечения смежных граней).

Определитель пирамидальной поверхности включает в себя вершину S, через которую проходят образующие, и направляющую: S ℓ; ℓ∩m.

Определитель призматической поверхности содержит направление n, которому параллельны все образующие ℓ поверхности: ℓ║n, ℓ∩m.

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и равные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например, тетраэдр – правильный четырехгранник, а гексаэдр – куб, октаэдр – многогранник.

Пирамида – многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани – треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер. Видимость ребер определяется с помощью конкурирующих точек (рис.2).

 

Рис. 2.

Призма – многогранник, у которого основания – два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани – параллелограммы.

Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, то такую призму называют прямой (рис.3).

 

Рис. 3.

ЛЕКЦИЯ 1 МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ