Различные виды уравнений плоскости

Аналитическая

Геометрия

 

 

Практикум

 

Красноярск

СФУ

 

УДК 514.12(07)

ББК 22.151.54я73

 

Составители: М. Н. Арасланова, Т. П. Мансурова

 

Аналитическая геометрия: практикум [Текст] / сост. М. Н. Арасланова, Т. П. Мансурова. – Красноярск: Сиб. Федер. Ун-т, 2012. – 64 с.

 

 

В практикуме приведены основные теоретические сведения раздела математики «Аналитическая геометрия» и разобраны примеры решения типовых задач.

Предназначено для студентов всех специальностей направлений: 130100 Прикладная геология, 130200 Технологии геологической разведки, 130400 Горное дело, 140600 Электротехника, электромеханика и электротехнологии, 150400 технологические машины и оборудование, 150000 Металлургия, машиностроение и металлообработка, 280100 Безопасность жизнедеятельности, 150700 Физическое материаловедение, 080500 Менеджмент.

 

 

УДК 514.12(07)

ББК 22.151.54я73

ÓСибирский

федеральный

университет, 2012

ВВЕДЕНИЕ

 

Значение раздела «аналитическая геометрия» математики определяется тем, что подавляющее большинство прикладных задач носят “линейный” характер, а те, что не являются “линейными”, как правило, допускают “линеаризацию”.

Сплав двух важнейших идей - идеи координат и идеи вектора - и лежит в основе учебной дисциплины “линейная алгебра с элементами аналитической геометрии”. Математический аппарат, которым студент овладевает в процессе ее изучения, используется практически во всех приложениях математики.

Практикум написан в соответствии с программой данного курса. Содержит элементы аналитической геометрии, теорию определителей, систем линейных уравнений, векторов. Отличается большим количеством типовых примеров.

 

Уравнение плоскости

Взаимное расположение плоскостей

 

Пусть даны две плоскости A₁ x +B₁ y +C₁ z +D₁=0 и A₂ x +B₂ y +C₂ z +D₂=0.

Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла в сумме равные p.

Угол j между нормальными векторами плоскостей и равен одному из этих углов и может быть найден по формуле:

.

Плоскости параллельны, если векторы и коллинеарны, т.е.

.

Плоскости перпендикулярны, если векторы и ортогональны, т.е.

.

Замечание. Если даны три плоскости своими уравнениями A₁ x +B₁ y +C₁ z +D₁=0, A₂ x +B₂ y +C₂ z +D₂=0 и A₃ x +B₃ y +C₃ z +D₃=0, то их общие точки определяются из системы уравнений, составленной из уравнений плоскостей. В случаях, когда нормальные векторы этих плоскостей , , не компланарны, три плоскости имеют единственную общую точку. Тогда их смешанное произведение

и определитель является определителем системы. Такая система имеет единственное решение.

Уравнения прямой в пространстве

Одна и та же прямая линия может быть описана различными уравнениями.

Кривые второго порядка

 

Уравнения кривых второго порядка представлены в табл. 2.

Таблица 2

Тип уравнения	Формула
Уравнение окружности с центром (a, b) и радиусом R
Уравнение эллипса с центром (a, b) и полуосями a и b
Уравнения гиперболы с центром (a, b) и полуосями a и b
Уравнение параболы с центром (a, b) и ветвями, направленными вдоль оси: О х О у	2 p (x – a) =(y – b)^2 2 p (y – b)=(x – a)^2

Поверхности второго порядка

Основные типы поверхностей

Классификация поверхностей в пространстве находится в полной аналогии с классификацией линий на плоскости.

Определение. Поверхность второго порядка – это множество точек трехмерного пространства, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяет уравнению (описывается в общем случае многочленом второго порядка):

Ax ²+ By ²+ Cz ²+ Dxy + Еxz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L =0,

в котором A ²+ B ²+ C ²+ D ²+ Е ²+ F ²¹ 0.

Таблица 3

Тип поверхности	Уравнение	Чертеж
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр		z x a y b
Параболический цилиндр
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двуполос- тный гиперболоид		x
Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид
Конус	z ^2= x ^2+ y ^2

 

Метод сечений

Сущность метода сечений состоит в том, что рассматриваются линии пересечения данной поверхности с различными плоскостями. Во многих случаях удобно рассекать поверхность плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей, например параллельными плоскости x 0 y. Уравнение одной такой плоскости имеет вид

z = h,

где h есть некоторое число, которое можно выбирать произвольно.

Плоская кривая, получаемая в сечении, представляется системой уравнений, одно из которых z = h, а другое – данное уравнение поверхности. Если в последнее подставить вместо координаты z значение h, то получим уравнение, не содержащее z. Это уравнение позволит построить сечение. Зная ряд сечений, можно получить представление о самой поверхности.

Пример. Построить поверхность z ²= x ²+ y ², используя метод сечений.

Решение. Чтобы получить представление о форме поверхности, будем рассекать ее плоскостями z = h. Линия сечения представляется системой уравнений

.

Подставив вместо z в первое уравнение h, получим равносильную систему уравнений:

,

которая представляет окружность радиуса R = h с центром в точке О₁(0; 0; h). Значит, линией пересечения плоскости z = h с круглой цилиндрической поверхностью будет окружность. Придавая z = h любое значение, получим ряд окружностей, расположить которые нужно параллельно плоскости x 0 y на расстояниях, равных радиусу h.

Если в качестве секущей плоскости взять плоскость x 0 z (y =0), то линия пересечения представится системой

или .

Эта система описывает пару взаимно перпендикулярных прямых (рис. 5, АВ, А₁В₁), лежащих в плоскости x 0 z:

.

Таким образом, данная поверхность представляет собой поверхность круглого конуса, у которого образующая составляет с осью угол в 45⁰.

Сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости x 0 z (или x 0 y), могут дополнить наши сведения о форме конической поверхности. Так, из системы:

получим равносильную ей систему

,

т.е. сечение конуса плоскостями, параллельными плоскости x 0 z, есть гиперболы.

Рис. 5

Полярные координаты

 

Полярная система координат определяется заданием точки О, луча ОР, масштабной единицы l.

Рис. 6

ОР - полярная ось, О - полярный полюс, r – расстояние точки М от полюса О, l – единица масштаба, j - угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ (рис. 6).

Эти числа r и j называют полярными координатами точки М, причем величину r – полярным радиусом, а j – полярным углом точки М (0£j<2p, r >0).

Если совместить декартову систему координат с полярной (ось ОР пойдет по оси О х, а полюс О совпадет с началом координат), то связь между декартовыми координатами (х, у) каждой точки М и полярными ее координатами (r, j) будет такой:

x = r ×cos j, y = r ×sin j, r = , tg j=

Решение типовых задач

Задача 1. Даны точки А(-1; 2; -5) и В(-8; -3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору .

Решение. Найдем координаты нормального вектора = . Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы и ортогональны,т.е. их скалярное произведение равно нулю , т.е.

,

.

Задача 2. Даны три точки А, В и С. Найти уравнение плоскости, на которой лежат данные точки.

1. A (1,2,3), B (4,-1,-2), C (4,0,3).

Решение. Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы ={ x -1, y -2, z -3}, ={4-1,-1-2,-2-3}={3,-3,-5}, ={4-1,0-2,3-3}={3,-2,0} компланарны, поэтому

, то есть .

Вычисляем определитель разложением по элементам первой строки.

(x -1)×(-1)¹⁺¹× +(y -2)×(-1)¹⁺²× +(z -3)×(-1)¹⁺³× =0.

(x -1)×(-3×0-(-2)×(-5))+(y -2)×(-1)×(3×0-3×(-5))+(z -3)×(3×(-2)-3×(-3))=0,

(x -1)×(0+10)-(y -2)×(0+15)+(z -3)×(-6+9)=0,

10×(x -1)-15×(y -2)+3×(z -3)=0, 10 x -10-15 y +30+3 z -9=0,

10 x -15 y +3 z +11=0 – искомое уравнение.

Ответ: 10 x -15 y +3 z +11=0.

2. A (1,2,0), B (1,-1,2) и C (0,1,-1).

Решение. Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы

={ x -1, y -2, z -0}, ={1-1, -1-2, 2-0}={0,-3,2},

={0-1, 1-2,-1-0}={-1,-1,-1}.

Векторы , и компланарны и их смешанное произведение равно нулю.

, .

Вычисляем определитель разложением по элементам первой строки:

(x -1)× -(y -2)× + z × =0.

(x -1)×(3-(-2))-(y -2)×(0-(-2))+ z (0-3)=0, 5 x- 5-2 y +4-3 z =0,

5 x -2 y -3 z -1=0 – искомое уравнение.

Ответ: 5 x -2 y -3 z -1=0.

Задача 3. Найти расстояние от точки А(1; -2; 3) до плоскости 2 x - y -2 z +5=0.

Решение. Подставляем в формулу вычисления расстояния от точки до плоскости:

.

Ответ: 1.

Задача 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; -2; 0) и параллельно плоскости 2 x -4 y - z +1=0.

Решение. Так как плоскости параллельны, то в качестве нормального вектора можно взять нормальный вектор данной плоскости, т.е. .

Получаем общее уравнение плоскости

2(x -1)-4(y +2)-(z -0)=0, 2 x -4 y - z -10=0.

Задача 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

Решение. Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы , и компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю , т.е.

, ,

Вычисляем определитель разложением по элементам первой строки:

(x -3)× -(y -2)× +(z+ 1)× =0.

(x -3)×(3-12)-(y -2)×(18-6)+(z +1)(-24-(-2))=0,

-9(x -3)-12(y -2)-22(z +1)=0, 9 x +12 y +22 z -29=0,

Ответ: 9 x +12 y +22 z -29=0.

Задача 7. Даны точки А и В. Найти уравнение прямой, проходящей через данные точки.

1. A (-1,2,3), B (2,6,-2).

Решение. Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки:

, .

(Здесь первой точкой считали А, а второй – В.)

2. A (2,-1,3), B (2,3,3).

; .

Задача 8. Привести к каноническому виду общее уравнения прямой

.

Решение. Для того, чтобы записать каноническое уравнение искомой прямой достаточно найти: 1) хотя бы одну точку А, через которую проходит данная прямая; 2) ее направляющий вектор .

В качестве точки А можно принять точку ее пересечения с любой из координатных плоскостей, например, с плоскостью x 0y. Поскольку при этом z ₁=0, координаты x ₁, y ₁ определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них z =0:

.

Отсюда x ₁=2, y ₁=4.

Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Способ 1. Определить координаты еще одной любой точки прямой, например, В(0; 24; 14). Тогда в качестве вектора можно взять вектор

.

Тогда искомое уравнение прямой запишется в виде

.

Способ 2. Направляющий вектор должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей , , и в качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и :

= .

Каноническое уравнение прямой примет вид:

.

Задача 9. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(-1; 3; 2) и параллельно прямой x =4+5 t, y =7 t, z =8-3 t.

Решение. Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то в качестве ее направляющего вектора можно взять направляющий вектор данной прямой. Используя уравнение прямой, проходящей через А и параллельной вектору , получим искомое уравнение прямой в каноническом виде:

,

в параметрическом виде:

.

Задача 10. Найти угол между прямыми

и .

Решение. Первая из прямых описана каноническим уравнением, ее направляющий вектор . Вторая прямая задана в параметрической форме, ее направляющий вектор . Угол между прямыми:

. Ðj= .

Задача 11. Дана точка Р (x ₀, y ₀, z ₀) и плоскость (a): Ax + By + Cz + D =0. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости.

Указание. Нормальный вектор плоскости ={ A,B,C } будучи перпендикулярным к данной плоскости параллелен искомой прямой. И его можно считать направляющим вектором этой прямой.

.

1. Р (0,0,0) и (a): 4 x-y +2 z -3=0.

={4,-1,2}.

; - искомое уравнение.

2. Р (2,1,-1) и (a): x-y + z +1=0.

={1,-1,1}.

; - искомое уравнение.

3. P (3,-1,-1), (a): 3 x + y + z -20=0.

={3,1,1}.

; - искомое уравнение.

4. Р (2,3,1), (a): 2 x -3 z +1=0.

={2,0,-3}.

- искомое уравнение.

Задача 12. Даны уравнения прямой l и плоскости a. Найти угол между ними.

Находится по формуле:

sin j= .

1. Уравнение прямой l: , уравнение плоскости a: 2 x - y + z +3=0.

Решение. Направляющий вектор прямой ={2,-3,1}, нормальный вектор плоскости ={2,-1,1}. Находим скалярное произведение данных векторов:

× =2×2+(-3)×(-1)+1×1=4+3+1=8.

Находим длины векторов:

,

.

sin j= = = = =

= = = = »0,8730.

Ðj=arcsin »60⁰49^’.

Ответ: 60⁰49^’.

2. Уравнение прямой l: , уравнение плоскости a: x+2y-z+3 =0.

Решение. Направляющий вектор прямой ={2,-3,-1}, нормальный вектор плоскости ={1,2,-1}.

× =2×1+(-3)×2+(-1)×(-1)=2-6+1= – 3,

,

.

sin j= = = = =

= = = »0,3274.

Ðj=arcsin »19⁰7^’.

Ответ: 19⁰7^’.

Задача 13. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3 x -2 y + z -3=0.

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

.

Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем

3(2 t -1)-2(t +2)+(- t +1)=0,

откуда

t =3.

Подставим найденное значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения:

х =5, y =5, z =-2.

Задача 14. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; -2; 3) и прямую .

Решение. Проверим, лежит ли заданная точка А на прямой

.

Так как пропорции не выполнены, то точка А не принадлежит данной прямой. Точка В(3; -1; 7) лежит на данной прямой, а направляющий вектор ={2; 4; 3}. Если М(x; y; z) – произвольная точка плоскости, то векторы ={ x -3; y +1; z -7}, ={2; 1; 4} и компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю:

,

,

-13(x -3)+2(y +1)+6(z -7)=0, 13 x -2 y -6 z +1=0.

Задача 15. Даны три точки: А (-1,7), В (0,9), С (1,3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно прямой ВС.

А Î l, l || BC.

Решение. Так как || l, то ={1-0,3-9}={1,-6} - направляющий вектор прямой.

Если точка А (-1,7)Î l, есть вектор ={1,-6}|| l, тогда для составления уравнения применим каноническое уравнение прямой:

, ,

, , .

Ответ: .

Задача 16. В D АВС А (0,7), В (2,5), С (6,-4). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины С. (рис. 7).

Рис. 7

Решение. Так как М – середина АВ (l=1),

= =1; = = =6.

М (1,6)Î(СМ). С (6,-4)Î(СМ), тогда

, ,

½:5,

, , , .

Ответ: .

Задача 17. Найти угловые коэффициенты прямых:

l ₁: 3 x +5 y -7=0, l ₂: 2 x + y =0, l ₃: 3 x +2 y +6=0,

l ₄: 5 x + y -3=0, l ₅: 4 x -9 y =0, l ₆: 2 y +3=0.

Решение. Прямые заданы общими уравнениями. Разрешив каждое относительно у, получим уравнения вида y = k×x + b, из которых и запишем значения k.

l ₁: 5 y =-3 x +7½:5; y = , y = , k ₂= ;

l ₂: y =-2 x, k ₂=-2;

l ₃: 2 y =-3 x -6½:2; y = , y = ; k ₃= ;

l ₄: y =-5 x +3; k ₄=-5;

l ₅: 9 y =4 x, y = , y = , k ₅= ;

l ₆: 2 y =-3, y = , y =0× x - , k ₆=0.

Задача 18. Составить уравнения прямой:

1) проходящей через точку (-1,-1) и имеющей угловой коэффициент k =1;

2) проходящей через точку (2,0) и имеющей угловой коэффициент k =-2.

Решение.

1) Подставим данные:

y -(-1)=1×(x -(-1)), y +1=1×(x +1), y +1= x +1, x - y =0;

2) y -0=-2×(x -2), y =-2 x +2, 2 x + y -2=0.

Ответ: х-y =0, 2 x+y -2=0.

Задача 10. Найти точку пересечения прямых 3 x -4 y +11=0 и 4 x-y -7=0.

Решение. Для этого необходимо решить систему уравнений этих прямых.

, .

Умножим обе части второго уравнения на (-4) и почленно сложим уравнения.

, , .

Подставляем х =3 в первое уравнение системы:

3×3-4 y =-11, -4 y =-11-9, -4 y =-20, y =5.

Ответ: (3; 5).

Задача 19. Даны уравнения сторон треугольника: х +3 у -3=0, 3 х -11 у -29=0 и 3 х-у +11=0. Найти вершины этого треугольника.

Решение. Для вычисления координат вершин треугольника необходимо решить три системы уравнений:

, , .

Решаем первую систему. Умножаем обе части первого уравнения на (-3):

, ,

почленное сложение даст уравнение

-20 у -20=0, -20 у =20, у =-1.

Система примет вид

,

находим х, подставляя в первое уравнение найденное значение у:

х +3×(-1)-3=0, х -3-3=0, х =6.

Одна из вершин (6;-1).

Решаем вторую систему. Умножив обе части второго уравнения на (-1) и сложив почленно, получим

, , .

Подставляя найденное значение у = – 4 в первое уравнение системы, найдем х:

3× x -11×(-4)-29=0, 3 x =-44+25, 3 x =-15, x =-5.

Вторая вершина (-5; -4).

Решение третьей системы уравнений:

, , ,

, .

Подставляя найденное значение х =-3 в первое уравнение системы, найдем у:

-3+3 y -3=0, 3 y =6, y =2.

Третья вершина (-3;2).

Задача 20. Найти угол между двумя прямыми:

1) у =-2 х и у =3 х +5;

2) 4 х +2 у -5=0 и 6 х+ 3 у +1=0;

3) х-у -2=0 и х+у -1=0;

4) 2 х+ 3 у-1 =0 и 3 х -2 у+ 1=0;

5) 3 х +4 у -5=0 и 5 х -2 у+ 7=0;

6) у =2 х+ 3 и у -4=0.

Решение. Находим угловые коэффициенты прямых. А затем находим тангенсы искомых углов.

1) k ₁=-2, k ₂=3, тогда получим:

=-1, Ðj=135⁰;

2) k ₁=-2, k ₂=-2, тогда

=0, Ðj=0⁰,

т.е. данные прямые параллельны;

3) k ₁= , k ₂=- , тогда

= = = , Ðj=60⁰;

4) k ₁= , k ₂= .

Видно, что k ₁× k ₂=-1; значит, эти две прямые образуют угол 90⁰, т.е. они взаимно перпендикулярны;

5) оба уравнения решим относительно у. Получим уравнения

у= , k ₁= ; y = , k ₂= .

= = =

= = »-3,714, Ðj»105⁰4^’;

6) k ₁=2, k ₂=0, следовательно,

= =-2, Ðj»116⁰34^’.

Задача 21. В D АВС А (4; 6), В (-3; 0), С (2; -3). Найти углы треугольника и уравнение высоты СЕ.

Решение. Уравнения прямых (АВ), (ВС) и (СА) найдем, как уравнение прямых, проходящих через 2 точки и сразу же находим угловые коэффициенты.

(АВ):

, , (x -4)×(-6)=(y -6)×(-7),

-6 x +24=-7 y +42, 7 y =6 x +42-24, 7 y =6 x +18,

y = , k_AB = ;

(BC):

, , (x +3)×(-3)= y ×5,

-3 x- 9=5 y, y = , k_BC = ;

(AC):

, , (x -4)×(-9)=(y -6)×(-2),

-9 x +36=-2 y +12, 2 y =9 x -24, y = , k_AC = .

Теперь находим углы треугольника:

= = =0,75, Ð A»36⁰52^’;

= =3, Ð B»71⁰34’;

tg C = =3, Ð C»71⁰34’.

Получили, что Ð В =Ð С» 71⁰34’, т.е. D АВС – равнобедренный.

Найдем уравнение высоты (СЕ).

Так как (СЕ)^(АВ), то k_СЕ = = , и точка С (2,-3) лежит на (СЕ).

Значит

y -(-3)= , y +3= |×6, 6 y +18=-7(x- 2),

6 y +18=-7 x +14, 7 x +6 y +4=0.

Ответ. Ð A»36⁰52^’; Ð В =Ð С»71⁰34’; 7 x +6 y+ 4=0.

Задача 22. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-2,4) параллельно прямой 2 х -3 у +6=0.

Решение. Так как прямые параллельны, то k ₁= k ₂. Находим угловой коэффициент данной прямой

3 y =2 x +6 |:3, y = , k ₁= .

Искомая прямая проходит через точку М (-2,4) и имеет угловой коэффициент k ₂= . Поэтому ее уравнение записывается в виде

y- 4= , y -4= |×3, 3 y -12=2(x +2),

3 y- 12=2 x+ 4, 2 x -3 y +16=0.

Ответ. 2 x- 3 y +16=0.

Задача 23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2,3) перпендикулярно прямой 5 х -4 у -20=0.

Решение. Так как прямые перпендикулярны, то . Находим угловой коэффициент данной прямой:

4 у =5 х- 20 |:4, y = , k ₁= ,

тогда угловой коэффициент искомой прямой k ₂= .

Итак, k ₂= и точка М (2,3) лежит на прямой. Уравнение для этой прямой записы