ТОП 10:

Уравнение поверхности в пространстве.



Уравнение поверхности в пространстве.

Пусть заданы декартова прямоугольная система координат Охуz в пространстве и некоторая поверхность S.

Определение. Уравнение F(x;y;z)=0 (7)называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х,у, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты х, y и z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

Т.о. поверхностью называется геометрическое место точек {M(x;y;z)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (7).

Уравнение (7) определяет поверхность S.

z=f(x;y) (8) – явное уравнение линии в ДСК

(Уравнение (8) может быть получено из уравнения (7) путем выражения из этого уравнения одной переменной через другие.

Если уравнение (7) не содержит какой-либо координаты х,у или z, то получаем уравнение цилиндрической поверхности, которая параллельна оси, соответствующей отсутствующей переменной. F(x;y)=0

x2+y2=R2

Пример. Уравнение сферы.

Сферойв пространстве называется множество точек равноудаленных от заданной точки М000;z0) – центра сферы.

Пусть М(х;у;z) – некоторая переменная точка сфера. Расстояние от точки М до центра М0 постоянно и равно радиусу сферы, т.е. d(M0M)=const=R

R=

R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 – уравнение сферы.

Уравнения линия в пространстве R3.

Линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.

(9) – общее уравнение линии в пространстве.

Линию как пересечение двух поверхностей в пространстве можно представить бесчисленным числом способов. Т.е. вместо системы (9) можно взять любую эквивалентную систему.

Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве.

Линию в пространстве можно так же задать параметрически:

(10)где функции j(t), y(t) и c(t) определены и непрерывны в некотором промежутке изменения параметра t.

Покажем, что этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению линии как пересечения двух поверхностей.

Допустим, что хотя бы одна из трех функций, например c(t), имеет обратную. Тогда t=c-1(z) подставляя это значение вместо t в первые два равенства (10), получим уравнения двух поверхностей x=j(c-1(z)), y=y(c-1(z)),

пересечением которых является данная линия. Пример (с.115).

Классификация поверхностей.

Определение 1.Поверхность называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется алгебраическим уравнением F(x;y;z)=0 с тремя переменными.

Определение 2. Всякая не алгебраическая поверхность называется трансцендентной.

Определение 3. Алгебраическая поверхность называетсяповерхностью порядка n, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением степени n с тремя переменными.

Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.

Теорема(док-во на с.117). Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

Плоскость в пространстве.

Теорема.Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка вы пространстве есть плоскость. (т.е. плоскость задается уравнением 1-й степени с тремя переменными).

Доказательство.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М000;z0) перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n=Ai+Bj+Ck- нормальный вектор плоскости (вектор нормали).

Множество всех точек пространства разбивается на три подмножества: точек, принадлежащих плоскости и точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.

Пусть М(х;у;z) – произвольная точка пространства. Какому из этих подмножеств принадлежит точка М зависит от знака скалярного произведения nM0M.

Если точка М принадлежит плоскости, то M0M=(x-x0;y-y0;z-z0) n.Следовательно, n·M0M=0. Т.е.

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0причем А222¹0, т.к. вектор n– ненулевой.

Преобразуем это уравнение:

Ax+Ву+Сz-Аx0-By0-Cz0=0 Обозначим D=-Аx0-By0-Cz0

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) – общее уравнение плоскости.

Т.о. любой плоскости в пространстве соответствует уравнение первой степени относительно переменных х,у,z.

Докажем 2-е утверждение, т.е. что при любом выборе параметров А, В и С уравнению (2) соответствует некоторая плоскость в пространстве.

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени с тремя переменными:

Ax+Ву+Сz+D=0 (А222¹0)

Это уравнение имеет хотя бы одно решение х00;z0, т.е. существует хотя бы одна точка М000;z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Ax0+Ву0+Сz0+D=0 (2)

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим уравнение, эквивалентное (1):

A(х-x0)+В(у-у0)+С(z-z0)+D=0 (3)

Достаточно доказать, что уравнение (3) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Покажем, что уравнение (3), а значит и (1), определяет относительно системы Охуz плоскость p, проходящую через точку М000;z0) и перпендикулярную вектору n={А;В;С} (т.к. А222≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у,z) лежит на плоскости p, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} ортогональны и их скалярное произведение n=0 Þ (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С=0.

Если же М(х,у,z) не лежит на плоскости p, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С не равно нулю. Ч.т.д.

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) (1) – общее уравнение плоскости.

n={А;В;С} – нормальный вектор плоскости.

Замечание. Если два общих уравнения Ax+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что

A1=At, B1=Bt, C1=Ct, D1=Dt (4)

Действительно, т.к. плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 совпадают, то векторы n={А;В;C} и n1={А11;C1} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n1=ntÞиз линейного свойства координат вектора следуют первые три равенства (4). Т.к. плоскости совпадают, то они имеют общую точку М000;z0). Т.е. Ах0+Ву0+Сz0+D=0 и А1х01у01z0+D1=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А10+(Bt-В10+(Ct-С1)z0+(Dt-D1)=0ÞDt-D1=0ÞDt=D1.

Т.о. общее уравнение плоскости, как и нормальный вектор плоскости, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.

Пучки и связки плоскостей.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. (б.д.?)Если A1x+В1у+С1z+D1=0 и A2x+В2у+С2z+D2=0 уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а a и b - произвольные числа такие, что a2+b2¹0, то

a(A1x+В1у+С1z+D1)+b(A2x+В2у+С2z+D2)=0 (15)

уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она определяется уравнением (15) при некоторых a и b.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку М000;z0), называется связкой плоскостей (с центром в М0).

Уравнение связки с центром в точке М000;z0) имеет вид

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (16), где А222¹0

Прямая в пространстве.

Связка прямых.

Совокупность всех прямых, проходящих через точку М1(x1,y1,z1), называется связкой прямых (с центром в точке М1).

Уравнения связки прямых с центром в точке М1 имеют вид:

(16)

где l, m, n - произвольные числа, такие, что l2+m2+n2¹0/

Действительно, всякая прямая, определяемая уравнениями (16), проходит через точку М1(x1,y1,z1). С другой стороны, если L – наперед заданная прямая, проходящая через точку М1(x1,y1,z1), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М1(x1,y1,z1), направляющим вектором q={l;m;n} и потому определяются каноническими уравнениями, совпадающими с уравнениями (16).

 

Уравнение поверхности в пространстве.

Пусть заданы декартова прямоугольная система координат Охуz в пространстве и некоторая поверхность S.

Определение. Уравнение F(x;y;z)=0 (7)называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х,у, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты х, y и z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

Т.о. поверхностью называется геометрическое место точек {M(x;y;z)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (7).

Уравнение (7) определяет поверхность S.

z=f(x;y) (8) – явное уравнение линии в ДСК

(Уравнение (8) может быть получено из уравнения (7) путем выражения из этого уравнения одной переменной через другие.

Если уравнение (7) не содержит какой-либо координаты х,у или z, то получаем уравнение цилиндрической поверхности, которая параллельна оси, соответствующей отсутствующей переменной. F(x;y)=0

x2+y2=R2

Пример. Уравнение сферы.

Сферойв пространстве называется множество точек равноудаленных от заданной точки М000;z0) – центра сферы.

Пусть М(х;у;z) – некоторая переменная точка сфера. Расстояние от точки М до центра М0 постоянно и равно радиусу сферы, т.е. d(M0M)=const=R

R=

R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 – уравнение сферы.

Уравнения линия в пространстве R3.

Линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.

(9) – общее уравнение линии в пространстве.

Линию как пересечение двух поверхностей в пространстве можно представить бесчисленным числом способов. Т.е. вместо системы (9) можно взять любую эквивалентную систему.

Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве.

Линию в пространстве можно так же задать параметрически:

(10)где функции j(t), y(t) и c(t) определены и непрерывны в некотором промежутке изменения параметра t.

Покажем, что этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению линии как пересечения двух поверхностей.

Допустим, что хотя бы одна из трех функций, например c(t), имеет обратную. Тогда t=c-1(z) подставляя это значение вместо t в первые два равенства (10), получим уравнения двух поверхностей x=j(c-1(z)), y=y(c-1(z)),

пересечением которых является данная линия. Пример (с.115).

Классификация поверхностей.

Определение 1.Поверхность называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется алгебраическим уравнением F(x;y;z)=0 с тремя переменными.

Определение 2. Всякая не алгебраическая поверхность называется трансцендентной.

Определение 3. Алгебраическая поверхность называетсяповерхностью порядка n, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением степени n с тремя переменными.

Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.

Теорема(док-во на с.117). Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

Плоскость в пространстве.

Теорема.Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка вы пространстве есть плоскость. (т.е. плоскость задается уравнением 1-й степени с тремя переменными).

Доказательство.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М000;z0) перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n=Ai+Bj+Ck- нормальный вектор плоскости (вектор нормали).

Множество всех точек пространства разбивается на три подмножества: точек, принадлежащих плоскости и точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.

Пусть М(х;у;z) – произвольная точка пространства. Какому из этих подмножеств принадлежит точка М зависит от знака скалярного произведения nM0M.

Если точка М принадлежит плоскости, то M0M=(x-x0;y-y0;z-z0) n.Следовательно, n·M0M=0. Т.е.

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0причем А222¹0, т.к. вектор n– ненулевой.

Преобразуем это уравнение:

Ax+Ву+Сz-Аx0-By0-Cz0=0 Обозначим D=-Аx0-By0-Cz0

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) – общее уравнение плоскости.

Т.о. любой плоскости в пространстве соответствует уравнение первой степени относительно переменных х,у,z.

Докажем 2-е утверждение, т.е. что при любом выборе параметров А, В и С уравнению (2) соответствует некоторая плоскость в пространстве.

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени с тремя переменными:

Ax+Ву+Сz+D=0 (А222¹0)

Это уравнение имеет хотя бы одно решение х00;z0, т.е. существует хотя бы одна точка М000;z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Ax0+Ву0+Сz0+D=0 (2)

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим уравнение, эквивалентное (1):

A(х-x0)+В(у-у0)+С(z-z0)+D=0 (3)

Достаточно доказать, что уравнение (3) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Покажем, что уравнение (3), а значит и (1), определяет относительно системы Охуz плоскость p, проходящую через точку М000;z0) и перпендикулярную вектору n={А;В;С} (т.к. А222≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у,z) лежит на плоскости p, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} ортогональны и их скалярное произведение n=0 Þ (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С=0.

Если же М(х,у,z) не лежит на плоскости p, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С не равно нулю. Ч.т.д.

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) (1) – общее уравнение плоскости.

n={А;В;С} – нормальный вектор плоскости.

Замечание. Если два общих уравнения Ax+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что

A1=At, B1=Bt, C1=Ct, D1=Dt (4)

Действительно, т.к. плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 совпадают, то векторы n={А;В;C} и n1={А11;C1} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n1=ntÞиз линейного свойства координат вектора следуют первые три равенства (4). Т.к. плоскости совпадают, то они имеют общую точку М000;z0). Т.е. Ах0+Ву0+Сz0+D=0 и А1х01у01z0+D1=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А10+(Bt-В10+(Ct-С1)z0+(Dt-D1)=0ÞDt-D1=0ÞDt=D1.

Т.о. общее уравнение плоскости, как и нормальный вектор плоскости, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.173.57.84 (0.017 с.)