Уравнение поверхности в пространстве.

Уравнение поверхности в пространстве.

Пусть заданы декартова прямоугольная система координат Охуz в пространстве и некоторая поверхность S.

Определение. Уравнение F(x;y;z)=0 (7) называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х,у, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты х, y и z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

Т.о. поверхностью называется геометрическое место точек {M(x;y;z)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (7).

Уравнение (7) определяет поверхность S.

z=f(x;y) (8) – явное уравнение линии в ДСК

(Уравнение (8) может быть получено из уравнения (7) путем выражения из этого уравнения одной переменной через другие.

Если уравнение (7) не содержит какой-либо координаты х,у или z, то получаем уравнение цилиндрической поверхности, которая параллельна оси, соответствующей отсутствующей переменной. F(x;y)=0

x²+y²=R²

Пример. Уравнение сферы.

Сферой в пространстве называется множество точек равноудаленных от заданной точки М₀(х₀;у₀;z₀) – центра сферы.

Пусть М(х;у;z) – некоторая переменная точка сфера. Расстояние от точки М до центра М₀ постоянно и равно радиусу сферы, т.е. d(M₀M)=const=R

R=

R²=(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)² – уравнение сферы.

Уравнения линия в пространстве R³.

Линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.

(9) – общее уравнение линии в пространстве.

Линию как пересечение двух поверхностей в пространстве можно представить бесчисленным числом способов. Т.е. вместо системы (9) можно взять любую эквивалентную систему.

Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве.

Ли нию в пространстве можно так же задать параметрически:

(10) где функции j(t), y(t) и c(t) определены и непрерывны в некотором промежутке изменения параметра t.

Покажем, что этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению линии как пересечения двух поверхностей.

Допустим, что хотя бы одна из трех функций, например c(t), имеет обратную. Тогда t=c^-1(z) подставляя это значение вместо t в первые два равенства (10), получим уравнения двух поверхностей x=j(c^-1(z)), y=y(c^-1(z)),

пересечением которых является данная линия. Пример (с.115).

Классификация поверхностей.

Определение 1. Поверхность называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется алгебраическим уравнением F(x;y;z)=0 с тремя переменными.

Определение 2. Всякая не алгебраическая поверхность называется трансцендентной.

Определение 3. Алгебраическая поверхность называется поверхностью порядка n, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением степени n с тремя переменными.

Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.

Теорема (док-во на с.117). Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

Плоскость в пространстве.

Теорема. Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка вы пространстве есть плоскость. (т.е. плоскость задается уравнением 1-й степени с тремя переменными).

Доказательство.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀;у₀;z₀) перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n =A i +B j +C k - нормальный вектор плоскости (вектор нормали).

Множество всех точек пространства разбивается на три подмножества: точек, принадлежащих плоскости и точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.

Пусть М(х;у;z) – произвольная точка пространства. Какому из этих подмножеств принадлежит точка М зависит от знака скалярного произведения nM₀M.

Если точка М принадлежит плоскости, то M₀M =(x-x₀;y-y₀;z-z₀) n. Следовательно, n·M₀M= 0. Т.е.

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 причем А²+В²+С²¹0, т.к. вектор n – ненулевой.

Преобразуем это уравнение:

Ax+Ву+Сz-Аx₀-By₀-Cz₀=0 Обозначим D=-Аx₀-By₀-Cz₀

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) – общее уравнение плоскости.

Т.о. любой плоскости в пространстве соответствует уравнение первой степени относительно переменных х,у,z.

Докажем 2-е утверждение, т.е. что при любом выборе параметров А, В и С уравнению (2) соответствует некоторая плоскость в пространстве.

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени с тремя переменными:

Ax+Ву+Сz+D=0 (А²+В²+С²¹0)

Это уравнение имеет хотя бы одно решение х₀;у₀;z₀, т.е. существует хотя бы одна точка М₀(х₀;у₀;z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Ax₀+Ву₀+Сz₀+D=0 (2)

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим уравнение, эквивалентное (1):

A(х-x₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)+D=0 (3)

Достаточно доказать, что уравнение (3) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Покажем, что уравнение (3), а значит и (1), определяет относительно системы Охуz плоскость p, проходящую через точку М₀(х₀;у₀;z₀) и перпендикулярную вектору n ={А;В;С} (т.к. А²+В²+С²≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у,z) лежит на плоскости p, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В;С} и ={ х-х₀;y-y₀;z-z₀} ортогональны и их скалярное произведение n =0 Þ (х-х₀)А+(y-y₀)В+(z-z₀)С=0.

Если же М(х,у,z) не лежит на плоскости p, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В;С} и ={ х-х₀;y-y₀;z-z₀} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х₀)А+(y-y₀)В+(z-z₀)С не равно нулю. Ч.т.д.

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) (1) – общее уравнение плоскости.

n ={А;В;С} – нормальный вектор плоскости.

Замечание. Если два общих уравнения Ax+Ву+Сz+D=0 и А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что

A₁=At, B₁=Bt, C₁=Ct, D₁=Dt (4)

Действительно, т.к. плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 совпадают, то векторы n ={А;В;C} и n₁ ={А₁;В₁;C₁} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n₁ = n tÞиз линейного свойства координат вектора следуют первые три равенства (4). Т.к. плоскости совпадают, то они имеют общую точку М₀(х₀;у₀;z₀). Т.е. Ах₀+Ву₀+Сz₀+D=0 и А₁х₀+В₁у₀+С₁z₀+D₁=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А₁)х₀+(Bt-В₁)у₀+(Ct-С₁)z₀+(Dt-D₁)=0ÞDt-D₁=0ÞDt=D₁.

Т.о. общее уравнение плоскости, как и нормальный вектор плоскости, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.

Пучки и связки плоскостей.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. (б.д.?)Если A₁x+В₁у+С₁z+D₁=0 и A₂x+В₂у+С₂z+D₂=0 уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а a и b - произвольные числа такие, что a²+b²¹0, то

a(A₁x+В₁у+С₁z+D₁)+b(A₂x+В₂у+С₂z+D₂)=0 (15)

уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она определяется уравнением (15) при некоторых a и b.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку М₀(х₀;у₀;z₀), называется связкой плоскостей (с центром в М₀).

Уравнение связки с центром в точке М₀(х₀;у₀;z₀) имеет вид

А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0 (16), где А²+В²+С²¹0

Прямая в пространстве.

Связка прямых.

Совокупность всех прямых, проходящих через точку М₁(x₁,y₁,z₁), называется связкой прямых (с центром в точке М₁).

Уравнения связки прямых с центром в точке М₁ имеют вид:

(16)

где l, m, n - произвольные числа, такие, что l²+m²+n²¹0/

Действительно, всякая прямая, определяемая уравнениями (16), проходит через точку М₁(x₁,y₁,z₁). С другой стороны, если L – наперед заданная прямая, проходящая через точку М₁(x₁,y₁,z₁), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М₁(x₁,y₁,z₁), направляющим вектором q ={l;m;n} и потому определяются каноническими уравнениями, совпадающими с уравнениями (16).

 

Уравнение поверхности в пространстве.

Пусть заданы декартова прямоугольная система координат Охуz в пространстве и некоторая поверхность S.

Определение. Уравнение F(x;y;z)=0 (7) называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х,у, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты х, y и z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

Т.о. поверхностью называется геометрическое место точек {M(x;y;z)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (7).

Уравнение (7) определяет поверхность S.

z=f(x;y) (8) – явное уравнение линии в ДСК

(Уравнение (8) может быть получено из уравнения (7) путем выражения из этого уравнения одной переменной через другие.

Если уравнение (7) не содержит какой-либо координаты х,у или z, то получаем уравнение цилиндрической поверхности, которая параллельна оси, соответствующей отсутствующей переменной. F(x;y)=0

x²+y²=R²

Пример. Уравнение сферы.

Сферой в пространстве называется множество точек равноудаленных от заданной точки М₀(х₀;у₀;z₀) – центра сферы.

Пусть М(х;у;z) – некоторая переменная точка сфера. Расстояние от точки М до центра М₀ постоянно и равно радиусу сферы, т.е. d(M₀M)=const=R

R=

R²=(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)² – уравнение сферы.

Уравнения линия в пространстве R³.

Линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.

(9) – общее уравнение линии в пространстве.

Линию как пересечение двух поверхностей в пространстве можно представить бесчисленным числом способов. Т.е. вместо системы (9) можно взять любую эквивалентную систему.

Параметрические уравнения линии и поверхности в пространстве.

Ли нию в пространстве можно так же задать параметрически:

(10) где функции j(t), y(t) и c(t) определены и непрерывны в некотором промежутке изменения параметра t.

Покажем, что этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению линии как пересечения двух поверхностей.

Допустим, что хотя бы одна из трех функций, например c(t), имеет обратную. Тогда t=c^-1(z) подставляя это значение вместо t в первые два равенства (10), получим уравнения двух поверхностей x=j(c^-1(z)), y=y(c^-1(z)),

пересечением которых является данная линия. Пример (с.115).

Классификация поверхностей.

Определение 1. Поверхность называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется алгебраическим уравнением F(x;y;z)=0 с тремя переменными.

Определение 2. Всякая не алгебраическая поверхность называется трансцендентной.

Определение 3. Алгебраическая поверхность называется поверхностью порядка n, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определяется алгебраическим уравнением степени n с тремя переменными.

Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.

Теорема (док-во на с.117). Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

Плоскость в пространстве.

Теорема. Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка вы пространстве есть плоскость. (т.е. плоскость задается уравнением 1-й степени с тремя переменными).

Доказательство.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀;у₀;z₀) перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n =A i +B j +C k - нормальный вектор плоскости (вектор нормали).

Множество всех точек пространства разбивается на три подмножества: точек, принадлежащих плоскости и точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.

Пусть М(х;у;z) – произвольная точка пространства. Какому из этих подмножеств принадлежит точка М зависит от знака скалярного произведения nM₀M.

Если точка М принадлежит плоскости, то M₀M =(x-x₀;y-y₀;z-z₀) n. Следовательно, n·M₀M= 0. Т.е.

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 причем А²+В²+С²¹0, т.к. вектор n – ненулевой.

Преобразуем это уравнение:

Ax+Ву+Сz-Аx₀-By₀-Cz₀=0 Обозначим D=-Аx₀-By₀-Cz₀

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) – общее уравнение плоскости.

Т.о. любой плоскости в пространстве соответствует уравнение первой степени относительно переменных х,у,z.

Докажем 2-е утверждение, т.е. что при любом выборе параметров А, В и С уравнению (2) соответствует некоторая плоскость в пространстве.

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени с тремя переменными:

Ax+Ву+Сz+D=0 (А²+В²+С²¹0)

Это уравнение имеет хотя бы одно решение х₀;у₀;z₀, т.е. существует хотя бы одна точка М₀(х₀;у₀;z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Ax₀+Ву₀+Сz₀+D=0 (2)

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим уравнение, эквивалентное (1):

A(х-x₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)+D=0 (3)

Достаточно доказать, что уравнение (3) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Покажем, что уравнение (3), а значит и (1), определяет относительно системы Охуz плоскость p, проходящую через точку М₀(х₀;у₀;z₀) и перпендикулярную вектору n ={А;В;С} (т.к. А²+В²+С²≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у,z) лежит на плоскости p, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В;С} и ={ х-х₀;y-y₀;z-z₀} ортогональны и их скалярное произведение n =0 Þ (х-х₀)А+(y-y₀)В+(z-z₀)С=0.

Если же М(х,у,z) не лежит на плоскости p, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В;С} и ={ х-х₀;y-y₀;z-z₀} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х₀)А+(y-y₀)В+(z-z₀)С не равно нулю. Ч.т.д.

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) (1) – общее уравнение плоскости.

n ={А;В;С} – нормальный вектор плоскости.

Замечание. Если два общих уравнения Ax+Ву+Сz+D=0 и А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что

A₁=At, B₁=Bt, C₁=Ct, D₁=Dt (4)

Действительно, т.к. плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 совпадают, то векторы n ={А;В;C} и n₁ ={А₁;В₁;C₁} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n₁ = n tÞиз линейного свойства координат вектора следуют первые три равенства (4). Т.к. плоскости совпадают, то они имеют общую точку М₀(х₀;у₀;z₀). Т.е. Ах₀+Ву₀+Сz₀+D=0 и А₁х₀+В₁у₀+С₁z₀+D₁=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А₁)х₀+(Bt-В₁)у₀+(Ct-С₁)z₀+(Dt-D₁)=0ÞDt-D₁=0ÞDt=D₁.

Т.о. общее уравнение плоскости, как и нормальный вектор плоскости, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.