Контрольная работа «Кривые и поверхности второго порядка»

1. Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса в прямоугольной декартовой системе координат. Основные параметры кривой.

2. Уравнение поверхности привести к каноническому виду. Сделать рисунок в канонической системе координат. Указать название данной поверхности.

3.Составить уравнение равноосной гиперболы, если известны ее центр и один их фокусов . Сделать рисунок.

Контроль по модулю №2 «Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

1. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Формы записи однородной СЛАУ. Доказательство критерия существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

2.Решить матричное уравнение , где

, .

Сделать проверку.

3. Вычислить определитель матрицы . Найти обратную матрицу к .

.

 

4. Решить СЛАУ. Найти нормальную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение данной неоднородной системы:

Вопросы для подготовки к контролям по модулям, контрольной работе, зачету и экзамену

Модуль 1

1. Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства.

2. Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

3. Определение базиса в пространствах векторов , , . Доказательство теоремы о существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе.

4. Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе.

5. Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

6. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва). Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.

7. Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов. Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе.

8. Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии.

9. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой.

10. Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

11.Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Определение нормального вектора прямой.

12. Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями.

13. Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости.

14. Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости. Определение нормального вектора плоскости. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости “в отрезках”.

15. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

16. Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.

17. Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

18. Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости.

19. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности пр ямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.

20. Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми.

Модуль 2

21. Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.

22. Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.

23. Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.

24. Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2‑го порядка.

25. Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.

26. Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.

27. Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.

28. Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.

29. Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.

30. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.

31. Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.

32. Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с обратной матрицей.

33. Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

34. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Доказательство критерия линейной зависимости строк (столбцов).

35. Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без док-ва). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.

36. Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.

37. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.

38. Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

39. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Cовместные и несовместные СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера—Капели совместности СЛАУ.

40. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Свойства их решений.

41. Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Построение ФСР.

42. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Литература

Основная литература (ОЛ)

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. – М., Изд. МГТУ, 1998. – 392 с.

2. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2003. – 240 с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2003. – 296 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1 – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.

Дополнительная литература (ДЛ))

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987. – 336 с.

2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – Спб.: Профессия, 2001. – 240 с.

3. Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987. – 496 с.

 

Методические пособия

1.Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 46 с.

2.Векторная алгебра и аналитическая геометрия / Под ред. В.Ф. Панова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1989.

3.Галкин С.В. Матрицы и определители, решение систем. – М.: МВТУ, 1988. – 45 с.

4.Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 1991. – 154 с.

5.Дубограй И.В., Леванков В.И., Максимова Е.В. Методические указания к выполнению домашнего задания по теме “Кривые второго порядка”. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2002. – 52 с.

6.Бархатова О.А., Садыхов Г.С. Поверхности второго порядка. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2005. – 40 с.

7.Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004.

8.Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейных алгебраических уравнений. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004. – 61 с.

9.Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Мет. Указ. К решению задач (PDF). – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010: http://wwwcdl.bmstu.ru/fn1.

 

Рекомендуемые Интернет-сайты:

1. Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Мет. Указ. К решению задач (PDF). – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010: http://wwwcdl.bmstu.ru/fn1.

ХИМИЯ

Модуль 1

Таблица 8.1

Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы	Сроки проведения или выполнения,недели	Трудоёмкость,часы	Примечание
25. Лекции	1-7
26. Домашние задания текущие	1-7
27. Рубежный контроль №1

Модуль 2

Таблица 8.2

Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы	Сроки проведения или выполнения,недели	Трудоёмкость,часы	Примечание
28. Лекции	8-11
29. Домашние задания текущие	8-11
30. Рубежный контроль №1

Модуль 3

Таблица 8.3

Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы	Сроки проведения или выполнения,недели	Трудоёмкость,часы	Примечание
31. Лекции	12-17
32. Домашние задания текущие	12-17
33. Рубежный контроль №1

 

Модуль 1: Строение вещества, химия элементов и их соединений.

Лекции

Лекция 1. Химия как раздел естество знания, значение химии для науки и технологии.. Вещество и его строение. Понятие о квантово-механической модели атома водорода. Вероятностный характер процессов в микромире: принцип неопределенности Гейзенберга, волна де-Бройля, волновое уравнение Шредингера. Квантовые числа. Атомная орбиталь. Формы орбиталей. Строение многоэлектронных атомов. Принцип минимальной энергии. Принцип Паули. Правила Хунда и Клечковского. Электронные конфигурации атомов. Энергетические характеристики атомов: энергия ионизации, сродство к электрону, электроотрицательность.

ОЛ – 1, Гл.3; ОЛ – 2, Гл.1; ОЛ- 3, Гл.1; ОЛ – 4, Гл.1.

Лекция 2. Химическая связь. Характеристики связи: энергия, длина, валентный угол. Типы связи. Полярность связи. Понятие о методе молекулярных орбиталей. Энергетические диаграммы молекулярных орбиталей для бинарных гомоядерных молекул, σ – и π - молекулярные орбитали. Диа- и парамагнитные молекулы. Понятие о методе валентных связей. Гибридизация атомных орбиталей. σ - и π - связи. Геометрическая конфигурация молекул. Электрический момент диполя молекулы.

Лекция 3. Ионная связь и ее особенности. Межмолекулярные взаимодействия. Водородная связь. Химическая связь в комплексных соединениях. Строение вещества в конденсированном состоянии. Аморфное и кристаллическое состояние вещества. Типы химической связи в кристаллах. Общие представления о строении кристаллов: элементы симметрии, кристаллографические системы, элементарная ячейка кристаллов кубической системы и ее характеристики.

ОЛ – 1, Гл.4; ОЛ – 2, Гл.3-5; ОЛ – 3, Гл.3-5; ОЛ - 4, Гл.2-3; ОЛ - 5, Гл.2-4.

Лекция 4. Периодический закон Д.И. Менделеева и периодическая система элементов. Периодические свойства элементов и их соединений. s -, p -, d -, f – элементы. Расположение металлов в периодической системе элементов. Особенности электронного строения атомов металлов. Общие физические и химические свойства металлов, нахождение в природе. Методы получения.

Физико - химические свойства s – элементов, взаимодействие с простыми и сложными веществами. Щелочные и щелочноземельные металлы. Химические свойства соединений s – элементов с водородом, кислородом, азотом, серой, галогенами.

Лекции 5-6. Химия воды. Жесткость воды. Основные виды жесткости. Методы определения жесткости, способы устранения.

Физико - химические свойства d – элементов. Закономерности изменения свойств по группам и периодам. Особенности химического поведения. Химические свойства соединений различных степеней окисления d – элементов. Комплексные соединения. Химические свойства некоторых металлов - хрома, марганца, элементов семейства железа, меди, цинка.

Лекция 7. Физико - химические свойства p – элементов III, IV и V групп периодической системы, относящихся к металлам. Закономерности изменения химических свойств в группах, взаимодействие с простыми и сложными веществами. Химические свойства некоторых соединений: гидридов, оксидов, галогенидов. Полупроводники. Получение и применение кремния и германия.

ОЛ – 1, Гл.3; ОЛ – 2, Гл.1; ОЛ- 3, Гл.1; ОЛ – 4, Гл.1, 7,8; ОЛ - 5, Гл.1,11,12; ОЛ -6, Р.1,2;

ДЛ12,Ч1-3.

Лабораторные работы

Занятие 1. Правила работы в химической лаборатории. Основные понятия и законы химии. Выдача ДЗ1.

ОЛ – 1, Гл. 9; МП - 14-17.

Занятие 2. Важнейшие классы химических соединений.

МП – 13, ч.2, с. 9-19.

Занятие 3. Окислительно-восстановительные реакции.

МП – 13 ч.2, с. 9-19.

Занятие 4. Строение атома. Химическая связь.

ОЛ – 1, Гл.3,4; ОЛ – 2, Гл.1,3-5; ОЛ- 3, Гл.1,3-5; ОЛ – 4, Гл.1-3; ДЛ – 7-11; МП – 14,17

Занятие 5. Определениежесткости воды.

ОЛ – 1,с.515-522; МП – 13,ч.2, с. 19-27.

Занятие 6. Химические свойства d – металлов – Fe, Со, Mn, Cu.

ОЛ -4, Гл.7,8; ОЛ -6, с.60-79; МП -13, ч.2, с.36-52.

Занятие 7. Химические свойства p – элементов – Al, Sn, Pb.

ОЛ-4, Гл.7; ОЛ-6, с.92-109; МП-13, ч.2, с.28-35.

Занятие 8. Контроль выполнения модуля 1. Выдача ДЗ2.

Модуль 2: Общие закономерности протекания химических процессов

Лекции

Лекции 8-9. Элементы химической термодинамики. Первый закон термодинамики. Термодинамические функции: энтальпия и внутренняя энергия. Тепловой эффект реакции. Закон Гесса. Термохимические расчеты. Второй закон термодинамики. Понятие об энтропии. Изменение энтропии в процессах. Третий закон термодинамики. Расчет абсолютных значений стандартных энтропий веществ. Объединенное уравнение первого и второго законов. Термодинамические критерии направленности химических процессов. Энергия Гиббса. Энергия Гельмгольца. Химическое равновесие в гомогенной системе. Константа равновесия. Уравнения изотермы, изобары, изохоры химической реакции. Особенности равновесия в гетерогенных системах. Фазовые равновесия. Правило фаз.

ОЛ – 1, Гл. 3,5; ОЛ – 2, Гл.6-9; ОЛ – 3, Гл.6-9; ОЛ – 4, Гл.4; ОЛ – 5, Гл.5-6.

Лекция 10-11. Элементы химической кинетики. Понятие о скорости реакции. Зависимость скорости реакции от концентрации. Закон действующих масс. Молекулярность и порядок реакции. Кинетические уравнения реакций нулевого, 1-го и 2-го порядков. Кинетические кривые. Зависимость скорости реакции от температуры. Температурный коэффициент скорости реакции. Правило Вант-Гоффа. Уравнение Аррениуса. Понятие об энергии активации. Энергетическая диаграмма реакции. Особенности кинетики гетерогенных процессов. Понятие о диффузии и адсорбции. Понятие о теории активированного комплекса. Гомогенный и гетерогенный катализ.

ОЛ – 1, Гл. 4; ОЛ – 2, Гл.10; ОЛ – 3, Гл.10; ОЛ – 4, Гл.5; ОЛ – 5, Гл.7.

Лабораторные работы

Занятие9. Химическое равновесие в гомогенных и гетерогенных системах.

ОЛ – 1, с.401-416; МП – 13,ч.1, с.89-97.

Занятие 10. Кинетика гомогенных химических реакций.

ОЛ – 1, с.305-309; МП – 13,ч.1, с.41-53.

Занятие 11. Закономерности протекания химических процессов.

ОЛ – 1, Гл. 3-5; ОЛ – 2, Гл.6-10; ОЛ – 3, Гл.6-10; ОЛ – 4, Гл.4-5; ОЛ – 5, Гл.5-7.

Занятие 12. Гетерогенные и каталитические реакции.

ОЛ – 1, с.309-320; МП – 11,ч.1, с.53-70.

Занятие 13. Контроль выполнения модуля 2.

Выдача ДЗ3

Модуль 3: Общие закономерности протекания химических процессов

Лекции

Лекции 12-14. Растворы неэлектролитов и электролитов. Классификация растворов. Энергетика образования растворов. Понятие об идеальных растворах. Закон Рауля для неэлектролитов и электролитов. Понятие об осмосе. Слабые электролиты. Теория электролитической диссоциации Аррениуса. Степень и коэффициент диссоциации. Константа диссоциации. Электролитическая диссоциация воды. Ионное произведение воды. Водородный и гидроксидный показатели - pH, pOH. Понятие о сильных электролитах. Активность и коэффициент активности. Ионное равновесие в системе раствор – осадок. Произведение растворимости. Диссоциация комплексных ионов. Константа нестойкости. Реакции обмена в электролитах. Гидролиз солей. Электрохимические процессы в электролитах. Возникновение двойного электрического слоя на границе металл - электролит. Электродный потенциал. Уравнение Нернста для электродного потенциала и электродвижущей силы (ЭДС) электрохимической цепи. Стандартный водородный электрод. Ряд стандартных электродных потенциалов. Типы электродов. Гальванический элемент Даниэля-Якоби. Определение направления окислительно-восстановительных реакций. Электролиз. Законы Фарадея. Кинетика электрохимических процессов. Понятие о поляризации и перенапряжении. Применение электрохимических процессов в технике. Химические источники тока, первичные элементы и аккумуляторы.

ОЛ – 1, Гл. 6,7; ОЛ – 2, Гл.11-14,16-20; ОЛ – 3, Гл.11-14,16-17; ОЛ – 4, Гл.6; ОЛ – 5, Гл.8-9.

Лекции 15-16. Коррозия и защита металлов. Классификация коррозионных процессов по виду разрушений и активности коррозионных сред. Типы коррозионных процессов. Показатели коррозии: глубинный, массовый, объемный, токовый. Химическая коррозия. Механизм высокотемпературной газовой коррозии. Кинетика окисления металлов. Защитные свойства пленок. Электрохимическая коррозия. Механизм электрохимической коррозии: анодное окисление металла, катодное восстановление окислителя. Водородная и кислородная деполяризация. Термодинамическая устойчивость металлов в водной среде. Понятие о диаграмме Пурбе. Влияние различных факторов на скорость коррозии. Примеры коррозионных процессов. Методы защиты металлов от коррозии: рационально конструирование, обработка коррозионной среды, создание защитных пленок, электрохимическая защита.

ОЛ – 1, Гл. 8; ОЛ – 2, Гл.21-22; ОЛ – 3, Гл.18; ОЛ – 5, Гл.10.

Лекция 17. Обзорная лекция. Некоторые представления о нанохимии.

ОЛ – 1, Гл. 7; ОЛ – 2, Гл.19; ОЛ – 3, Гл.17; ОЛ – 5, Гл.15.

Лабораторные работы

Занятие 14. Растворы электролитов.

ОЛ – 1, с.498-514; МП – 13,ч.1, с.71-89.

Занятие 15. Электрохимические процессы.

ОЛ-1, Гл.16-18; ОЛ-2, Гл16-22; ОЛ-3, Гл.16-18; ОЛ- 4, Гл.6; ОЛ-5, Гл.8-10.

Занятие 16. Коррозия и защита металлов от коррозии.

ОЛ-1, 660-696; МП -13,ч.2, с.53-66.

Занятие17. Контроль выполнения модуля 3.