ТОП 10:

Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.



Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.

Для принадлежности прямых L1:и L2:одной плоскости Û чтобы векторы М1М2={x2-x1;y2-y1;z2-z1}, q1={l1;m1;n1} и q2={l2;m2;n2} были компланарны. Т.е., по условию компланарности трех векторов, смешанное произведение М1М2·s1·s2=Δ==0 (8)

Т.к. условие параллельности двух прямых имеет вид: , то для пересечения прямых L1 и L2 Û, чтобы они удовлетворяли условию (8) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций .

Пример. Исследовать взаимное расположение прямых:

L1: , L2:

Направляющий вектор прямой L1q1=(1;3;-2). Прямая L2 задана как пересечение 2-х плоскостей α1: х-у-z+1=0; α2: x+y+2z-2=0. Т.к. прямая L2 лежит в обеих плоскостях, то она, а значит и ее направляющий вектор, перпендикулярна нормалям n1 и n2.Следовательно, направляющий вектор s2 является векторным произведением векторов n1 и n2, т.е.q2 =n1 х n2= =-i-3j+2k.

Т.о. s1=-s2,значит прямые или параллельны, или совпадают.

Чтобы проверить совпадают ли прямые, подставим координаты точки М0(1;2;-1) L1 в общие уравнения L2: 1-2+2+1=0 – неверные равенства, т.е. точка М0 L2,

1+2+4-2=0

следовательно прямые параллельны.

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки М111;z1) до прямой L, заданной каноническим уравнением L:можно вычислить при помощи векторного произведения.

Из канонического уравнения прямой следует, что точка М000;z0) L, а направляющий вектор прямой q=(l;m;n)

Построим параллелограмм на векторах q и М0М1. Тогда расстояние от точки М1 до прямой L равно высоте h этого параллелограмма. Т.к. S=|qxМ0М1|=h|q|, то

h= (9)

Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

L1:и L2:

1)L1||L2.

d=

2)L1 и L2 – скрещивающиеся

d=

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Для расположения прямой и плоскости в пространстве возможны 3 случая:

- прямая и плоскость пересекаются в одной точке;

- прямая и плоскость параллельны;

- прямая лежит в плоскости.

Пусть прямая задана своим каноническим уравнением, а плоскость – общим

L: ,

α: Ах+Ву+Сz+D=0

Уравнения прямой дают точку М000;z0) L и направляющий вектор q=(l;m;n), а уравнение плоскости – нормальный вектор n=(A;B;C).

Пересечение прямой и плоскости.

Если прямая и плоскость пересекаются, то направляющий вектор прямой q не параллелен плоскости α, а значит не ортогонален нормальному вектору плоскости n. Т.е. их скалярное произведение n·q≠0 или, через их координаты,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Определим координаты точки М - точки пересечения прямой L и плоскости α.

Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому: , t R

Подставим эти соотношения в уравнение плоскости

А(x0+lt)+B(y0+mt)+C(z0+nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x0,y0,z0 – известны, найдем параметр t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax0-By0-Cz0

если Am+Bn+Cp≠0, то уравнение имеет единственное решение, определяющее координаты точки М:

tМ= - (11)

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

Угол φ между прямой L:

с направляющим вектором q={l;m;n} и плоскостью

p: Ах+Ву+Сz+D=0 с нормальным вектором n=(A;B;C) находится в пределах от 0˚ ( в случае параллельности прямой и плоскости) до 90˚ (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). (Угол между вектором q и его проекцией на плоскость α).

y– угол между векторами q и n.

Т.к. угол j между прямой L и плоскостью p является дополнительным к углу y, то sin φ=sin( -y)=cos y= - (рассматривается абсолютная величина т.к. угол φ острый sin φ=sin( -y) или sin φ=sin( +y) в зависимости от направления прямой L)

sin φ= (12)

Условие параллельности прямой и плоскости.

L||p n q n·q=0 Al+Bm+Cn=0 (13)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Lp n||q (14)

Условие принадлежности прямой L к плоскости α.

Для того, чтобы прямая L: принадлежала плоскости p: Ах+Ву+Сz+D=0 необходимо выполнение 2-х условий:

1) L||p;

2) Одна из точек прямой L, например точка М000,z0), принадлежит плоскости p.

Т.о. условие принадлежности прямой плоскости:

(15)

Пример.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4;-3;6) перпендикулярно прямой .

Из условия следует, что в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой, т.е. n=q=(1;1;-2), получаем уравнение: x+y-2z+D=0. Подставляя в это уравнение координаты точки М, Найдем значение параметра D.

Связка прямых.

Совокупность всех прямых, проходящих через точку М1(x1,y1,z1), называется связкой прямых (с центром в точке М1).

Уравнения связки прямых с центром в точке М1 имеют вид:

(16)

где l, m, n - произвольные числа, такие, что l2+m2+n2¹0/

Действительно, всякая прямая, определяемая уравнениями (16), проходит через точку М1(x1,y1,z1). С другой стороны, если L – наперед заданная прямая, проходящая через точку М1(x1,y1,z1), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М1(x1,y1,z1), направляющим вектором q={l;m;n} и потому определяются каноническими уравнениями, совпадающими с уравнениями (16).

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.118.253 (0.006 с.)