Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.

Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.

Для принадлежности прямых L₁: и L₂: одной плоскости Û чтобы векторы М₁М₂ ={x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁}, q₁ ={l₁;m₁;n₁} и q₂ ={l₂;m₂;n₂} были компланарны. Т.е., по условию компланарности трех векторов, смешанное произведение М₁М₂·s₁·s₂ =Δ= =0 (8)

Т.к. условие параллельности двух прямых имеет вид: , то для пересечения прямых L₁ и L₂ Û, чтобы они удовлетворяли условию (8) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций .

Пример. Исследовать взаимное расположение прямых:

L₁: , L₂:

Направляющий вектор прямой L₁– q₁ =(1;3;-2). Прямая L₂ задана как пересечение 2-х плоскостей α₁: х-у-z+1=0; α₂: x+y+2z-2=0. Т.к. прямая L₂ лежит в обеих плоскостях, то она, а значит и ее направляющий вектор, перпендикулярна нормалям n₁ и n₂. Следовательно, направляющий вектор s₂ является векторным произведением векторов n₁ и n₂, т.е. q₂ = n₁ х n₂ = =- i -3 j +2 k.

Т.о. s₁ =- s₂, значит прямые или параллельны, или совпадают.

Чтобы проверить совпадают ли прямые, подставим координаты точки М₀(1;2;-1) L₁ в общие уравнения L₂: 1-2+2+1=0 – неверные равенства, т.е. точка М₀ L_2,

1+2+4-2=0

следовательно прямые параллельны.

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки М₁(х₁;у₁;z₁) до прямой L, заданной каноническим уравнением L: можно вычислить при помощи векторного произведения.

Из канонического уравнения прямой следует, что точка М₀(х₀;у₀;z₀) L, а направляющий вектор прямой q =(l;m;n)

Построим параллелограмм на векторах q и М₀М₁. Тогда расстояние от точки М₁ до прямой L равно высоте h этого параллелограмма. Т.к. S=| q x М₀М₁ |=h| q |, то

h= (9)

Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

L₁: и L₂:

1) L₁||L₂.

d=

2) L₁ и L₂ – скрещивающиеся

d=

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Для расположения прямой и плоскости в пространстве возможны 3 случая:

- прямая и плоскость пересекаются в одной точке;

- прямая и плоскость параллельны;

- прямая лежит в плоскости.

Пусть прямая задана своим каноническим уравнением, а плоскость – общим

L: ,

α: Ах+Ву+Сz+D=0

Уравнения прямой дают точку М₀(х₀;у₀;z₀) L и направляющий вектор q =(l;m;n), а уравнение плоскости – нормальный вектор n =(A;B;C).

Пересечение прямой и плоскости.

Если прямая и плоскость пересекаются, то направляющий вектор прямой q не параллелен плоскости α, а значит не ортогонален нормальному вектору плоскости n. Т.е. их скалярное произведение n·q ≠0 или, через их координаты,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Определим координаты точки М - точки пересечения прямой L и плоскости α.

Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому: , t R

Подставим эти соотношения в уравнение плоскости

А(x₀+lt)+B(y₀+mt)+C(z₀+nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x₀,y₀,z₀ – известны, найдем параметр t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax₀-By₀-Cz₀

если Am+Bn+Cp≠0, то уравнение имеет единственное решение, определяющее координаты точки М:

t_М= - → (11)

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

Угол φ между прямой L:

с направляющим вектором q ={l;m;n} и плоскостью

p: Ах+Ву+Сz+D=0 с нормальным вектором n =(A;B;C) находится в пределах от 0˚ (в случае параллельности прямой и плоскости) до 90˚ (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). (Угол между вектором q и его проекцией на плоскость α).

y– угол между векторами q и n.

Т.к. угол j между прямой L и плоскостью p является дополнительным к углу y, то sin φ=sin( -y)=cos y= - (рассматривается абсолютная величина т.к. угол φ острый sin φ=sin( -y) или sin φ=sin( +y) в зависимости от направления прямой L)

sin φ= (12)

Условие параллельности прямой и плоскости.

L||p n q n·q=0 Al+Bm+Cn=0 (13)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

L p n ||q (14)

Условие принадлежности прямой L к плоскости α.

Для того, чтобы прямая L: принадлежала плоскости p: Ах+Ву+Сz+D=0 необходимо выполнение 2-х условий:

1) L||p;

2) Одна из точек прямой L, например точка М₀(х₀,у₀,z₀), принадлежит плоскости p.

Т.о. условие принадлежности прямой плоскости:

(15)

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4;-3;6) перпендикулярно прямой .

Из условия следует, что в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой, т.е. n =q=(1;1;-2), получаем уравнение: x+y-2z+D=0. Подставляя в это уравнение координаты точки М, Найдем значение параметра D.

Связка прямых.

Совокупность всех прямых, проходящих через точку М₁(x₁,y₁,z₁), называется связкой прямых (с центром в точке М₁).

Уравнения связки прямых с центром в точке М₁ имеют вид:

(16)

где l, m, n - произвольные числа, такие, что l²+m²+n²¹0/

Действительно, всякая прямая, определяемая уравнениями (16), проходит через точку М₁(x₁,y₁,z₁). С другой стороны, если L – наперед заданная прямая, проходящая через точку М₁(x₁,y₁,z₁), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М₁(x₁,y₁,z₁), направляющим вектором q ={l;m;n} и потому определяются каноническими уравнениями, совпадающими с уравнениями (16).