Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.

Пусть даны плоскости и . . Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями: . . Условие перпендикулярности: если В векторной форме: В координатной форме: Условие параллельности: если , то => (в векторной форме), (в координатной форме).

 

Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.

Для получения общего уравнения прямой на плоскости вспомним само уравнение плоскости: . Найдем линию пересечения плоскости с одной из координатных плоскостей, например с плоскостью x0y. Для этого решим систему: . – общее уравнение прямой на x0y. Исследуем это уравнение: 1) D=0: Ax+By=0 => – прямая проходит через начало координат. 2) B=0: Ax+D=0 => – параллельно 0y. 3) A=0: By+D=0 => – параллельно 0x. 4) A=D=0; By=0 => y=0 – ось x. 5) B=D=0, Ax=0 => x=0 – ось 0y.

 

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть дано общее уравнение прямой на плоскости . Преобразуем его: . Это уравнение прямой в отрезках. A и b – отрезки, которые отсекает прямая на координатных осях.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Положение прямой на плоскости вполне определяется заданием угла α, образованного прямой с положительным направлением оси абсцисс и величиной отрезка b, отсекаемым от оси 0y. Прямая на плоскости имеет два параметра: α и β. Величина называется угловым коэффициентом прямой.

Через точку пересечения прямой l с 0y проведем прямую, параллельную 0x. На прямой l возьмем произвольную точку M и опустим из нее перпендикуляр на ось абсцисс. Рассмотрим ∆MKN. , – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

Пусть прямая проходит через точку . По условию задано направление, значит известен угловой коэффициент k. Требуется найти уравнение прямой l. Т. к. точка принадлежит этой прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой . Получим: Вычтем из (2) уравнение (1): Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

 

Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Углом между двумя прямыми и на плоскости называется угол, на который нужно повернуть прямую относительно точки пересечения этих прямых против часовой стрелки до совпадения с прямой . Построим две прямые в системе координат на плоскости.

(1). Формула (1) определяет угол между двумя прямыми на плоскости.

Условие параллельности: (2). Из (2) следует, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Если уравнения прямых заданы в общем виде, тогда: Из (2) следует, что чтобы прямые были параллельны, должно выполняться: Условие перпендикулярности имеет вид (3). Из (3) следует, что если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

 

Виды уравнения прямой: векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве определено, если на прямой задана точка и вектор , параллельный прямой или лежащий на ней. Вектор называется направляющим вектором этой прямой. Задать вектор – значит задать его координаты, т. е. проекции на оси координат. Направляющий вектор имеет координаты .

Вектор . Он коллинеарен направляющему вектору , поэтому , где - скалярный множитель, называемый параметром, он может принимать любые значения в зависимости от положения точки M на прямой. Проведем радиус-векторы к точкам и . . Найдем . C учетом полученных равенств перепишем (1) в виде (2). Уравнение (2) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра соответствует радиус-вектор некоторой точки, лежащей на прямой. Представим (2) в координатной форме: или (3). Уравнение (3) называется параметрическим уравнением прямой. При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z, и точка M движется по прямой. Из (3) можно найти параметр t: . Уравнение (4) называется каноническим уравнением прямой линии в пространстве. Уравнение (4) называется уравнением прямой, проходящей через точку с направляющим вектором .