Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λа, элементы которой равны . Складываются матрицы поэлементно. Разностью матриц А и В называется матрица С, равная А+(-В).

 

Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы.

Умножение матриц А и В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц и является . Матрица С такая, что каждый ее элемент равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Произведение матриц неперестановочно: .

Если определитель матрицы равен нулю, то эта матрица называется вырожденной, если , то невырожденной.

 

Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную матрицу как справа, так и слева получается единичная матрица: . Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, если , то невырожденной. Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1) найти определитель матрицы и убедиться, что он отличен от нуля; 2) каждый элемент матрицы заменить его алгебраическим дополнением, получив присоединенную матрицу; 3) транспонировать присоединенную матрицу; 4) .

 

4. Решение матричных уравнений вида , .

Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений: , где – неизвестная матрица, А, В и С – некоторые заданные матрицы, причем А и С имеют обратные матрицы. Решением этих уравнений являются соответственно матрицы .

 

Определители и их свойства.

Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем (детерминантом) n-го порядка. Обозначения: . Основные свойства определителей: 1) определитель не меняется при транспонировании матрицы; 2) если одна из строк (столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю; 3) определитель, содержащий две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), равен нулю; 4) при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак; 5) общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя; 6) величина определителя не изменится, если к одной из строк (столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число; 7) если элементы какой-либо строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

 

Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядков.

.

 

Формула разложения определителя по строкам и столбцам. Теорема Лапласа.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: . Эти равенства называют разложениями определителя по i-ой строке или по j-му столбцу соответственно. Они принимают особенно простой вид, если в строке или столбце все элементы равны нулю, кроме одного: .

 

Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначение: . Чтобы найти ранг матрицы, необходимо найти ненулевой элемент матрицы, вычислить миноры второго порядка, окаймляющие выбранный элемент. Если среди них имеется отличный от нуля, необходимо рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю. Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор r-го порядка, не будут равны нулю. В этом случае ранг равен r. Есть и другой способ: привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, тогда число строк будет равно рангу.

 

Теорема Кронекера-Капелли.

Системе m линейных уравнений с n неизвестными можно сопоставить две матрицы: основную и расширенную . Матрица состоит из коэффициентов при неизвестных, а матрица дополнена еще столбцом свободных членов. Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы: . Рангом совместной системы линейных уравнений называется ранг ее матрицы. Если ранг системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение; если ранг меньше числа неизвестных, то система неопределенная и имеет бесчисленное множество решений.

 

Евклидово пространство.

Евклидовым пространством называется векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам: 1) 2) . 3) (. 4) если , если . Произвольное евклидово пространство часто обозначают буквой или , индекс n указывает размерность пространства.

 

Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λа, элементы которой равны . Складываются матрицы поэлементно. Разностью матриц А и В называется матрица С, равная А+(-В).