Лекция 15. Описание явлений переноса в полупроводниках. Кинетическое уравнение Больцмана.

Изложенная ниже кинетическая теория призвана описывать явления переноса в кристалле, такие как электропроводность, электронная теплопроводность, гальваномагнитные, термоэлектрические и термомагнитные явления. Прежде всего, следует понимать, что явления переноса есть явления макроскопические. Например, когда мы рассматриваем электропроводность, то мы говорим о макроскопическом электрическом токе, т.е. мы говорим об электрическом токе, который получается в результате усреднения потока электронов за время, существенно превышающем времена микроскопических процессов. Также нужно четко понимать, что в явлениях переноса система электронов проводимости является неравновесной. Например, в задаче об электропроводности между физически бесконечно малыми объемами имеется макроскопический поток электронов, тогда как в равновесии никаких макроскопических потоков быть не должно. Если система находится в равновесии, то, взяв произвольную физически бесконечно малую поверхность и усреднив поток частиц через эту поверхность за время, существенно превышающее времена микроскопических процессов, мы с огромной точностью получим нуль.

Одним из основных моментов кинетического подхода является то, что мы здесь используем полуклассическую теорию динамики электронов.

В этой теории мы рассматриваем электрон как классическую частицу, движение которой описывается эффективной, так называемой полуклассической, функцией Гамильтона

. (1)

Здесь - квазиимпульс электрона, - закон дисперсии зоны, в которой мы рассматриваем электрон (в полуклассической теории межзонными переходами пренебрегается). Подчеркну, что закон дисперсии вычисляется в квантовомеханическом подходе путем решения стационарного уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла. Соответственно, в законе дисперсии учитывается влияние на электрон периодического поля кристалла. - это потенциальная энергия электрона в поле, внешнем по отношению к идеальному кристаллу. Поскольку такие поля, как правило, имеют электрическую природу, то в дальнейшем этот потенциал будем записывать как , где е – абсолютная величина заряда электрона. Это, например, может быть потенциал внешнего электрического поля. Еще раз подчеркну, что поле есть дополнительный потенциал к полю идеальной кристаллической решетки. Поле кристаллической решетки учитывается в законе дисперсии .

Движение электрона описывается уравнениями Гамильтона

. (2)

. (3)

Подставив эффективную функцию Гамильтона (1) в первое уравнение, то мы получим, что скорость движения электрона проводимости по траектории в реальном пространстве есть

. (4)

Подставив эффективную полуклассическую функцию Гамильтона во второе уравнение, мы получим уравнение определяющее закон изменения квазиимпульса

, (5)

где .

Правая часть этого уравнения есть ни что иное, как внешняя сила, действующая на электрон со стороны внешних полей.

По форме это соотношение совпадает со вторым законом Ньютона. Фактически, однако, здесь имеется глубокая разница. В этом уравнении есть не импульс, а квазиимпульс, а не полная сила, а сила, действующая на электрон только со стороны полей, внешних по отношению к идеальному кристаллу. Сила, действующая на электрон со стороны регулярных атомов решетки, создающих периодическое поле, не входит в правую часть этого уравнения. Она уже учтена в законе дисперсии и тем самым в выражении для скорости движения электрона по траектории в реальном пространстве. Также хорошо видно, что квазиимпульс не есть просто произведение массы электрона на его скорость.

Существенное различие между полуклассическим и обычным классическим описанием также отлично видно и из выражения для полуклассической функции Гамильтона. Эта эффективная полуклассическая функция Гамильтона существенно отличается от обычной классической функции Гамильтона как по форме, так и, как мы увидели, по содержанию.

Если бы мы рассматривали электрон проводимости в истинно классическом подходе, то его функция Гамильтона имела бы вид

. (6)

Здесь уже не квазиимпульс, а обычный импульс. есть потенциал идеальной кристаллической решетки. Как видно, полуклассический Гамильтониан отличается от классического тем, что сумма кинетической энергии и потенциала кристаллической решетки заменяется на рассчитанный в квантовомеханическом подходе закон дисперсии зоны проводимости, а импульс становится квазиимпульсом.

Если мы подставим классический гамильтониан в уравнение Гамильтона, то мы получим, что скорость электрона есть импульс делить на массу, а изменение импульса определяется как внешним полем, так и полем кристаллической решетки. В полуклассической же теории, как мы видели, это совершенно не так.

Обсудим теперь, как в полуклассическом подходе учитывается магнитное поле. Сразу отмечу, что для того, чтобы в полуклассическом подходе описывать эффекты, связанные с магнитным полем, оно должно быть достаточно мало, так чтобы можно было пренебречь квантовыми эффектами в магнитном поле

В обычной истинно классической теории для того, чтобы получить функцию Гамильтона частицы в магнитном поле, нужно взять гамильтониан в отсутствие магнитного поля и заменитьи в кинетической энергии импульс на разность .

Аналогичным образом получается эффективная полуклассическая функция Гамильтона электрона проводимости в ситуации, когда кристалл помещен во внешнее магнитное поле. Мы берем эффективный гамильтониан в отсутствие магнитного поля и заменяем в нем квазиимпульс на разность .

Понятно, что выражение для скорости электрона и уравнение, описывающее изменение квазиимпульса останутся теми же самыми. Только в правой части уравнения, описывающего изменение квазиимпульса, появится сила Лоренца

. (7)

Теперь обсудим условие применимости полуклассической теории динамики электронов.

Построение этой теории, как и любой другой квазиклассической динамической теории, связано с формированием из стационарных состояний волновых пакетов. Когда в квантовой механике мы рассматривали обычную квазиклассическую динамическую теорию частицы вне кристалла, то мы формировали волновой пакет с хорошо определенным импульсом. Однако неопределенность в импульсе мы вынуждены были оставлять конечной. Это связано с тем, что согласно соотношению неопределенности, чем меньше неопределенность в импульсе, тем больше неопределенность в координате, т.е. тем больше ширина волнового пакета в реальном пространстве. Нам же надо построить волновой пакет, которой локализован в пространстве на длине, существенно меньшей характерных длин в задаче, и не успевает расплываться на этих динах. Только с помощью такого волнового пакета можно описывать динамику частицы в квазиклассическом подходе. Если мы не можем сформировать такие волновые пакеты построение квазиклассической теории невозможно, и задача является чисто квантовой. Если же мы построение таких волновых пакетов возможно, то динамику частицы можно описать в квазиклассическом подходе. Центр такого волнового пакета перемещается в фазовом пространстве вдоль траектории, по которой перемещалась бы классическая частица. Таким образом, мы переходили от описания с помощью нестационарной волновой функции к движению по траектории.

Естественно, общая идея построения полуклассической теории динамики электронов остается той же самой. Из блоховских состояний зоны мы формируем волновые пакеты с хорошо определенным квазиимпульсом, размеры которых существенно меньше характерных размеров задачи, и они не успевают расплываться на этих длинах. В частности, размеры волновых пакетов должны быть много меньше расстояния, на котором существенно меняются потенциалы внешних полей, размеры волновых пакетов должны быть существенно меньше длины свободного пробега и т.п. Это как раз и определяет условие применимости полуклассической теории динамики электронов, а вместе с ней и кинетического подхода к описанию явлений переноса. Также замечу, что, как оказывается, размер волнового пакета с хорошо определенным квазиимпульсом существенно превышает межатомное расстояние. Поэтому квазиклассическая теория применима только в том случае, когда все изменения в системе и потенциалы внешних силовых полей должны медленно меняться на расстояниях порядка межатомных.

Здесь может возникнуть резонное возражение. А зачем нам, собственно говоря, формировать волновые пакеты из блоховских волновых функций? Давайте сформируем волновые пакеты из плоских волн, описывающих состояние с определенным истинным импульсом, добьемся их локализации в области, меньшей межатомных расстояний, и будем с помощью таких волновых пакетов описывать движение электрона как в поле кристаллической решетки, так и во внешних полях. Однако так поступать нельзя, поскольку неопределенность в энергии в таких волновых пакетах превысит не только , но и все характерные масштабы энергии в кристалле (например, энергию Ферми в металле). Итак, в полуклассическом кинетическом подходе электроны рассматриваются как классические частицы с энергией и скоростью перемещения вдоль траектории в реальном пространстве . Обусловленное внешним полем изменение квазиимпульса электрона , характеризующего квантовое состояние электрона в зоне проводимости, дается уравнением, которое по форме, но не по содержанию, очень похоже на уравнение Ньютона

. (8)

Также отмечу, что кинетическая теория является квазиклассической. Поэтому мы не должны забывать о таких фундаментальных принципах как соотношение неопределенности между координатой и импульсом (в данном случае квазиимпульсом) и принцип запрета Паули.

Различные потоки, связанные с перемещением электронов, такие как электрический ток и поток энергии, а также концентрация электронов выражаются в кинетическом подходе через так называемую одночастичную функцию распределения , которая определяет распределение электронов в одночастичном фазовом пространстве. В данном случае одночастичное фазовое пространство представляет собой 6-и мерное евклидово пространство, по осям которого отложены декартовы координаты электрона и декартовы компоненты его квазиимпульса. Физический смысл функции распределения состоит в том, что она определяет плотность электронов в этом одночастичном фазовом пространстве в данный момент времени.

Функция распределения определяется так, чтобы среднее число электронов, находящихся в конечном объеме одночастичного фазового пространства, далось выражением

. (9)

Смысл функции распределения становится совсем наглядным, если вспомнить, что согласно квазиклассической теории квантовой механики на одно состояние с данной проекцией спина приходится ячейка фазового пространства объемом . Последнее связанно с тем, что согласно соотношению неопределенности, задавая механическое состояние электроны, мы можем сказать только то, что он находится в этой ячейке фазового пространства. Точнее одновременно задать координату и импульс (в данном случае квазиимпульс) мы не можем – не позволяет соотношение неопределенностей. Напомню, что наша теория не истинно классическая, а квазиклассическая. Поэтому хотя мы и рассматриваем электроны как классические частицы, все же мы не должны забывать о таких фундаментальных принципах как соотношение неопределенности и принцип запрета Паули. Если это помнить, то, как легко видеть из этого выражения, одночастичная функция распределения есть среднее число электронов с данной проекцией спина, находящихся в ячейке фазового пространства объемом , окружающего точку ,. Или иначе это есть вероятность того, что в данной ячейке фазового пространства есть электрон. Как всегда, из-за малости этих ячеек фазового пространства мы переходим от суммирования по ячейкам к интегрированию по фазовому пространству. При этом помним, что физически различные значения квазиимпульса лежат в пределах зоны Бриллюэна. Поэтому интегрирование по здесь ведется по зоне Бриллюэна.

Также отмечу, что согласно принципу запрета Паули, перенесенному на квазиклассический случай, в одной ячейке фазового пространства не может находится более одного электрона с данной проекцией спина. Поэтому

. (10)

Рассуждая на языке фазового пространства и помня, что функция распределения есть среднее число электронов в ячейке фазового пространства, можно легко написать и выражение для плотности тока электронов. Для этого возьмем физически бесконечно малый объем фазового пространства, окружающий точку . В пределах данного объема скорость электронов можно считать постоянной, равной . Тогда плотность тока в реальном пространстве, создаваемая этими электронами, есть

. (11)

Воспользовавшись тем, что среднее число электронов в нашем объеме фазового пространства есть

, (12)

получаем

. (13)

Нашему объему фазового пространства отвечает физически бесконечно малый объем в реальном пространстве. Поэтому проссумировав (13) по всем объемам фазового пространства, которые отвечают данному объему реального пространства, мы получим ток в данном месте кристалла. Причем, как мы знаем, такое суммирование фактически сводится к интегрированию по зоне Бриллюэне

. (14)

Аналогичным образом, легко написать выражение для плотности потока энергии . Легко сообразить, что для того, чтобы получить выражение для , нужно в (14) заменить заряд на энергию

. (15)

С помощью выражений (14) и (15), можно легко прийти к концепции дырок. Для этого в (14) сделаем тождественное преобразование

. (16)

Поскольку , то , и первый интеграл в (16) равен нулю (последнее также легко понять и из того, что этот интеграл представляет собой ток электронов полностью заполненной зоны, а он, очевидно, есть нуль). Таким образом,

. (17)

Аналогично, для плотности потока энергии, получим

. (18)

есть среднее число электронов с данной проекцией спина в ячейке фазового пространства (вероятность того, что в этой ячейке есть электрон с этим спином). Соответственно, - среднее число пустых мест в этой ячейке, приходящихся на данную проекцию спина (вероятность того, что в этой ячейке нет электрона с такой проекцией спина).

Таким образом, мы видим, что потоки, создаваемые электронами в ровности такие, как если бы они создавались положительными зарядами с энергией (функцией Гамильтона) , которые движутся в реальном пространстве со скоростями и распределены в фазовом пространстве также как и пустые места, не занятые электронами.

В состоянии термодинамического равновесия, когда нет никаких потоков, функция распределения для электронов равна функции Ферми

. (16)

Одноэлектронная функция распределения определяется полуклассическим кинетическим уравнением Больцмана

. (17)

Здесь первый член обусловлен нестационарностью в задачи. Второй член обусловлен дрейфом в реальном пространстве, который обусловлен градиентом концентрации или температуры. По этой причине это член часто называют диффузионным. Третий член обусловлен изменением квазиимпульса в результате действия внешних сил. По этой причине этот член часто называют полевым или ускорительным.

Правая часть кинетического уравнения (интеграл столкновений) обусловлена процессами рассеяния электронов. Это могут быть, например, процессы рассеяния на стационарных дефектах решетки, таких как примеси. Также это могут быть процессы рассеяния на колебаниях решетки.

Важным моментом является то, что, как правило, времена всех процессов рассеяния, вычисленные как с классических, так и с квантовых позиций, оказываются очень малы. В зависимости от процесса рассеяния их порядок, как правило, колеблется от до . Ясно, что столь кратковременное взаимодействие не может привести к заметному изменению координаты электрона, но зато может сильно изменить его скорость и квазиимпульс. Поэтому в полуклассической кинетической теории делается естественное предположение о том, что процессы рассеяния меняют только квазиимпульс электрона, и не меняют координату. Соответственно, процессы рассеяния меняют только распределение электронов по координатам и не меняют их пространственного распределения.

Более того, в большинстве случаев входящие в интеграл столкновений вероятности рассеяния в единицу времени необходимо вычислять в квантовомеханическом подходе. Как правило, это делается с помощью правила Ферми. В частности, в классическом подходе нельзя вычислить вероятность рассеяния на колебаниях решетки. Да и вероятности рассеяния на стационарных дефектах, таких как примеси, часто приходится вычислять квантовомеханическим методом. Классические расчеты, как правило, дают неудовлетворительную точность и годятся, разве что, для качественного описания. С позиций квантовой механики говорить об изменении пространственного распределения электронов в результате рассеяния вообще бессмысленно. С точки зрения квантовой механики процесс рассеяния представляет собой скачкообразный переход с некоторой вероятностью из одного квантового состояния в другое.

Если пренебречь рассеянием электрона друг на друге, то интеграл столкновений имеет следующий вид

. (18)

Первый член обусловлен процессами рассеяния из всевозможных элементов фазового пространства в элемент окружающий точку . Он определяет среднее число электронов, пришедших в единицу времени в этот элемент за счет рассеяния. Величина характеризует темп рассеяния из состояния в состояние (). Она пропорциональна вероятности рассеяния в единицу времени. Член обусловлен принципом запрета Паули. Принцип запрета Паули требует, чтобы среднее число переходов в единицу времени было пропорционально не только среднему числу электронов в начальном элементе фазового пространства, но и среднему числу пустых мест в конечном.

Второй член обусловлен процессами рассеяния из элемента фазового пространства, окружающий точку , во все остальные. Он определяет среднее число электронов, ушедших в единицу времени из этого элемента за счет рассеяния.

Соответственно, интеграл столкновений определяет приращение в единицу времени среднего числа электронов в элементе фазового пространства за счет рассеяния.