Лекция 7. Идеальные газы тождественных частиц. Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

На сегодняшней лекции мы рассмотрим ряд важнейших свойств равновесного газа, состоящего из тождественных, т.е. совершенно одинаковых частиц – фермионов или бозонов. При этом мы будем считать, что частицы не взаимодействуют, и, соответственно, газ является идеальным.

Прежде всего, рассмотрим идеальный газ тождественных невзаимодействующих фермионов.

Как известно мы знаем из курса квантовой механики, микросостояния такого газа однозначным образом задаются указанием совокупности чисел заполнения одночастичных стационарных состояний. Число заполнения одночастичного состояния с квантовыми числами будем обозначать , а его энергию - . Поскольку мы имеем дело с фермионами, то согласно принципу Паули число заполнения одночастичного стационарного состояния может принимать только два значения – или 0, или 1. Энергия микросостояния есть сумма энергий заполненных одночастичных состояний

, (1)

а число частиц в микросостоянии есть сумма чисел заполнения

, (2)

В соответствие с общим алгоритмом ищем теперь большую статистическую сумму. По определению эта стат. сумма есть

. (3)

Используя (1) и (2), а также то, что экспонента суммы есть произведение экспонент, находим

. (4)

Соответственно,

. (5)

В (5) суммирование ведется по всем допустимым комбинациям чисел заполнения одночастичных стационарных состояний. В соответствии с принципом Паули каждое число заполнения может принимать два значения – либо 0, либо 1. Какие-либо дополнительные ограничений на числа заполнения отсутствуют. Поэтому сумму по микросостояниям мы можем записать как последовательность независимых сумм по одночастичным стационарным состояниям

. (6)

Каждая экспонента под знаком суммы зависит от числа заполнения только одного одночастичного состояния. Поэтому каждая сумма «сядет» на одну из экспонент

. (7)

Сумма по числам заполнения

. (8)

Таким образом, большая статистическая сумма

. (9)

Соответственно, большой термодинамический потенциал

. (10)

Если известна стат. сумма, то можно найти все термодинамические характеристики нашего газа. В частности, среднее число частиц в газе

. (11)

Таким образом,

. (12)

Внутренняя энергия газа выражается через большой термодинамический потенциал как

. (13)

Подставляя (10), находим

. (17)

Таким образом,

. (14)

По определению вероятность микросостояния

. (15)

Используя (5) и (10), получаем

, (16)

где

. (17)

Легко видеть, что

. (18)

Фиксируем одночастичное состояние и найдем полную вероятность того, что в этом микросостоянии находится . По определению эта вероятность есть

. (19)

Подставляя (20), переходя к последовательности сумм по одночастичным стационарным состояниям, и используя (21), получаем

. (20)

Таким образом, полная вероятность того, что в одночастичном состоянии находится фермионов

. (21)

Соответственно, среднее число частиц в одночастичном состоянии

. (22)

Итак, мы получили, что в идеальном ферми-газе среднее число частиц в одночастичном состоянии совпадает с полной вероятностью того, что это состояние заполнено, и равно

. (23)

Формула (26) описывает статистическое распределение частиц по одночастичным состояниям в идеальном ферми-газе. Это распределение называется распределением Ферми-Дирака.

Теперь выражения для среднего числа частиц и внутренней энергии приобретают очень наглядный вид

(24)

и

. (25)

Введем в рассмотрение функцию

. (26)

Эта функция называется функцией распределения Ферми-Дирака. Тогда среднее число частиц в газе и его внутреннюю энергию мы можем записать как

(27)

и

. (28)

Воспользовавшись основным свойством дельта-функции Дирака

, (29)

можем написать

(30)

и

. (31)

Меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем

(32)

и

. (33)

Введем в рассмотрение величину

. (34)

Тогда выражения (36) и (37) для среднего числа частиц, принимают вид

(35)

и

. (36)

Установим физический смысл величины . Проинтегрируем ее по конечному интервалу

. (37)

Изменив порядок интегрирования и суммирования, и воспользовавшись основным свойством дельта-функции Дирака, находим

. (38)

Из полученного выражения легко видеть, что есть число одночастичных стационарных состояний с энергией, попадающей в интервал . Следовательно, величина представляет собой число одночастичных стационарных состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. По этой причине функция называется плотностью одночастичных стационарных состояний.

Сравнивая на выражения (12) и (14) с выражениями (35) и (36), можно легко заметить, что при переходе к записи через плотность одночастичных состояний мы, фактически, сумму по квантовым числам одночастичных состояний заменяем интегралом по энергии, а под знаком интеграла пишем произведение плотности одночастичных состояний на ту функцию одночастичной энергии, которая стояла под знаком суммы.

Это мнемоническое правило, на самом деле, является общим. Проведя проедуру, аналогичную только что проделанной, можно показать следующее. Пусть есть некоторая функция одночастичной энергии. Тогда

. (39)

Например, свободная энергия идеального ферми-газа дается выражением

. (40)

В данном случае функция . В соответствие с нашим мнемоническим правилом сумму по квантовым числам заменяем интегралом по энергии. Под знаком интеграла пишем произведение плотности одночастичных состояний на функцию , стоящую под знаком суммы

. (41)

В состоянии равновесия число частиц в нашем газе слабо колеблется около своего среднего значения, практически всегда с ним совпадая. В пределах точности термодинамики этими флуктуациями можно пренебречь и считать, что число частиц в газе является постоянным, равным этому среднему значению. В дальнейшем мы будем рассматривать ситуации, когда число частиц в газе известно. В таком случае состояние равновесия нашего газа удобно задавать удобно задавать, указывая температуру , внешние параметры и число частиц , а химический потенциал рассматривать как величину, определяемую уравнением

. (42)

Можно легко показать, что при заданных значениях , и уравнение (42) относительно химического потенциала имеет единственный вещественный корень. Поэтому химический потенциал нашего газа можно рассматривать как однозначную функцию , и .

В таком случае при описании идеального ферми-газа можно придерживаться следующего алгоритма.

Сначала находим базис одночастичных стационарных состояний, т.е. стационарных состояний одной отдельно взятой частицы, рассмотренной в тех же самых внешних силовых полях, что и весь газ.

Далее, используя формулу (34), находим плотность одночастичных стационарных состояний.

Затем подставляем плотность одночастичных стационарных состояний в уравнение (42) для химического потенциала. Решив это уравнение, находим химический потенциал.

Далее, зная плотность одночастичных стационарных состояний и химический потенциал, находим свободную энергию с помощью выражения (41).

Наконец, зная свободную энергию, находим нужные макроскопические характеристики нашего идеального ферми-газа.

Рассмотрим теперь газа невзаимодействующих тождественных бозонов.

Микростояния газа тождественных невзаимодествующих бозонов определяются аналогично тому, как это делалось в случае идеального ферми-газа. Точно также в стационарном состоянии всего нашего газа в целом каждая из частиц находится в одном из одночастичных стационарных состояний. Поэтому также как и в случае системы невзаимодействующих тождественных фермионов микросостояние идеального бозе-газа задается совокупностью чисел заполнения всех одночастичных стационарных состояний.

Точно также, как и в случае ферми-газа, энергия микросостояния нащего бозе-газа с данной совокупностью чисел заполнения есть сумма по всем микросостояниям от произведения энергии одночастичного стационарное состояние на число частиц в этом одночастичном стационарном состоянии

, (43)

а среднее число частиц равно сумме чисел заполнения

, (44)

А вот волновые функции микросостояний ферми- и бозе-газа принципиально отличаются. В случае газа невзаимодействующих тождественных фермионов волновая функция любого микросостояния антисимметрична относительно перестановки частиц, т.е. при перестановке двух частиц она меняет знак. Именно эта антисимметрия приводит к фундаментальному ограничению на значения чисел заполнения - принципу запрета Паули. В случае же газа невзаимодействующих тождественных бозонов симметрия волновой функции иная: она является симметричной относительно перестановки частиц, т.е. при перестановке двух частиц волновая функция бозе-газа не меняется. Поэтому в газе невзаимодействующих тождественных бозонов нет фундаментального ограничения на числа заполнения, подобного принципу запрета Паули.

Также как и раньше нам нужно, найти выражение для среднего числа частиц в данном одночастичном стационарном состоянии и свободную энергию нашего бозе-газа.

Для того, чтобы это сделать нужно в точности повторить те выкладки, которые мы сделали для идеального ферми газа, только заменив в них сумму на сумму .

В результате мы получим, что в идеальном бозе-газе химический потенциал не может быть положительным (в противном случае сумма будет расходиться), а среднее число частиц в одночастичном стационарном состоянии дается выражением

. (45)

Для свободной энергии мы получим следующее выражение

. (47)

Эта функция называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна.