Лекция 3. Микроканоническое и каноническое распределения Гиббса в классической статистической теории

 

Изолированная система. Микроканоническое распределение

Рассмотрим ситуацию, когда изучаемая система является адиабатически изолированной от окружающей среды или, иначе, замкнутой. В этом случае изучаемая система отделена от окружающей среды адиабатическими стенками, которые препятствуют как обмену частицами, так и теплообмену между системой и окружающей средой. При этом принципиально, что стенки препятствуют именно взаимодействию. Эта постановка задачи вовсе не исключает наличие влияния окружающей среды, которое может быть с большой степенью точности аппроксимировано чисто силовым внешним воздействием. Другими словами, под замкнутой мы понимаем систему, все существенное влияние на которую можно с достаточной точностью учесть, рассмотрев ее во внешних стационарных силовых полях. Главное, что замкнутая система не обменивается с окружающей средой ни частицами, ни энергией. При таком задании нашей системы мы фиксируем число частиц в ней , ее объем и остальные внешние параметры , а также ее энергию. Причем речь идет не о внутренней энергии, а именно об энергии в обычном механическом понимании. Состояние равновесия такой системы задается внешними параметрами и ее энергией. Для полноты информации – для того, чтобы написать функцию Гамильтона нашей системы - нам еще, конечно же, нужно знать число частиц N в нашей системе. Распределение вероятности различных микросостояний замкнутой системы называется микроканоническим.

Задача о функции распределения изолированной системы является исходной для статистической теории. Вид функции распределения для замкнутой системы являются отправной точкой при нахождении канонического и большого канонического распределения.

Вид функции распределения для адиабатически изолированной системы непосредственно вытекает из постулата, который носит название принципа равной вероятности. Этот принцип состоит в следующем. Состояние равновесия нашей замкнутой системы задается ее энергией Е. Функция Гамильтона системы есть ни что иное, как ее полная энергия. Следовательно, микросостояния нашей системы, возможные в заданном состоянии равновесия, определяются условием

. (1)

Никакие другие микросостояния нашей системы в этом ее состоянии равновесия не возможны. Утверждение постулата равной вероятности состоит в том, что с равной вероятностью реализуется любое микросостояние, возможное в данном состоянии равновесия изолированной системы.

Непосредственно из постулата равной вероятности следует, что функция распределения нашей замкнутой системы имеет вид

. (2)

Действительно, пусть энергия нашей системе является не строго постоянной, а может меняться в очень малом интервале от до . Тогда возможные микросостояния нашей системы определяются условием

. (3)

Пусть ширина интервала энергии хоть и конечна, но настолько мала, что для нашей системы с большой точностью справедлив принцип равной вероятности. Т.е. ширина интервала настолько мала, что каждое микросостояние, энергия которого попадает в данный интервал, реализуется с равной вероятностью. Другими словами, функция распределения нашей системы имеет вид

, (4)

где С – константа.

Равновесное значение макроскопического параметра, как мы значем, есть

. (5)

Теперь для того, чтобы перейти от квазизамкнутой системы к истинно замкнутой, мы должны устремить к нулю. В результате мы получим наш внутренний макроскопический параметр

. Согласно определению дельта-функции Дирака этот предел равен

. (6)

Таким образом, функцию распределения адиабатически изолированной системы мы можем написать как произведение нормировочной постоянной на дельта-функцию Дирака, аргумент которой есть разность функции Гамильтона нашей системы и энергии E

.

Значение постоянной определяется условием нормировки

. (7)

Подставляем в условие нормировки явный вид функции распределения и переходим от интегрирования по фазовому пространству к интерированию по энергии в соответствии с той теоремой, которую сформулированной на прошлой лекции. В результате получим

, (8)

где

, (9

(10)

объем фазового пространства, ограниченный поверхностью постоянной энергии .

Воспользовавшись основным свойством дельта-функции

. (11)

В результате получаем

. (12)

Отсюда постоянная есть

. (13)