Показатели асимметрии и эксцесса распределений

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается относительный показатель асимметрии (А _s).

Существует несколько видов расчетов коэффициента асимметрии, например по формуле:

, где:

- средняя величина ряда распределения,

М₀ - центральный момент распределения,

σ - среднее квадратическое отклонение.

Величина показателя асимметрии (А_s)может быть положительной иотрицательной.

Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии (более длинная ветвь вправо).

Отрицательный знак показателя асимметрии говорит о наличии левосторонней асимметрии (более длинная ветвь влево).

Величина асимметрии может изменяться от -1 до +1 (для одновершинных распределений).

Чем больше абсолютная величина коэффициента асимметрии, тем больше степень скошенности вправо или влево.

Принято считать, что если коэффициент асимметрии А_s меньше 0,25. то асимметрия незначительная, а если А_s свыше 0,5, то асимметрия значительная.

При симметричном распределении А_s = 0, т.к. варианты равноудалены

от и имеют одинаковую частоту.

Заостренность или крутизна графика распределения вычисляется с использованием центрального момента четвертого порядка по формуле:

, где:

M₄ – центральный момент четвертого порядка,

среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.

 

При измерении асимметрии эталоном служит симметричное распределение, для которого А₃ = 0.

Для нормального распределения показатель асимметрии четвертого порядка равен 3 (А ₄ = 3).

 

Для сравнения островершинности распределений в качестве эталонного выбирается нормальное распределение, которое сравнивается с фактическим и рассчитывается показатель эксцесса по формуле:

Эксцесс также может быть положительным и отрицательным.

У высоковершинных (островершинных) распределений показатель эксцесса (Е_х) имеет положительный знак (+), а у низковершинных (плосковершинных) – отрицательный знак (-).

Предельным значением отрицательного эксцесса является значение

Е_х = - 2, величина положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Так как в нормальном распределении , следовательно, для нормального распределения показатель эксцесса равен нулю (Е_х = 0).

Средняя квадратическая ошибка эксцесса исчисляется по формуле:

, где:

n - число наблюдений.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное распределение к типу нормального распределения.

Распределения, близкие к нормальному распределению, встречаются при изучении самых различных явлений развития природы и общества.

Показатели формы распределения

Симметричное распределение (нормальное распределение)

Mo=Me

При симметричной форме распределении частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой: А_s = 0

Правосторонняя асимметрия

Mo Me

Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии:

A_s > 0

 

Левосторонняя асимметрия

Me Mo

 

Отрицательная величина показателя асимметрии указывает на наличие левосторонней асимметрии:

A_s < 0

 

Решение типовых задач

5.7.1. По данным распределения возраста студентов одного из факультетов ВУЗа определимразмах распределения, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

группы студентов по возрасту х, лет	число студентов fi
A
		3,7		13,69	136,9
		2,7		7,29	510,3
		1,7		2,89	231,2
		0,7		0,49	49,0
		0,3		0,09	10,8
		1,3		1,69	270,4
		2,3		5,29	476,1
Итого		-		-	1684,7

 

Решение:

Прежде всего находим самое маленькое значение возраста студентов

Xmin = 17 лет и самое большое Хmax = 23 года (графа А таблицы).

Находим разницу между максимальным и минимальным значением признака и получаем величину размаха, которая составляет:

 

R = 23 – 17 = 6 лет.

 

Для проведения дальнейших вычислений показателей вариации проведем дополнительные расчеты и запишем их в имеющуюся таблицу:

- определяем произведение значений признака(x ) на соответствующие веса (f_i) (графа 6). В итоге получаем сумму, равную 13060.

- рассчитаем среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной:

= = = 20,7 года.

 

Для расчета среднего линейного отклонения находим абсолютное отклонение значений признака (x ) от средней величины () по модулю (графа 2).

Вычисляем произведения отклонений на их веса (f_i) и подсчитываем сумму их произведений. Эта сумма равна 883 (графа 3).

Делим эту сумму () на сумму весов (f_i), чтобы получить искомую величину :

= = 1,4 года.

Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины.

Возведем в квадрат отклонения индивидуальных значений признака от их средней и запишем результат в графу 4 таблицы.

Затем квадрат отклонений умножим на веса (f_i) и подсчитаем сумму, которая равна 1684,7 (графа 5).

Разделим эту сумму (x - ) f на сумму весов f , чтобы получить величину дисперсии:

= = 2,67

Извлечем корень квадратный из дисперсии и получим величину среднего квадратического отклонения:

= = = 1,63 года

Таким образом, каждое индивидуальное значение возраста студентов отклоняется от их средней величины на 1,63 года.

 

5.7.2. Дисперсия признака равна 600. Объем совокупности равен 10. Сумма квадратов индивидуальных значений признака равна 6250.

Найдитесреднюю величину совокупности.

 

Решение:

Для нахождения средней величины воспользуемся методом отсчета от условного нуля или методом моментов:

= , где

- средняя арифметическая из квадратов индивидуальных значений признака;

- квадрат среднего значения признака.

 

Тогда: = = = 625.

Средняя величина признака:

.

5.7.3. Для характеристики однородности совокупности следует вычислить показатели вариации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации (вычисления выполнить в таблице).