Методы изучения связи социальных явлений.

Важной задачей статистики является разработка методики статистической оценки социальных явлений, которая осложняется тем, что многие социальные явления не имеют количественной оценки.

Оценка связей социальных явлений осуществляется на основе расчета и анализа специальных коэффициентов: ассоциации, контингенции, взаимной сопряженности, эластичности.

· Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации (К_асс) и контингенции (К_конт).

 

Для их вычисления строится таблица (табл.2), которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (плохой, хороший; светлый, темный….):

Таблица 2

а	b	a + b
c	d	c + d
a + c	b + d	a + b + c + d

 

Коэффициент ассоциации вычисляется по формуле:

К_асс =

Коэффициент контингенции вычисляется по следующей формуле:

К_конт =

 

Коэффициенты ассоциации и контингенции изменяются в пределах от (-1) до (+1), причем коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации.

Связь между зависимыми явлениями или процессами считается подтвержденной, если К_асс > 0,5 или К_конт > 0,3.

 

· Коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона (К_П) и Чупрова (К_Ч) применяются для определения тесноты связи в том случае, если каждый из качественных признаков состоит более, чем из двух групп.

 

Коэффициенты определяются по следующим формулам соответственно:

К_П = К_Ч = , где:

- показатель взаимной сопряженности,

к₁ - число значений (групп) первого признака,

к₂ - число значений (групп) второго признака.

 

Для расчета коэффициента взаимной сопряженности необходимо построить вспомогательную таблицу (табл.3):

Таблица 3

у x				всего
	….. ….. …..	..… ….. …..	nxy	nx nx nx
итого	ny	ny	ny	n

 

- определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1;

=

 

 

Чем ближе величины К_П и К_Ч к 1, тем связь теснее или выше.

 

· С целью расширения возможностей экономического анализа статистической модели экономического процесса или явления используются частные коэффициенты эластичности (Э_хi), определяемые по формуле:

, где:

a_i - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке,

- среднее значение соответствующего факторного признака,

- среднее значение результативного признака.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

 

Решение типовых задач

9.3.1. Имеются данные о стоимости основных фондов и выпуску продукции по 10 компаниям:

название компаний	стоимость основных фондов, млн. руб.	выпуск продукции, млн. руб.
А
«Звезда» «Атлант» «Фиас» «Антарис» «Перспектива» «Рамекс» «Алмаз» «Колобок» «Сапфир» «Норд»		2,4 4,0 3,6 4,0 4,5 4,6 5,6 6,5 7,0 5,0
итого		47,2

Вычислите коэффициент корреляции по стоимости основных фондов и выпуску продукции компаний.

 

Решение:

Составим расчетную таблицу для подготовки вычисления коэффициента корреляции, приняв стоимость основных фондов за факторный признак (х), а выпуск продукции за результативный признак (у):

название компаний	cтоимость основных фондов, млн. руб. (х)	выпуск продукции, млн. руб. (у)	xy	x ^2	y ^2
А
«Звезда» «Атлант» «Фиас» «Антарис» «Перспектива» «Рамекс» «Алмаз» «Колобок» «Сапфир» «Норд»		2,4 4,0 3,6 4,0 4,5 4,6 5,6 6,5 7,0 5,0	14,4 32,0 32,4 40,0 45,0 50,6 67,2 84,5 98,0 75,0		5,8 16,0 13,0 16,0 20,2 21,2 31,4 42,2 49,0 25,0
итого		47,2	539,1		239,8

 

= =

 

=

 

Таким образом, связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции прямая и высокая.

 

9.3.2. Имеются следующие данные об уровнях издержек обращения и выработке на одного работника, т.е. производительность труда по предприятиям региона за квартал:

 

№ п/п	средняя выработка на одного работника, тыс. руб.(х)	уровень издержек обращения, % к товарообороту (y)
	40,4	4,54
	43,1	4,42
	45,2	4,19
	47,0	4,23
	51,4	3,88
	51,7	4,00
	53,9	4,04
	55,2	4,01

 

Постройте уравнение взаимосвязи признаков, влияющих на издержки обращения, и сделайте прогноз работы новых предприятий с выработкой на одного работника 60 тыс. руб.; 50 тыс. руб. и 40 тыс. руб.

 

Решение:

1. Для подтверждения положений логического (качественного) анализа о наличии прямой зависимости между уровнем издержек обращения и средней выработкой нанесем исходные данные (эмпирические) на график корреляционного поля и сделаем выводы о форме связи:

 

Из графика видно, что связь является линейной и обратной. Точки расположены по направлению из верхнего левого угла в правый нижний:

с увеличением выработки снижается уровень издержек обращения.

 

2. Для определения тесноты связи между изучаемыми признаками вычислим линейный коэффициент корреляции.

Для вычисления линейного коэффициента корреляции произведем необходимые расчеты в таблице, так как для расчета r и построения уравнения регрессии (связи) требуются одни и те же показатели.

 

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии:

№ п/п	cредняя выработка одного работника, тыс. руб. x	уровень издержек обращения % к товарообо-роту, y	xy	x²	y²
	40,4	4,54	183,4	1632,16	20,61	4,47
	43,1	4,42	190,5	1857,61	19,54	4,37
	45,2	4,19	189,4	2043,0	17,56	4,29
	47,0	4,23	198,2	2209,0	17,89	4,22
	51,4 51,7	3,88 4,00	199,4 206,8	2641,96 2672,89	15,05 16,0	4,05 4,04
	53,9	4,04	217,8	2905,21	16,32	3,96
	55,2	4,01	221,4	3047,04	16,08	3,91
Итого	387,9	33,31	1607,5	1900.8,87	139,05	33,31

 

Линейный коэффициент корреляции для парной зависимости исчисляется по следующей формуле:

 

 

 

 

 

Абсолютная величина линейного коэффициента корреляции r = - 0,90, что свидетельствует о высокой тесноте связи между изучаемыми признаками, а знак "минус" при коэффициенте - об обратной связи.

 

3. В целях синтезирования модели в зависимости от уровня издержек обращения и средней выработки определим уравнение прямолинейной связи и нанесем полученную при этом теоретическую линию регрессии на ранее построенный график корреляционного поля.

 

4. Уравнение прямой линии имеет вид:

где:

- индивидуальные значения результативного признака;

x - индивидуальные значения факторного признака;

- параметры уравнения регрессии.

Способом наименьших квадратов решим систему нормальных уравнений, находя параметры и :

n a_о + a₁∑x=∑y,

a_о∑x + a₁ ∑x²=∑xy

подставляем значения из расчетной таблицы:

8 a_о +387,9 a₁ =33,31

387,9 a_о + 19008,87 a₁ =1607,5

 

делим каждое уравнение на коэффициенты при а₀ (первое уравнение делим на 8, а второе - на 387,9)и получаем:

а_о + 48,49 a₁ = 4,16

а_о + 49,0 a₁ = 4,14

 

вычитаем из второго уравнения первое и получаем:

0,51 a₁ = - 0,02.

а₁ = -0,039.

подставляем значение a₁ в первое уравнение и находим коэффициент а₀:

а_о + 48,49(-0,039) = 4,16;

а_о - 1,89=4,16;

а_о = 6,05.

Уравнение корреляционной связи принимает вид:

 

Свободный член a_о характеризует уровень издержек обращения, не зависящий от выработки на одного работника. Коэффициент регрессии a₁ уточняет связь между у и х. Он показывает, на сколько единиц увеличивается результативный признак при измерении факторного признака на единицу в пределах установленной вариации. При увеличении выработки на 1 млн. руб. уровень издержек обращения снижается на 0,039% к обороту.

 

5. Так как уравнение регрессии составлено на основе фактической информации по данным о восьми предприятиях за квартал, то можно исчислить по нему теоретические уровни, т.е. в уравнение = 6,05 - 0,039 х вместо значений х будем подставлять фактические данные о выработке каждого из предприятий:

 

№1 = 6,05 - 0,039*40,4 = 4,47;

№2 = 6,05 - 0,039*43,1 = 4,37 и т.д. (графа 7 расчетной таблицы).

 

В итоге получим сумму 33,31, которая соответствует графе 3 и свидетельствует о правильности выполненных расчетов.

Полученные значения наносим на ранее построенный график корреляционного поля - это будет теоретическая (сглаженная) прямая линия.

 

6. Используя полученную информационную математическую модель, определим возможное значение уровня издержек обращения для открываемых в регионе новых предприятий:

· с выработкой на одного работника 60 тыс. руб.:

 

= 6,05 - 0,039*60 = 3,71%,

 

т.е. уровень издержек при этом составит 3,71% к товарообороту за квартал при прочих равных условиях.

 

· с выработкой на одного работника 50 тыс. руб.:

 

= 6,05 - 0,039*50 = 4,1%,

 

· с выработкой на одного работника 40 тыс. руб.:

 

= 6,05 - 0,039*40 = 4,49%.

 

9.3.3. Определите при помощи корреляционного отношения тесноту связи между числом обслуживаемых станков и средней выработкой одного рабочего:

рабочие	дневная выработка рабочего	отклонение индиви-дуальных значений признака от общей средней	сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от общей средней
на 8 станках	на 11 станках	на 8 станках	на 11 станках	на 8 станках	на 11 станках
А
			-14 -6 -11 -9 -10	+8 +12 +6 +14 +10
итого

 

Решение:

Определим среднюю выработку рабочего на 8 станках:

дет.

 

Определим среднюю выработку рабочего на 11 станках:

дет.

 

Общая средняя выработка всех рабочих равна:

дет.

 

Вычислим общую дисперсию (), характеризующую общую вариацию под влиянием всех факторов:

 

Межгрупповая дисперсия (), х арактеризующая факторную вариацию, т.е. различия в выработке, обусловленные неодинаковым числом обслуживаемых станков, определяется по формуле:

= дет.

 

Рассчитаем корреляционное отношение по следующей формуле:

 

h = или 96,4%

 

Следовательно, 96,4% всей вариации выработки объясняется тем, что часть рабочих работали на 8 станках, а часть рабочих работали на 11 станках и только 3,6% вариации (100% - 96,4%) является результатом действия прочих случайных факторов, не положенных в основание группировки.

 

9.3.4. По данным о сумме активов, кредитных вложений и величине собственного капитала коммерческих банков одного из регионов Российской Федерации на 01.01.2010 года постройте множественное уравнение связи. Связь предполагается линейной:

 

номер банка	сумма активов, млн.руб. (у)	кредитные вложения, млн.руб. (х1)	собственный капитал, млн.руб. (х2)
итого

 

По полученным данным рассчитайте коэффициент эластичности взаимосвязи признаков.

Решение:

Уравнение множественной регрессии:

Система нормальных уравнений имеет вид:

 

 

Построим расчетную таблицу для определения параметров уравнения регрессии:

но-мер бан-ка	сумма акти-вов, млн. руб. (у)	кре-дит-ные вло-же-ния, млн. руб. (х1)	собс-твен-ный капи-тал, млн. руб. (х2)	ух1		у^2	х1х2		ух2
∑

 

Подставим полученные значения в систему уравнений:

7 а₀ + 867 а₁ +104 а₂ = 14757

 

8671 а₀ + 14266159 а₁ + 1510415 а₂ = 21956214

 

1046 а₀ + 1510415 а₁ + 175876 а₂ = 2534726.

Отсюда: а₀ = - 443,4; а₁ = 0,0368; а₂ = 16,77

 

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

- 443,4 + 0,0368 х₁ + 16,77 х₂.

Произведенные расчеты показали, что с увеличением кредитных вложений на 1 млн. рублей и собственного капитала коммерческих банков на

1 млн. рублей стоимость их активов возрастает соответственно в среднем на 0,0358 млн. рублей и 16,77 млн. рублей.

Коэффициент эластичности (Э_хi) определяется по формуле:

Подставляя значения признаков определим влияние каждого факторного признака на результативный признак отдельно:

.

Это означает, что при увеличении кредитных вложений и собственного капитала на 1% стоимость активов в среднем возрастает соответственно на 0,02% и 1,19%.

 

9.3.5. Исследовалась социально-демографическая характеристика потребления сигарет женщинами в зависимости от их семейного положения в одном из регионов Российской Федерации.

Результаты обследования характеризуются следующими данными

(тыс. чел.):

группы курящих женщин	семейное положение	всего
замужем	не замужем
курит сигареты не курит сигареты	10,0 2,5	14,5 4,5	24,5 7,0
итого	12,5	19,0	31,5

Рассчитайте коэффициенты ассоциации и контингенции.

 

Решение:

К_асс = = = 0,108

 

К_конт

 

Так как К_асс < 0,5 и К_конт < 0,3, то потребление сигарет женщинами не зависит от их семейного положения.

 

9.3.6. Исследовалась зависимость между оценкой уровня жизни респондентов г.Ярославля и формой собственности предприятия, на котором они работают:

форма собственности предприятия	оценка уровня жизни респондентов	итого
вполне удовлетво-рительно	скорее удовлетво-рительно	скорее не удовлетво-рительно	совсем не удовлетво-рительно
государственная
муниципальная
смешанная российская
частная
итого

Определите коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

 

Решение:

Для определения коэффициентов необходимо сделать вспомогательные расчеты:

=0,636 + 0,249 + 0,047 + 0,100 = 1,032

= 1,032 – 1 = 0,032

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона определяется по формуле:

К_П = =

 

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова определяется по формуле:

К_Ч =

Так как коэффициенты взаимной сопряженности К_П и К_Ч по своим значениям далеки от единицы, то можно сказать, что оценка уровня жизни респондентов не зависит от типа предприятия, на котором они работают.

 

9.3.7. Имеются данные зависимости наличияотдельной квартиры от семейного положения человека:

семейное положение	наличие отдельной квартиры	отсутствие отдельной квартиры	всего
семейные	300 (а)	115 (b)	415 (a + b)
одинокие	15 (с)	70 (d)	85 (c + d)
всего	315 (а + с)	185 (b + d)

Вычислите коэффициенты ассоциации и контингенции зависимости данных явлений.

 

Решение:

Коэффициент ассоциации рассчитывается по следующей формуле:

К_асс = =

 

Коэффициент контингенции определяется по формуле:

К_конт = =

 

Так как полученный К_асс > 05, а коэффициент контингенции К_конт > 0,3, значит между семейным положением и обеспеченностью отдельной квартирой существует прямая умеренная связь.

9.4. Задания для самостоятельной работы

Задача 1.

По данным группировки 40 предприятий потребительской кооперации по величине балансовой прибыли и объему продукции постройте уравнение связи:

балансовая прибыль, тыс. руб. (у)	объем продукции, тыс. руб. (х)
100-200	200-300	300-400	400-500	500-600	итого (fy)
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
итого (fx)

 

 

Задача 2.

Имеются следующие данные о производительности труда портних швейной фабрики, выполняющих одинаковые операции:

группы портних по стажу работы	число портних	дневная производительность труда, шт.	дисперсия производительности труда в группе
до 5 лет			5,3
5-10 лет			1,8
более 10 лет			1,1

Определите степень тесноты связи между уровнем производительности труда портних и стажем их работы.

 

Задача 3.

По данным о сумме активов и кредитных вложений коммерческих банков одного из регионов Российской Федерации на 01.01.2011 года определите направление и тесноту взаимосвязи между признаками, выделив кредитные вложения факторным признаком, а сумму активов – результативным признаком):

номер банка	кредитные вложения, млн. руб.	сумма активов, млн. руб.
итого

 

Задача 4.

Изобразите графически в корреляционном поле следующие данные о зависимости объема продаж облигаций на ММВБ 01.01.2011 г. и доходности к погашению:

группы серий по объему продаж, млрд. руб. (х)	группы серий по доходности к погашению, % (у)	всего серий
42 - 49	49 - 56	56 - 63	63 - 70
3 - 61 61 – 117 117 – 187 187 – 231 231 – 292 292 - 339
итого

 

Рассчитайте средние величины групп () и постройте эмпирическую линию регрессии.

 

Задача 5.

Для оценки степени тесноты связи между уровнем выработки рабочих и стажем их непрерывной работы была рассчитана величина корреляционного отношения, оказавшая равной 0,85 при объеме выборки равном 100 (п = 100).

Определите величину средней внутригрупповой дисперсии, если известно, что общая дисперсия выработки рабочих составляет 5,9.

 

Задача 6.

Взаимосвязь между стоимостью активной части основных фондов и затратами на производство работ по 35 строительным фирмам представлена следующей таблицей:

 

затраты на производство строительно-монтажных работ, % к стоимости активной части основных фондов	стоимость активной части основных фондов, млн. руб.	всего фирм
50-100	100-150	150-200	200-250
1 - 6 6 - 11 11 - 16 16 - 21 21 - 26
итого

Постройте в корреляционном поле эмпирическую линию регрессии.

 

Задача 7.

Имеются данные о связи между четырьмя показателями, характеризующими экспорт технологий и услуг технического характера по 10 областям Российской Федерации в 2010 году (млн. евро):

номер области	число соглашений	стоимость предмета соглашения	чистая стоимость предмета соглашения	поступления по соглашениям
		0,51 3,29 0,11 3,69 0,51 5,10 0,52 1,75 4,38 3,37	0,51 3,28 0,11 3,69 0,51 5,06 0.51 1,74 4.31 3,35	0,42 0,18 0,11 2,38 O,51 2,04 0,52 0,28 3,31 0.29

Определите вид корреляционной зависимости между показателями числа соглашений и стоимости предмета соглашения по экспорту технологий и услуг, найдите параметры уравнения регрессии. Определите направление и тесноту связи.

 

Задача 8.

Имеются следующие данные о работниках потребительской кооперации в одном из регионов Российской Федерации:

группы работников по стажу работы	число работников в группе	средняя месячная заработная плата, руб.	дисперсия месячной заработной платы в группе
до 5 лет 5 лет и более

Определите степень тесноты связи между стажем работы и размером заработной платы работников.

 

Задача 9.

Имеются данные о связи между средней взвешенной ценой и объемом продаж облигаций на ММВБ 01.01.2011 г.:

номер серии	средняя взвешенная цена, тыс. руб. (х)	объем продаж, млрд. руб. (у)
A B C D E F G H I J	73,29 81,38 80,21 59,43 88,24 79,32 76,58 77,05 72,86 74,12	80,3 259,9 84,2 301,4 68,7 63,5 234,1 71,6 67,3 312,5

 

Составьте линейное уравнение регрессии. Вычислите параметры и рассчитайте линейный коэффициент корреляции.

Сформулируйте выводы.

 

Задача 10.

По 20 предприятиям легкой промышленности получена математическая модель, отражающая зависимость выпуска продукции (у) за месяц от размера основного капитала (х): .

Кроме этого, по всей совокупности предприятий имеются следующие данные:

1) средняя стоимость основного капитала на одно предприятие -

млн. руб;

2) средний размер выпуска продукции на одно предприятие –

млн. руб.;

3) среднее квадратическое отклонение по стоимости основного капитала - млн. руб.;

4) среднее квадратическое отклонение по размеру выпуска продукции - млн. руб.

Определите степень тесноты связи между размером выпуска продукции и стоимостью основного капитала указанных предприятий легкой промышленности.

 

Задача 11.

Зависимость между объемом произведенной продукции и балансовой прибылью по 10 предприятиям характеризуется следующими данными:

номер предприятия	объем реализованной продукции, млрд. руб.	балансовая прибыль, млрд. руб.
	567,6 479,2 485,4 499,6 431,9 488,7 533,4 457,6 412,8 495,3	157.6 120,8 64,3 59,0 48,7 69,4 98,9 43,6 105,1 111,9

Определите вид корреляционной зависимости. Постройте уравнение регрессии, рассчитайте параметры уравнения, вычислите тесноту связи.

Сформулируйте выводы.

 

Задача 12.

Имеются следующие данные о зависимости между объемом продаж облигаций на ММВБ и доходностью к их погашению:

группы серий по объему продаж, млрд. руб. (х)	группы серий по доходности к погашению, % (у)	всего серий
43 - 50	50 - 57	57 - 64	64 - 71
2 - 59 59 - 112 112 - 177 177 - 214 214 - 286 286 - 340
итого

 

Определите вид корреляционной зависимости между объемом продаж облигаций на ММВБ и доходностью к их погашению.

Найдите параметры уравнения регрессии, определите тесноту связи.

Сформулируйте выводы.

 

Задача 13.

Имеются следующие данные о стоимости основных фондов и среднесуточной переработке сырья на предприятиях региона:

стоимость основных фондов, тыс. руб.	среднесуточная переработка сырья, кг	итого
200 - 400	400 -600	600 - 800	800 - 1000
300-400 400-500 500-600 600-700 700-800
итого

Определите вид корреляционной зависимости, найдите параметры уравнения регрессии определите тесноту связи.

Сформулируйте выводы.

 

Задача 14.

По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии:

а₀ = 3,5; r_xy = 0,85; 36; 49.

Задача 15.

В результате опроса, проведенного в 2010 году Всероссийским центром изучения общественного мнения по отношению к решениям, принимаемым правительством Российской Федерации, мужчин и женщин, получены следующие результаты:

пол	положи-тельное	отрица-тельное	безраз-личное	итого	частоты	итого
положи-тельное	отрица-тельное	безраз-личное
женщины					0,125	0,8025	0,0725
мужчины					0,125	0,75	0,125
итого					0,125	0,775	0,100

Определите коэффициент взаимной сопряженности и сделайте вывод об отношении населения к решениям, принимаемым правительством страны, в зависимости от пола опрошенных людей.

 

Задача 16.

В результате обследования работников предприятия получены следующие данные:

образование	удовлетворены своей работой	не удовлетворены своей работой	итого
высшее и среднее
незаконченное среднее
итого

Оцените тесноту связи между уровнем образования и удовлетворенностью своей работой с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции.

____________________________________________________________________

??? ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Основные задачи изучения и измерения связи между явлениями?

2. Характеристика функциональной связи явлений и процессов?

3. Понятие корреляционной связи и ее сущность?

4. Виды связей по своему направлению?

5. Характеристика прямолинейной и криволинейной связей, а также их

математическое выражение?

6. Статистические методы установления связей между явлениями?

7. Для каких целей при установлении связи между явлениями применяют

аналитические группировки?

8. Корреляционное отношение, его исчисление и характеристика?

9. Сущность и назначение корреляционного анализа?

10.Определение теоретического значения способом наименьших квадратов?

11.Уравнение регрессии и характеристика его коэффициентов?

12.Определение линейного коэффициента корреляции?

13.Коэффициент эластичности, его сущность и определение?

14.Когда применяются коэффициенты ассоциации и контингенции и порядок

их вычисления?

15.В каких случаях применяются коэффициенты взаимной сопряженности

Пирсона и Чупрова и порядок их исчисления?