Методы прогнозирования: интерполяция, экстраполяция

Экономический прогноз – это система научных исследований о возможных направлениях будущего развития экономики и отдельных ее сфер.

Прогнозирование означает специальные научные исследования конкретных перспектив развития какого-либо явления и находится во взаимосвязи с планированием, программированием и управлением.

Прогнозирование для отдельного объекта исследования или отдельного предприятия означает процесс формирования прогнозов его развития на основе предыдущих тенденций развития, изменяющихся во времени, т.е. показателей рядов динамики.

 

Распространение установленных в прошлом тенденций на будущий период или нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое – ретроспективной.

Применение экстраполяции для прогнозирования должно основываться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда.

Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменения уровней ряда во времени, сохранятся и в будущем.

Возможность распространения тенденции как в будущее, так и в прошлое заложена в свойстве массовых явлений и процессов, называемой инерционностью. То есть, если массовое явление или процесс обладают определенным свойством, то они теряют или изменяют это свойство не мгновенно, а постепенно и не сразу.

Экстраполяция в прогнозировании базируется на двух основных предпосылках:

· развитие описывается плавной кривой;

· общая тенденция развития в прошлом и настоящем не претерпевает серьезных изменений.

Существует экстраполяция во времени и в пространстве.

Экстраполяция во времени применяется для перспективных расчетов показателей динамики в различных областях знаний.

Экстраполяция в пространстве – это распространение выборочных данных на другую часть совокупности, не подвергнутую наблюдению.

Чем короче срок экстраполяции (период упреждения), тем более надежные и точные результаты дает прогноз. В зависимости от того, какие принципы и исходные данные положены в основу прогноза, выделяют следующие методы экстраполяции:

· среднего абсолютного прироста;

· среднего темпа роста;

· выравнивания по аналитической формуле.

Эти способы экстраполяции тренда являются самыми приближенными.

 

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной.

Если основная тенденция изменений признака близка к прямолинейной, то значение уровня ряда в последующий период (n +1) можно приблизительно определить по формуле:

, где:

- средний абсолютный прирост.

 

Период учреждения прогноза (L) не должен превышать 1/3 n, т.е.

L‹1/3 п, где:

п - число членов анализируемого динамического ряда.

 

Прогнозирование по среднему темпу роста осуществляется в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. В этом случае экстраполяция осуществляется по формуле:

, где

y _n – последний уровень ряда динамики;

t – срок прогноза;

– средний коэффициент роста.

Наиболее распространенным методом прогнозирования считают аналитическое выражение тренда.

 

Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри исследуемого периода называется интерполяцией.

Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

 

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза.

Решение типовых задач

7.6.1. Постройте модель, описывающую динамику процесса производства легковых автомобилей в РФ (тыс. шт.) и постройте линию тренда:

месяц	выпуск легковых автомобилей, тыс.шт.(у)
	87,2
	81,0
	82,4
	85,8
	90,4
	84,0
	96,3
	85,5
	83,0
итого	775,6

 

Решение:

1. Аналитически модель линейного тренда выражается следующим уравнением прямой линии:

2. подбираем функцию для описания ряда с условием ;

3. для нахождения значений параметров а ₀ и а ₁ системы уравнений необходимо сделать дополнительные расчеты и найти и .

Результаты запишем в таблицу:

месяц	у	t
	87,2	-4		-348,8	84,7
	81,0	-3		-243,0	85,1
	82,4	-2		-164,8	85,5
	85,8	-1		-85,8	85,8
	90,4				86,2
	84,0			84,0	86,5
	96,3			192,6	86,9
	85,5			256,5	87,3
	83,0				87,6
∑	775,6			22,7	775,6

 

4. находим значения параметров а ₀ и а₁ трендовой модели:

 

5. модель динамики производства легковых автомобилей:

6. подставляем имеющиеся в условии помесячные значения t и получаем средние помесячные уровни выпуска автомобилей:

……………………………………….

 

7. проверим правило средних величин:

Сумма расчетного должна быть равна сумме исходных :

Правило выполнено, значит модель построена и вычислена верно;

 

8. построим линию тренда в осях координат:

· сначала нанесем линию фактической динамики;

· затем нанесем линию средних значений динамики по месяцам и получим линейный тренд, выровненный методом наименьших квадратов;

· далее можно построить прогноз на будущее графически продлением линии тренда, т.к.

 

 

 

 

и аналитически:

7.6.2. Требуется провести анализ динамики продажи мясных консервов за 2006-2010 г.г. по условным данным, т.е. определить абсолютные приросты (Δ у), темпы роста или снижения продажи мясных консервов (Т_р), темпы прироста

(Δ Т), абсолютное значение 1% прироста (А_1%), темпы наращивания (Т_наращ.), а также средние показатели ().

Для удобства и наглядности исходные и рассчитанные показатели изложим в одной таблице:

год	кон- сервы мяс- ные, млн. усл. банок	абсолютные приросты (снижение), млн. усл. банок	темпы роста, %	темпы прироста, %	абсо- лютное значе- ние 1% при- роста, млн. усл. банок	темпы нара- щива-ния, %
с преды- дущим годом	с 2006 г.	с преды- дущим годом	с 2006 г.	с преды- дущим годом	с 2006 г.
А
		-	-	-	100,0	-	0,0	-	-
		-85	-85	90,5	90,5	-9,5	-9,5	8,91	-9,5
		+789	+704	197,9	179,0	97,9	79,0	8,06	88,6
		+42	+746	102,63	183,7	2,63	83,7	15,95	4,71
		+14	+760	100,85	185,3	0,85	85,3	16,37	1,57
Итого		+760	-	-	-	-	-	-	85,3

Решение:

Для определения абсолютной скорости роста (снижения) продажи мясных консервов определяем абсолютные приросты ряда динамики по формулам:

у = у - у ,

у = у - у

Абсолютное уменьшение продажи консервов за 2007 г. по сравнению с 2006 г. составило: 806-891 = -85 млн. усл. банок, а в 2010 году по сравнению с базисным 2006 годом продажа консервов возросла на 760 млн. усл. банок.

 

Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается относительным показателем - темпом роста (Т_р), который определяется по следующим формулам:

; .

Так, для 2010 года темп роста по сравнению с 2006 годом составил:

(графа 5 таблицы)

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда определяем темпы прироста базисные и цепные (графы 5 и 6) таблицы:

=

 

Например, в 2010 году продажа консервов возросла по сравнению с 2006 годом на 85,3% ( или 185,3 – 100 = 85,3%).

 

Показатель абсолютного значения прироста продажи консервов определяется по следующим формулам:

Для 2010 года абсолютное значение 1% прироста (графа 8 таблицы) равно:

 

млн.усл.банок или млн.усл.банок.

 

Для определения темпов наращивания продажи мясных консервов используем следующие формулы (графа 9 таблицы):

 

 

Так, например в 2007 году по сравнению с 2006 годом наблюдалось уменьшение продажи мясных консервов на 9,5%, а в 2008 году по сравнению с 2006 годом продажа консервов увеличилась на 88,6%, в 2010 году по сравнению с 2006 годом продажа консервов предприятиями потребительской кооперации увеличилась лишь на 1,57%.

Средний абсолютный прирост определяем по формуле:

= млн.усл.банок.

 

Среднегодовой темп роста определяем по следующей формуле:

= или 116,7%.

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднегодового темпа роста 100%:

116,7% - 100% = 16,7%.

 

Следовательно, среднегодовой темп прироста продажи мясных консервов предприятиями потребительской кооперации региона составляет 16,7%

 

7.6.3. По данным о розничном товарообороте предприятия по кварталам 2009-2010 гг. произведите анализ основной тенденции развития товарооборота за указанный период времени и рассчитайте прогноз розничного товарооборота предприятия на ближайшую перспективу, т.е. определите вероятные значения розничного товарооборота на II, III и IV кварталы 2010 г. (в таблице, в графах 2-3 уже сделаны некоторые необходимые вычисления):

показатели	розничный товарооборот, млн.руб.	темп роста, цепной, %	абсолютный прирост, цепной, млн. руб.
А
I кв-л 2009 г.	694,8	-	-
II кв-л 2009 г.	753,0	108,4	58,2
III кв-л 2009 г.	1147,3	152,4	394,3
IV кв-л 2009 г.	1552,7	135,3	405,4
I кв-л 2010 г	1517,0	97,7	-35,7
В среднем	1133,0	115,0	205,6

 

Решение:

Для определения основной тенденции изменения товарооборота исчислим темпы роста по годам, свидетельствующие об интенсивности развития товарооборота по кварталам, и абсолютные приросты по годам по следующим формулам:

, , , .

Чтобы установить тип развития явления, определяющим фактором (признаком) берется характер изменения абсолютных приростов.

Абсолютные приросты стабильны, кроме последнего периода –

I квартала 2010 года. При среднем абсолютном приросте, равном 205,6 млн. руб., величина изменений абсолютных приростов колеблется и составляет

+/-29,9 млн. руб. (), т.е. является незначительной. Поэтому для упрощения расчетов и интерпретации полученных результатов анализируемый ряд динамики будем считать с равномерным развитием, пренебрегая последним результатом и применяя для аналитического выравнивания уравнение прямой линии.

Для этой же цели обоснования выбора уравнения на основании данных первых двух граф табличных данных построим график зависимости розничного товарооборота от времени:

 

 

На основании графика можно сделать вывод в основном о прямой линейной зависимости между розничным товарооборотом и временем, т.е. выраженной уравнением прямой линии:

Для вычисления параметров уравнения способом наименьших квадратов

запишем систему нормальных уравнений:

,

.

 

 

Для решения системы нормальных уравнений составим таблицу:

кварталы	розничный товарооборот, млн. руб., (у)	условные обозначения времени, (t)	t	tу	теоретические уровни, ()
А
I 2009 г.	694,8			694,8	643,65
II 2009 г.	753,0			1506,0	888,31
III 2009 г.	1147,3			3441,9	1132,96
IV 2009 г.	1552,7			6210,8	1377,61
I 2010 г.	1517,0			7585,0	1622,67
Итого:	5664,8			19438,5	5664,80

Подставляя значения расчетной таблицы, определяем параметры уравнения прямолинейной функции:

Делим каждое уравнение на коэффициенты при а : каждый член первого уравнения делим на 5, а каждый член второго уравнения делим на 15 и получаем:

.

Из второго уравнения вычитаем первое и находим параметр а :

0,6666 а = 162,94,

отсюда

а = = 244,65.

Значение а подставляем в первое уравнение и находим а :

а = 398,99.

Зная значения а и а , запишем уравнение прямой линии:

 

На основании полученного уравнения рассчитаем теоретические уровни, т.е. объемы розничного товарооборота, вычисленные по уравнению прямой, за все кварталы 2005 г. и I квартал 2006 г.

 

Решаем уравнение связи пять раз, подставляя вместо t имеющиеся условные значения времени.

 

Для I квартала 2009 г.:

() = 398,99 + 244,65*1 = 643,65 млн. руб.

 

Для второго квартала 2009 г.:

() = 398,99 + 244,65*2 = 888,31 млн.руб.

и т.д. (графа 5 расчетной таблицы).

 

Для того, чтобы сделать прогноз розничного товарооборота на II, III и IV кварталы 2010 года, необходимо в данное уравнение подставить следующие значения времени:

для II квартала 2010 г. t = 6;

для III квартала 2010 г. t = 7;

для IV квартала 2010 г. t = 8.

 

Произведя все расчеты, находим прогноз товарооборота на II квартал 2010 г.:

= 398,99+244,65*6 = 18866,92 млн. руб.;

 

III квартал 2010 г.– 2111,58 млн.руб.; IV квартал 2010 г.– 2356,23 млн. руб.

 

Эта модель будет действительна при условии, что в дальнейшем сохранится та же тенденция развития данного экономического явления, каким является закономерность формирования розничного товарооборота имеющегося предприятия.

 

В полученном уравнении прямой линии а_о является свободным членом и показывает то значение товарооборота, начиная с которого выполняется имеющаяся закономерность изменения товарооборота. Наибольшее значение имеет коэффициент регрессии а₁ , который показывает, что при изменении времени на одну условную единицу (квартал) розничный товарооборот возрастает в среднем за квартал на 244,65 млн.рублей.

7.6.4. Реализация кондитерских изделий в магазинах области характеризуется следующими данными:

месяц	год
Январь	131,8	132,1	137,3
Февраль	127,9	130,8	132,2
Март	128,9	133,0	142,0
Апрель	139,5	135,8	140,9
Май	136,2	129,1	136,8
Июнь	141,4	130,9	140,3
Июль	139,4	131,4	135,3
Август	134,3	129,3	134,0
Сентябрь	134,7	132,5	133,7
Октябрь	134,6	135,6	134,9
Ноябрь	136,3	134,7	135,3
Декабрь	141,6	138,2	142,7
Итого	1626,6	1593,4	1645,4

На основе проведенных данных:

1) определите характер общей тенденции динамики реализации кондитерских изделий;

2) применяя соответствующую формулу индекса сезонности, измерьте сезонные колебания реализации кондитерских изделий;

3) показатели сезонной волны изобразите графически;

4) на основе синтезированной модели сезонной волны сделайте прогноз объемов реализации по месяцам 2005 года возможного поступления в магазины 1700 тонн кондитерских изделий.

 

Решение:

Определим характер общей тенденции ряда динамики реализации кондитерских изделий:

Таблица А

год	среднемесячный уровень, тонн	базисные темпы роста, %
	1626,6:12=135,55
	1593,4:12=132,78	97,95
	1645,4:12=137,12	101,15

Определенной закономерности здесь не выявляется, так как на основании базисных темпов роста можно сказать, что реализация кондитерских изделий в 2009 г. по сравнению с 2008 г. падает на 2,05% (97,95%-100%), а в 2010 г. по сравнению с 2009 г. возрастает на 1,15% (101,15%-100%).

Показатель среднегодового темпа роста также свидетельствует об отсутствии значительной тенденции роста, исчисленный по следующей формуле:

или 100,57%.

 

Средний темп прироста =0,57%.

Основная тенденция развития непосредственно не просматривается.

Следовательно, для дальнейшего решения суммируются данные по месяцам за три года (из таблицы А):

для января 131,8+132,1+137,3=401,2

для февраля 127,9+130,8+132,2=390,9

для марта 128,9+133,0+142,0=403,9

и т.д.

Затем по формуле простой средней арифметической = , которая является постоянной для каждого месяца, находим среднее значение реализации кондитерских изделий за каждый месяц в среднем за три года:

 

для января = =133,73 тонн

для февраля _февр = 130,30 тонн и т.д.

Для каждого месяца эти значения определены в графе 2 таблицы Б.

 

В последней строке графы 1 определен знаменатель формулы индекса сезонности в виде общего для всего ряда динамики среднего уровня , также по формуле средней арифметической простой:

 

тонн

Таблица Б

месяцы	всего за 3 года, тонн	в среднем за 3 года, тонн =	индекс сезонности, % I = (: )* 100%	прогноз на 2007 г., тонн
А
Январь	401,2	133,73	99,0	141,7*0,99=140,3
Февраль	390,9	130,30	96,4	136,6
Март	403,9	134,63	99,6	141,1
Апрель	416,2	138,73	102,7	145,5
Май	402,1	134,03	99,2	140,6
Июнь	412,6	137,53	101,8	144,3
Июль	406,1	135,37	101,2	143,4
Август	397,6	132,53	98,1	139,0
Сентябрь	400,9	133,63	98,9	140,1
Октябрь	405,1	135,03	99,9	141,6
Ноябрь	406,3	135,43	100,2	142,0
Декабрь	422,5	140,83	104,2	147,7
Итого	4865,4	1621,77	100,0	1700,0

Этот общий средний уровень () и используется в качестве постоянной базы сравнения при определении средних индексов сезонности, которые помещены в графе 3 таблицы 3:

и т.д.

Из графы 3 таблицы 3 видно, что сезонные колебания реализации кондитерских изделий характеризуются повышением реализации в декабре (+4,2%), апреле (+2,7%), июне (+1,8), июле (+1,2), ноябре (+0,2) и снижены в других месяцах.

 

Характер сезонных колебаний покажем на графике сезонной волны реализации кондитерских изделий в магазинах области в 2008-2010 годах по месяцам (в % к среднему уровню, который составляет 100%):

 

 

На графике видно, что наибольшая реализация кондитерских изделий приходится на апрель, июнь, июль, ноябрь и декабрь, а наименьшая реализация – на февраль и август, что подтверждает выполненные аналитические расчеты.

Эта же тенденция в реализации кондитерских изделий сохранится и на предстоящий период, т.е. на 2011 год.

 

Мерой сезонной колеблемости является среднее квадратическое отклонение (σ), расчет которого произведен в таблице В:

Таблица В

месяц	в среднем за 3 года, тонн ()	отклонение от среднего, тонн -	квадрат отклонения
январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь	133,7 130,3 134,6 138,7 134,0 137,5 135,4 132,5 133,6 135,0 135,4 140,8	-1,3 -4,7 -0,4 +3,7 -1,0 +2,5 +0,4 -2,5 -1,4 +0,4 +5,8	1,69 22,09 0,16 13,69 1,00 6,25 0,16 6,25 1,96 0,16 33,64
итого	1621,77	-	87,05
в среднем	135,14 135,0	-	7,25

 

тонн.

 

Коэффициент сезонной колеблемости (V_S) определяется по формуле:

На основе значений сезонной волны по месяцам сделаем прогноз поступления в магазин кондитерских изделий по месяцам 2011 года, если общий объем реализации за весь год составит 1700 тонн.

 

Для этого найдем сначала средний месячный объем реализации:

тонн.

Чтобы определить или дать прогноз объемов реализации кондитерских изделий на каждый месяц, необходимо полученную сумму 141,7 тонн умножить на значения соответствующих индексов сезонности для каждого месяца:

для января - 141,7 * 0,99 = 140,3 т;

для февраля - 141,7 * 0,964 = 136,6 т

и т.д.

 

Указанные расчеты помещены в графе 4 таблицы Б, причем общая сумма реализации за все 12 месяцев равна исходной сумме 1700 тонн, что свидетельствует о правильности проведенных расчетов.

 

7.7. Задания для самостоятельной работы

Задача 1.

Товарные запасы потребительского общества составили:

на 1 января 2960 тыс. руб.

на 1 февраля 3100 тыс. руб.

на 1 марта 3320 тыс. руб.

на 1 апреля 3400 тыс. руб.

на 1 мая 3550 тыс. руб.

на 1 июня 3600 тыс. руб.

на 1 июля 3680 тыс. руб.

 

Определите:

1. вид динамического ряда;

2. средние товарные запасы за I квартал, за II квартал, за полугодие.

 

Задача 2.

Оборот розничной торговли открытого акционерного общества «Звезда» составил, тыс. руб.:

январь 3700

февраль 3940

март 4040

апрель 4310

май 4540

июнь 4830

 

Определите:

1. вид динамического ряда;

2. оборот розничной торговли за I квартал, за II квартал, за полугодие;

3. среднемесячный оборот розничной торговли за I квартал, за II квартал, за полугодие.

 

Задача 3.

Выпуск продукции хлебозаводом характеризуется следующими данными:

Хлеб пшеничный 2006 г. 2007 г. 2008 г. 2009 г. 2010 г.

(тонн): 548 584 565 622 657

 

Определитецепные показатели динамики:

1. абсолютный прирост

2. темпы роста

3. темпы прироста

4. абсолютное значение 1% прироста

5. темп наращивания.

Решение оформите в таблице.

 

Задача 4.

Определитенедостающие показатели в таблице:

годы	продажа холодильников, шт.	абсолютный прирост, шт.	цепные темпы, %
роста	прироста
		-	100,0	-
		+43
			103,5
				+5,4
		-24

 

Задача 5.

Заготовка лекарственно-технического сырья заготовительным пунктом характеризуется следующими показателями:

 

Г. 2007 г. 2008 г. 2009 г. 2010 г.

цепные коэффициенты 1,0 1,05 1,01 0,95 1,08

роста (Т_р.цепн.)

Определите, как изменился объем заготовок лекарственно-технического сырья в 2010 г. по сравнению с 2006 г.

Задача 6.

Динамика розничных цен на товары народного потребления в первом квартале 2010 г. по Российской Федерации характеризуется следующими темпами прироста в процентах к предыдущему месяцу:

Январь Февраль Март

Т_р.цепн. +8,5 +4,1 +2,8

 

Определите:

1. базисный темп роста цен в марте к декабрю 2004 года;

2. среднемесячный темп прироста цен с января по март 2005 г.

Задача 7.

Произведите сглаживание данных о добыче нефти способом трехмесячной скользящей средней по данным, приведенным в таблице:

 

месяц	добыча нефти, тыс. тонн	трехмесячный подвижной итог, тыс.тонн	трехмесячная подвижная средняя, тыс. тонн
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь

 

Задача 8.

Закупки картофеля районным потребительским обществом составили:

Г. 2008 г. 2009 г. 2010 г.

33 тонны 27 тонн 25 тонн 45 тонн

Рассчитайте, приняв за базу сравнения 2007 год:

а) абсолютный прирост;

б) темпы роста;

в) темпы прироста.

Решение оформите в таблице.

Задача 9.

Вычислитеиндексы сезонности производства молока по данным таблицы:

 

месяц	производство молока, центнеров	индексы сезонности, %
2008 г.	2009 г.	2010 г.	в среднем за 3 года
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
Итого:
В среднем

 

Изобразитесезонную волну производства молока графически.

 

Задача 10.

Объем производства хлеба на хлебозаводе составил в 2009 году 678 тонн, в 20010году он возрос на 22 тонны.

Определите:

1. объем производства хлеба в 2010 году;

2. абсолютный прирост объема производства хлеба в 2010 году;

3. темп роста объема производства хлеба в 2010 году;

4. темп прироста объема производства хлеба в 2010 году.

 

Задача 11.

На кондитерской фабрике в 2009 году было произведено 240 тонн кондитерских изделий. В 2010 году производство кондитерских изделий возросло на 8,6 %

Определите:

1. объём производства кондитерских изделий в 2006 году;

2. абсолютный прирост;

3. темп роста объёма производства кондитерских изделий в 2006 году

4. темп прироста объёма производства кондитерский изделий в 2006 году.

 

Задача 12.

Продажа синтетических моющих средств в торговом предприятии характеризуется следующими данными, тонн:

 

Рассчитайте предполагаемую продажу моющих средств в 2011 году, т. е. произведите экстраполяцию динамического ряда, используя среднегодовой темп роста.

 

Задача 13.

Имеются следующие данные о численности населения и производстве мёда в России:

показатель
численность населения на начало года, млн.чел.	168,4	159,9	158,4	156,7	155,8	154,4	153,6
производство меда, тыс.тонн	62,3	56.1	59,9	60,7	61,3	61,9	62,1

Определите:

1. среднюю численность населения за каждый год;

2. производный ряд динамики производства мёда на душу населения для каждого года, кг;

3. средние уровни рядов динамики.

Задача 14..

Списочная численность работников фирмы в 2010 году составила: на 1 января – 530 человек, на 1 апреля – 570 человек, на 1 июля – 520 человек, на 1 октября – 430 человек, а на 1 января 2011 года – 550 человек.

Вычислите среднегодовую численность работников фирмы за 2010год.

 

Задача 15.

Имеются следующие данные об активах коммерческого банка в одном из регионов Российской Федерации за 2010 год на первое число каждого месяца (млн. руб.):

январь

февраль