Экстраполяция временных рядов

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Сущность экстраполяции

Методы экстраполяции тенденций в развитии экономических процессов являются, пожалуй, наиболее часто применяемыми среди всей совокупности методов прогнозирования. В общем случае под экстраполяцией принято понимать распространение (возможно, с преобразованиями, осуществляемыми посредством формальных методов) количественных характеристик каких-либо объектов или процессов, наблюдаемых в определенных временных, пространственных либо других границах за эти границы. Формально это означает, что значения некоторой функции определяются за границей области ее определения.

В экономических прогнозных расчетах использование экстраполяции имеет в своей основе предположение о том, что рассматриваемый процесс изменения прогнозируемой переменной представляет собой сочетание двух составляющих: регулярной и случайной:

(2.1)

Считается, что регулярная составляющая представляет собой гладкую функцию от аргумента, в качестве которого обычно рассматривается время. Функция определяется с точностью до неизвестного вектора параметров , который остается неизменным на периоде упреждения прогноза. Эту составляющую называют трендом, или уровнем детерминированной основы процесса, или основной тенденцией. Под всеми этими терминами понимается интуитивное представление о какой-то «очищенной» от случайных колебаний закономерности анализируемого процесса. Интуитивное – потому, что для большинства экономических процессов нельзя однозначно отделить тренд от случайной составляющей. Все зависит от того, какую цель преследует подобное разделение, и с какой точностью его хотят осуществить.

Случайная составляющая обычно считается ненаблюдаемым некоррелированным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. Его оценки получаются только после построения модели и в дальнейшем используются для определения интервальных характеристик точности прогноза.

Успех применения эктраполяционных методов прогнозирования в значительной степени зависит от выбора наилучшего в некотором смысле описания (вида) тренда.

 

Метод наименьших квадратов (МНК)

Простейшую экстраполяционную модель, отражающую взаимосвязь прогнозируемого показателя с некоторой переменной, формирующей динамику этого показателя, можно записать в виде

, (2.21)

где – значение -го наблюдения прогнозируемого показателя;

– значение переменой, формирующей динамику показателя в момент времени (для трендовых моделей, являющихся частным случаем экстраполяционных, );

– вектор неизвестных параметров, оцениваемых по данным временного ряда;

– функция, определяющая структуру трендовой модели (линейную, степенную и т.п.);

– ненаблюдаемая случайная величина, представляющая собой ту часть вариации показателя , которая не объясняется соответствующими изменениями переменной .

Чем ниже уровень вариаций около 0 возможных значений случайной величины , тем точнее модель отражает взаимодействие переменной с прогнозируемым показателем , т.е. параметры модели должны подбираться таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений (случайных составляющих )

. (2.22)

В общем случае поиск оптимальных параметров сводится к решению нелинейной экстремальной задачи. Обычно рассматривают линейный случай

(2.23)

который значительно упрощает решение этой задачи.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к случаю построения линейного тренда. Для этого случая (2.22) перепишется в виде

(2.24)

Применяя дифференциальное исчисление для минимизации (2.24) и дифференцируя по и , получаем систему линейных уравнений

(2.25)

Разделив левую и правую части этой системы на число наблюдений и произведя замену:

; ; ; ,

перепишем систему (2.25) в виде

(2.26)

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ

Множественная регрессия

Основные понятия регрессионного анализа

Рассмотренные в предыдущем разделе экстраполяционные модели иногда называют наивными в силу того, что в них не учитывается взаимодействие экономических показателей друг с другом. В реальности значение любого экономического показателя зависит от такого большого количества факторов, которое невозможно учесть при построении прогнозных моделей. Но в этом и нет необходимости, поскольку лишь ограниченное количество таких факторов существенно воздействует на моделируемый показатель. Доля влияния остальных столь незначительна, что их воздействием можно пренебречь без особого искажения реальной зависимости. Модели с ограниченным числом доминирующих факторов создают реальные предпосылки для их применения в анализе, прогнозировании и управлении в различных экономических ситуациях.

Экономистами было исследовано достаточно большое число устоявшихся связей между различными показателями, которые пытаются использовать в задачах обоснования социально-экономических прогнозов. Однако даже устоявшиеся зависимости в одних и тех же ситуациях могут проявляться по-разному. В этой неоднозначности и состоит принципиальное отличие зависимостей между экономическими показателями от строгих функциональных зависимостей, используемых в естественных науках. Подобная неоднозначность объясняется целым рядом причин, в частности, тем, что, во-первых, при анализе влияние одной переменной на другую не учитывается ряд других факторов; во-вторых, это влияние может быть не прямым, а проявляться через цепочку других факторов; в-третьих, многие такие воздействия носят случайный характер и т.д. Поэтому в экономике принято рассматривать не функциональные, а статистические (корреляционные и регрессионные) зависимости.

Корреляционная зависимость устанавливается в тех случаях, когда переменные и считаются равноценными в том смысле, что они не подразделяются на независимую (причину) и зависимую (следствие). При решении прогнозных задач самостоятельной роли корреляционный анализ не играет и чаще всего используется как инструмент отбора значимых факторов.

Регрессионная зависимость определяется в тех случаях, когда одна из переменных классифицируется как независимая (объясняющая), а другая – как зависимая (объясняемая). Изменение первой из них служит причиной для изменения второй. Например, рост доходов ведет к увеличению потребления, рост цены – к снижению спроса, снижение процентной ставки – к увеличению инвестиций и т.д. Однако такая зависимость является неоднозначной в том смысле, что каждому конкретному значению объясняющей переменной соответствует не одно, а множество значений объясняемой переменной из некоторой области. Другими словами, в данном случае каждому конкретному значению объясняющей переменной соответствует некоторое вероятностное распределение зависимой переменной. Поэтому целесообразно строить прогнозы с учетом того, что объясняющая переменная влияет на зависимую переменную «в среднем». Зависимость такого типа принято записывать в виде соотношения

, (3.1)

называемого функцией регрессии на . Таким образом, под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющей переменной и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной.

Пытаясь отразить тот факт, что реальные зависимости не всегда совпадают с ее условным математическим ожиданием и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной, в рассмотрение вводится случайная составляющая , с помощью которой зависимость между объясняющей и объясняемой переменной записывается в виде соотношения

, (3.2)

называемого регрессионной моделью (уравнением).

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Сущность экстраполяции

Методы экстраполяции тенденций в развитии экономических процессов являются, пожалуй, наиболее часто применяемыми среди всей совокупности методов прогнозирования. В общем случае под экстраполяцией принято понимать распространение (возможно, с преобразованиями, осуществляемыми посредством формальных методов) количественных характеристик каких-либо объектов или процессов, наблюдаемых в определенных временных, пространственных либо других границах за эти границы. Формально это означает, что значения некоторой функции определяются за границей области ее определения.

В экономических прогнозных расчетах использование экстраполяции имеет в своей основе предположение о том, что рассматриваемый процесс изменения прогнозируемой переменной представляет собой сочетание двух составляющих: регулярной и случайной:

(2.1)

Считается, что регулярная составляющая представляет собой гладкую функцию от аргумента, в качестве которого обычно рассматривается время. Функция определяется с точностью до неизвестного вектора параметров , который остается неизменным на периоде упреждения прогноза. Эту составляющую называют трендом, или уровнем детерминированной основы процесса, или основной тенденцией. Под всеми этими терминами понимается интуитивное представление о какой-то «очищенной» от случайных колебаний закономерности анализируемого процесса. Интуитивное – потому, что для большинства экономических процессов нельзя однозначно отделить тренд от случайной составляющей. Все зависит от того, какую цель преследует подобное разделение, и с какой точностью его хотят осуществить.

Случайная составляющая обычно считается ненаблюдаемым некоррелированным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. Его оценки получаются только после построения модели и в дальнейшем используются для определения интервальных характеристик точности прогноза.

Успех применения эктраполяционных методов прогнозирования в значительной степени зависит от выбора наилучшего в некотором смысле описания (вида) тренда.