Расчет показателей вариации стажа работы продавцов

стаж работы, лет	число продавцов, чел.(f)	середина интервала (x )	отклонение варианты от средней ()
0-3		1,5	-5,0	25,0	150,0
3-6		4,5	-2,0	4,0	28,0
6-9		7,5	+1,0	1,0	10,0
9-12		10,5	+4,0	16,0	80,0
12-15		13,5	+7,0	49,0	98,0
Итого:		-	-	-	366,0

Вычисляем средний стаж работы:

 

= = = = 6,5 лет

Вычисляем дисперсию:

Следует иметь в виду, что дисперсия – безмерная величина и самостоятельного экономического значения не имеет. Дисперсия необходима для расчета среднего квадратического отклонения. В данном случае среднее квадратическое отклонение равно:

года.

Среднее квадратическое отклонение показывает, что в среднем варианты

отклоняются от средней арифметической ( = 6,5) на 3,5 года при колеблемости стажа работы отдельных работников от 0 до 15 лет.

Для характеристики степени колеблемости признака необходимо среднее квадратическое отклонение выразить в процентах к средней арифметической, т.е. вычислить коэффициент вариации (V):

.

Коэффициент вариации свидетельствует о том, что колеблемость стажа работы продавцов весьма значительна и неоднородна.

5.7.4. Определите первый и третий квартили интервального ряда по данным о содержании бракованных товаров в поступившей в магазин партии товара:

бракованные товары, % (х)	число образцов (f)	накопленная частота S	середина интервала x	x f
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого		-	-

Решение:

Первый и третий квартили имеющегося ряда определяем по формулам:

= 14+2 = 14,3%;

= 18+2 =18,0%.

Следовательно, в ряду распределения по данным о бракованных товарах в поступившей партии товара в магазин первый квартиль составляет 14,3%, а третий – 18,0%, т.е. 25% товаров содержат брак, не превышающий 14,3%, а у 75% товаров процент брака не превышает 18%.

 

5.7.5. Определите 1-й и 9-й децили интервального ряда по данным о содержании влаги в поступившей в магазин партии товара:

влажность, % (х)	число образцов (f)	накопленная частота S	середина интервала x	x f
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого		-	-

 

Решение:

Первый и девятый децили данных таблицы определяем по формулам:

= 12+2 = 13%;

= 20+2 =20%.

Таким образом, значения децилей указывают на то, что среди 10% партии товара с минимальным процентом влажности максимальный процент ее составляет 13%, а среди 10% партии товара с наибольшим процентом влажности минимальный процент ее составил 20%, т.е. в 1,54 раза больше.

 

5.7.6. Имеются данные о времени работы (лет) 24 рабочих в цехе завода:

Стаж рабочих в данном цехе (лет): 4; 3; 6; 4; 4; 2; 3; 5; 4; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 5; 2; 3; 6; 5; 4; 2; 4; 3.

Требуется:

1. построить дискретный ряд распределения,

2. дать графическое изображение ряда,

3. вычислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения.

Решение:

1. Дискретный ряд распределения стажа рабочих в цехе завода:

Время работы (лет), (х)	число рабочих, (f)	накопленная частота, (S)
итого		-

 

2. Представим графическое изображение построенного дискретного вариационного ряда распределения рабочих по времени работы в цехе в виде полигона частот:

 

	Годы,

 

 

Полигон частот замыкается, для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе (в данном случае х = 1 и х = 7).

3. К показателям центра распределения относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

 

Средняя арифметическая ()определяется по следующей формуле:

лет.

 

Мода (М₀) = 4 годам (4 года встречается 9 раз, т.е. это наибольшая частота f).

Для определения медианы необходимо определить номер интервала, в котором она находится:

N_Ме = ;

Медиана (М_е) = 4 годам (так как номера 12 и 13 соответствуют 4 годам).

К показателям вариации относятся: размах вариации (R), среднее линейное отклонение (), дисперсия (σ²), среднее квадратическое отклонение (σ), коэффициент вариации (V).

- размах вариации определяем по формуле:

 

R = X_max – X_min = 6 – 2 = 4 года

 

- для определения среднего линейного отклонения и других показателей вариации построим дополнительную таблицу вычислений:

количество отработанных лет (х)	число рабочих (f)
		-1,8 -0,8 +0,2 +1,2 +2,2	7,2 4,0 1,8 4,8 4,4	12,96 3,20 0,36 5,76 9,68
итого			22,2	31,96

 

лет

 

 

лет

 

Следовательно, индивидуальные значения отличаются в среднем от средней арифметической на 1,15 года, или на 30,3%.

Среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное отклонение ( > ) в соответствии со свойствами мажорантности средних величин.

Значение коэффициента вариации (V = 30,3%) свидетельствует о том, что совокупность достаточно однородна.

Как видно из построенного ранее полигона вариационного ряда распределение рабочих цеха по времени их работы в цехе несимметрично, поэтому определяется показатель асимметрии:

Следовательно, асимметрия левосторонняя, незначительная.

5.7.7. Распределение работников производственного предприятия по размеру месячной заработной платы следующее:

месячная заработная плата, тыс.руб.	до 15,0	15,0-16,0	16,0-17,0	17,0-18,0	18,0-19,0	19,0 и более	итого
число работников

Определите коэффициент децильной дифференциации.

Сформулируйте вывод.

 

Решение:

Коэффициент децильной дифференциации определяется по формуле:

Для этого определяем место децилей:

;

Для расчета численных значений децилей определяем интервалы, в которых они находятся, для чего исчисляем накопленные частоты и результаты записываем в таблицу:

месячная заработ-ная плата,тыс.руб.	до 15,0	15,0-16,0	16,0-17,0	17,0-18,0	18,0-19,0	19,0 и более
число работников (нарастающим итогом)

 

Из таблицы видно, что первая дециль находится в интервале 15,0 - 16,0, девятая дециль находится в интервале 18,0 – 19,0.

Вычислим числовые значения децилей:

тыс.руб. или 15292,1 руб.

тыс.руб. или 18461,5 руб.

=

Следовательно, наименьший размер месячной заработной платы 10% наиболее обеспеченных работников в 1,21 раза выше наивысшего размера месячной заработной платы 10% наименее обеспеченных работников.

 

5.7.8. Имеются следующие данные о возрастном составе работников предприятий потребительской кооперации N - района (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

Для анализа распределения работников предприятий потребительской кооперации по возрасту требуется:

1. построить интервальный ряд распределения;

2. исчислить показатели центра распределения, показатели вариации и формы распределения;

3. сформулировать выводы.

Решение:

1. Величина интервала группировки определяется по формуле:

года

n (количество интервалов)– мы принимаем равным 7.

 

Полученный интервальный ряд распределения представим в таблице:

группы работников по возрасту (лет), х	число рабочих, f	накопленная частота, S
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39
итого		-

2. Рассчитываем показатели центра распределения (, Мо, Ме):

 

года,

где: - среднее значение признака в интервале (центр каждого интервала).

Для определения численного значения моды (Мо) по нашему интервальному ряду определим, что она находится в интервале 27-30 лет, так как наибольшее число работников (f = 10) находится в этом интервале.

Значение моды определяется по формуле:

 

Мо = х₀ + i =

 

= года.

Для определения численного значения медианы (Ме) также сначала определяем интервал, в котором она находится:

 

Медианным является также интервал 27-30 лет, так как в этом интервале находятся номера 15 и 16 ряда.

 

= года.

 

Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу:

группы работников по возрас-ту, лет	центр интервала, (лет),	f
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39	19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 34,5 37,5		19,5 67,5 153,0 285,0 157,5 103,5 75,0	-9,2 -6,2 -3,2 -0,2 2,8 5,8 8,8	9,2 18,6 19,2 20,0 14,0 17,4 17,6	84,64 38,44 10,24 0,04 7,84 33,64 77,44	84,64 115,32 61,44 0,40 39,20 100,92 154,88
итого	-		861,0	-	116,0	-	556,80

 

года

 

года

 

.

Следовательно, вариация возраста у работников предприятий потребительской кооперации не является значительной, что подтверждает достаточную однородность совокупности.

Показатель асимметрии распределения работников по возрасту определяем по формуле:

.

Следовательно, асимметрия правосторонняя, незначительная.

При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение:

Мо < Ме <

Для данного распределения это соотношение выполняется, т.е.

28,3 < 28,6 < 28,7.

Для имеющегося распределения, учитывая незначительную асимметрию, определяем показатель эксцесса (островершинности):

, где:

М₄ – центральный момент четвертого порядка,

σ^{4 -} среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.

= =

.

Отрицательное значение эксцесса свидетельствует о плосковершинности данного распределения.

 

5.8. Задания для самостоятельной работы

Задача 1.

На основе группировки магазинов по размерам оборота розничной торговли за квартал определите:

· средний размер оборота 1-го магазина;

· среднее квадратическое отклонение;

· коэффициент вариации.

 

группы магазинов по величине оборота розничной торговли, тыс. руб.	число магазинов
до 150
150,1-200
200,1-400
400,1-500
cвыше 500,1

 

Решение оформите в таблице.

 

Задача 2.

Распределение подростковой преступности по одной из областей Российской Федерации за 1-ое полугодие 2010 г.:

возраст правонарушителей, лет											Итого:
количество правонарушений

 

Определите показатели вариации:

а) размах;

б) среднее линейное отклонение;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) относительный размах вариации;

д) относительное линейное отклонение.

Оцените количественную однородность совокупности.

 

Задача 3.

Распределение числа слов в телеграмме в двух почтовых отделениях характеризуется следующими данными:

количество слов в телеграмме	почтовое отделение (число телеграмм)
А	Б
Итого:

Определите для каждого почтового отделения:

а) среднее число слов в одной телеграмме;

б) среднее линейное отклонение;

в) линейный коэффициент вариации;

г) сравните вариацию числа слов в телеграмме.

 

Задача 4.

Распределение длины пробега автофургона торговой фирмы характеризуется следующими данными:

длина пробега за 1 рейс, км	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80 и выше	Итого:
число рейсов за 1 месяц

Определите:

а) среднюю длину пробега за 1 рейс;

б) среднее квадратическое отклонение;

в) коэффициент вариации.

Оцените количественную однородность совокупности.

Задача 5.

Распределение численности безработных по возрастным группам в N-м регионе за 2008-2010 г. характеризуется следующими данными:

возраст безработных, лет	в % к общей численности безработных
до 20	7,9	8,6
20-24	18,3	17,7
25-29	13,3	12,4
30-34	12,0	12,0
35-39	14,7	13,0
40-44	13,0	13,8
45-49	10,5	10,7
50-54	5,4	6,7
55-59	3,1	2,6
60-72	1,8	2,5
Итого:	100,0	100,0

Определите:

а) для каждого года средний возраст безработного;

б) среднее квадратическое отклонение;

в) коэффициент вариации.

Сравните вариацию возраста безработных за два года.

 

Задача 6.

Распределение коммерческих банков по размеру активов характеризуется следующими данными:

размер активов, млн. руб.	до 200	200-300	300-400	400-500	500-600	600 и более	Итого:
удельный вес банков, % к итогу

Определите общую дисперсию двумя способами:

а) обычным;

б) по способу моментов.

 

Задача 7.

Товарооборот по предприятию общественного питания одного работника за квартал характеризуется следующими данными:

 

предприятие	товарооборот в расчете на одного работника, млн. руб.	дисперсия товарооборота в группе
столовые		3,29
кафе, закусочные		36,00
рестораны		9,00

Определитепо каждому предприятию: коэффициент вариации и сравните вариацию товарооборота общественного питания в названных предприятиях. Сделайте выводы.

 

Задача 8.

Средняя величина признака в совокупности равна 20, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака – 400.

Определитекоэффициент вариации.

 

Задача 9.

Удельный вес основных рабочих в трех цехах предприятия составил: 80, 75 и 90% общей численности рабочих.

Определитедисперсию и среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом, если численность всех рабочих трех цехов составила соответственно 100, 200 и 150 человек.

Задача 10.

Дисперсия признака равна 360000, коэффициент вариации равен 50%.

Чему равна средняя величина признака?

 

Задача 11.

При проверке партии электроламп из 1000 штук 30 штук оказались бракованными.

Определитедисперсию и среднее квадратическое отклонение.

 

Задача 12.

Распределение рабочих предприятия по размеру месячного дохода следующее:

месячный доход, руб.	24200-24500	24500-24800	24800-25100	25100-25400	25400 и более	Итого:
число рабочих

Определитекоэффициент квартильной дифференциации.

Сформулируйте вывод.

Задача 13.

Имеются следующие данные о распределении продовольственных магазинов региона по размеру товарооборота за месяц:

 

группы магазинов по товарообороту, млн. руб.	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140
число магазинов

Требуетсявычислить средний месячный размер товарооборота магазинов региона, дисперсию и коэффициент вариации.

 

Задача 14.

Средняя величина признака в совокупности равна 13, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака равен 174.

Определитекоэффициент вариации.

 

Задача 15.

Выходной контроль качества поступающих комплектующих изделий дал следующие результаты:

№ партии изделий
процент брака

Вычислите дисперсию доли брака по каждой поступившей партии.

 

Задача 16.

Распределение рабочих двух участков по стажу работы следующее:

стаж работы, лет	число рабочих
участок №1	участок №2
0-5
5-10
10-15
15-20

Определите, на каком участке состав рабочих по стажу работы более однороден.

 

Задача 17.

По данным Госкомстата РФ численность занятых в экономике по возрасту в 2010 г. распределилась следующим образом:

возраст, лет	До 20	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59	60-72	Итого
% к общей численности занятых в экономике	1,5	9,2	11,5	11,6	15,3	17,0	15,4	10,7	3,6	4,2	100,0

Определитемедиану, первый и третий квартили, первый и девятый децили. Объясните их содержание.

 

Задача 18.

Распределение безработных по длительности перерыва в работе N – го региона, характеризуется следующими данными:

длительность перерыва в работе, месяцев	в % к общей численности мужчин, женщин
мужчин	женщин
до 3	27,4	20,4
3-6	38,3	47,1
6-9	14,6	13,5
9-12	10,7	10,4
12 и более	9,0	8,6
Итого	100,0	100,0

Определитемедианные и квартильные значения продолжительности перерыва в работе, объясните их содержание и сделайте сравнительный анализ.

Задача 19.

Распределение коммерческих банков по величине кредитных вложений характеризуется следующими данными:

величина кредитных вложений, млн. руб.	до 200	200-400	400-600	600-800	800-1000	1000 и более	Итого
число банков

Определитеквартили и децили уровня кредитных вложений, объясните их содержание.

 

Задача 20.

Распределение населения по величине среднедушевого денежного дохода в России за 2010 г. характеризуется следующими данными:

среднедушевой доход, руб. в месяц	до 5500	5500-5750	5750-6000	6250-6500	6750-7000	7250-7500	7500-7750	7750-	св. 8000	Итого
численность населения, млн. чел.	4,5	10,5	14,3	30,1	24,7	30,7	14,9	12,8	15,9	158,4

Для оценки степени децильной дифференциации населения определите децили среднедушевого дохода. Объясните их содержание.

 

Задача 21.

Распределение фермерских хозяйств по посевной площади характеризуется следующими данными:

посевные площади, га	до 100	100-200	200-300	300-400	400-500	500 и более	итого
удельный вес хозяйств, % к итогу

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение посевных площадей, применив для расчета средней арифметической и дисперсии способ моментов.

 

Задача 22.

Распределение строительных фирм по объему инвестиций характеризуется следующими данными:

объем инвестиций, млн.руб.	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	итого
число фирм

Определите характеристики распределения:

а) среднюю величину

б) моду

в) среднее квадратическое отклонение

г) коэффициент вариации и асимметрии

д) коэффициенты квартильного и децильного отклонения.

Сделайте выводы об однородности и характере распределения строительных фирм.

Задача 23.

При исследовании трудовой активности сотрудников организации (отработано человеко-дней за год) получены средние величины и значения центральных моментов:

показатели	для мужчин	для женщин
М2 центральныемоменты М3 М4

 

Используя показатели асимметрии и эксцесса, сравните характер распределения мужчин и женщин по трудовой активности. Сделайте выводы.

____________________________________________________________________

 

 

??? ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Понятие общей и систематической вариации?

2. Виды показателей вариации и для каких целей они применяются?

3. Абсолютные показатели вариации и их исчисление?

4. Что такое среднее квадратическое отклонение и порядок его исчисления?

5. Среднее квартильное отклонение и порядок его исчисления?

6. Виды относительных показателей вариации?

7. Что такое коэффициент вариации, для каких целей он применяется и как рассчитывается?

8. Моменты в рядах распределения?

9. Начальный момент распределения и его порядок?

10. Центральный момент распределения и определение его порядка?

11. Ранговые показатели вариации: квартили, децили, процентили?

12. Средняя, мода и медиана в оценке асимметрии распределения?

13. Определение коэффициента асимметрии?

14. Показатель эксцесса распределения и определение его ошибок?

15. Понятие нормального, правостороннего и левостороннего распределения?