Структурные характеристики ряда распределения

К структурным характеристикам ряда распределения относят медиану и моду. Они не зависят от крайних значений вариантов, поэтому применяются для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.

 

4.2.1. Медиана (Me) - это значение признака, приходящееся на середину упорядоченной совокупности.

Её используют как наиболее надежный показатель типичного значения признака в неоднородной совокупности (включающей резкие отклонения от ).

Медиана находит широкое практическое применение также вследствие особого математического свойства: сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая:

 

Медиана (М_е) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Положение медианы определяется ее номером по формуле:

 

N = ,

где:

n – число единиц в совокупности.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

 

Численное значение медианы для интервального ряда определяется по формуле:

, где:

— нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

— величина интервала;

— сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится медиана;

— частота интервала, в котором находится медиана.

4.2.2. Мода (Мо) – это варианта, соответствующая наибольшей частоте или варианте, которая встречается наибольшее количество раз.

 

В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте (f) или частости.

В интервальном ряду модальный интервал определяется по наибольшей частоте, т.е. это тот интервал, который имеет наибольшую частоту, а конкретное значение моды в интервале вычисляется по формуле:

 

Мо = х₀ + i , где:

 

Х₀ –нижняя граница модального интервала,

i - величина модального интервала,

f_M , f_M , f_M - частоты (частости) модального, предмодального и послемодального интервалов.

 

Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот вариационный ряд не имеет моды.

Если две несоседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называют бимодальным; если таких вариант больше двух, то ряд – полимодальный.

 

Мода так же, как и медиана, не требует знания всех индивидуальных значений признака и поэтому может быть использована в качестве наиболее типичного значения признака в неоднородной совокупности.

 

На практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее, наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, главное из которых – точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.

 

Решение типовых задач

4.3.1. За январь имеются следующие данные о заработной плате продавцов по четырем секциям торгового дома:

 

секции	заработная плата, рублей x	количество продавцов f	фонд оплаты труда, рублей xi fi
Итого

 

Вычислитесреднюю месячную заработную плату по четырем секциям в целом.

 

Решение:

Обозначим заработную плату через x, а количество продавцов через f. Логическая формула средней величины имеет следующий вид:

 

Средняя заработная плата =

Фонд оплаты труда (ФОТ) каждой секции представляет собой произведение заработной платы на количество продавцов этой секции,

т.е. .

Чтобы определить ФОТ по всему торговому предприятию, необходимо исчислить фонды по каждой секции, затем их суммировать.

Средняя заработная плата одного продавца в целом по торговому предприятию за месяц будет равна отношению этой суммы и численности продавцов всех секций.

Так как ФОТ равен произведению варианты на частоту, то, в этом случае, для определения средней величины применяется формула средней арифметической взвешенной. Обоснованную логическую формулу выразим алгебраически через соответствующие обозначения:

 

= = , где:

 

x - ФОТ первой секции,

f₁ - численность продавцов первой секции,

x₂f₂ - ФОТ второй секции,

f₂ - численность продавцов второй секции и т.д.

 

Теперь произведем расчет средней заработной платы одного продавца по формуле средней арифметической взвешенной:

 

= = = = 25115 руб.

 

Средняя заработная плата одного продавца, рассчитанная по формуле средней арифметической взвешенной, за январь равна 25115 руб.

Какой экономический смысл заключается в формуле средней арифметической взвешенной?

В числителе вполне определенная величина: ФОТ; в знаменателе – численность всех продавцов. Отношение числителя и знаменателя дает среднюю величину. Важно подчеркнуть это обстоятельство для того, чтобы уяснить экономическую связь между реальными показателями и средней взвешенной величиной. Она связана с общим размером ФОТ: если среднюю величину 25115 руб. умножить на число продавцов 16, то должны получить общий размер фонда оплаты труда (25115*16=401840 руб.).

ФОТ – величина, которая является определяющим показателем и от которой зависят форма и величина средней величины.

 

4.3.2. По данным таблицы требуется определить средний процент студентов университета, направленных на обучение организациями:

отделение университета	всего студентов, чел.	из них, направленные на обучение организациями, %
заочное
очное
Итого

Решение:

Вариантами (х) в данном случае являются проценты направленных студентов на обучение организациями потребительской кооперации, а весами или частотами (f) – количество студентов на каждом отделении.

Средний процент направленных студентов на обучение кооперативными организациями в целом по университету равен:

 

= = = = 85%

 

 

4.3.3. За два месяца по предприятиям района имеются следующие данные:

№ предприятия	сентябрь	октябрь
численность работников	средняя месячная заработная плата, руб.	средняя месячная заработная плата, руб.	фонд заработной платы, руб.

 

Определите, за какой месяц и на сколько процентов была выше средняя месячная заработная плата работников предприятия.

Решение:

Введем условные обозначения для сентября:

f - численность работников по каждому предприятию;

x - средняя месячная заработная плата работников каждого предприятия.

Определяющий показатель – общий фонд заработной платы - .

Средняя месячная заработная плата работников предприятия за сентябрь составила:

= = = = 23473,7 руб.

 

Условные обозначения для октября следующие:

w - фонд заработной платы по каждому предприятию;

x – средняя месячная заработная плата работников каждого предприятия.

Определяющий показатель - .

Средняя заработная плата в октябре исчисляется по формуле средней гармонической взвешенной:

где: - численность работников каждого предприятия в октябре.

 

Динамика средней месячной заработной платы работников предприятий:

 

или 100,3%.

 

Следовательно, средняя месячная заработная плата работников предприятий в октябре повысилась на 0,3% по сравнению с сентябрем (100,3% - 100%).

 

4.3.4. В таблице имеются данные о дневной выработке деталей рабочими цеха (графы 1-2):

дневная выработка, шт. (х)	число рабочих (f)	среднее значение интервала (x )	произведение середины интервала на число рабочих (x f)
до 100
100-120
120-160
160 и более
Итого:		-

(в графах 3-4 данной таблицы уже выполнены предварительные расчеты для решения задачи).

 

Определите среднедневную выработку рабочих цеха.

Решение:

Так как предварительные расчеты уже сделаны в таблице, то среднедневную выработку рабочими цеха, находим по формуле средней арифметической взвешенной:

= = деталей

 

Следовательно, рабочие цеха делают в среднем 125 деталей в день.

4.3.5. Определитемоду по данным таблицы:

Распределение размеров женской обуви,

проданных в обувном отделе торгового объединения, в ноябре 2010 г.

размер женской обуви (х)	число проданных пар, % к итогу (f)
А
Итого

Решение:

По данным таблицы видно, что наибольшая частость (f =26) приходится на 36-й размер обуви.

Следовательно, мода (Мо) равна 36-му размеру, т.е. в данной совокупности именно этот размер обуви в ноябре 2010 года пользовался наибольшим спросом у женского населения.

 

4.3.6. По данным о содержании влаги в поступившей партии товара в магазин, определите моду:

 

влажность, % (х)	число образцов (f)	накопленная частота S	середина интервала x	x f
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого		-	-

Решение:

По данным таблицы, наибольшей влажностью обладают товары в интервале 14 - 16% (графа 1). Это и есть модальный интервал, величина интервала i = 2 (16 - 14), нижняя граница х = 14, частота f_Мо = 30, предмодальная частота f_Мо-1 = 20, а послемодальная частота f _Мо+1 = 25.

Модальный процент влажности в партии товара составляет:

 

Мо = х₀ + i = 14 + 2 =15,3%

 

Таким образом, в данной совокупности поступившей партии товаров наибольший процент влажности приходится на 15,3%.

4.3.7. Определите медиану интервального ряда по данным о содержании влаги в поступившей партии товара в магазин:

влажность, % (х)	число образцов (f)	накопленная частота S
А
до 14
14-16
16-18
18-20
20 и более
Итого		-

Решение:

Для определения медианы в интервальном ряду сначала находим номер медианы:

N = = 50,5%

 

Накапливаем частоты (графа 2 таблицы) и определяем, что 50,5 образцов товара приходится на интервал (16 – 18).

Точное нахождение медианы на данном интервале определим по формуле:

= 16+2 = 16%

 

Таким образом, половина (50%) партии товара имеет влажность менее 16%, и половина (50%) имеет содержание влаги в партии товара выше 16%.

 

 

4.4. Задания для самостоятельной работы

 

Задача 1.

Оборот розничной торговли предприятия в первом квартале составил: за январь – 1280 млн.руб.; за февраль – 1260 млн.руб.; за март – 1320 млн.руб.

Определите среднемесячный оборот розничной торговли предприятия.

Укажите вид применяемой средней величины.

 

Задача 2.

Вычислитесреднемесячную заработную плату рабочих по хлебозаводу в целом на основании следующих данных:

название цеха	количество рабочих, человек	среднемесячная заработная плата, руб.
хлебобулочный
кондитерский
безалкогольных напитков

 

Укажите вид применяемой средней величины, напишите ее формулу.

 

Задача 3.

Рассчитайте средний стаж работы продавцов магазина «Универмаг» на основании следующих данных:

стаж работы, лет	численность работников, чел.

 

Укажите вид применяемой средней величины, напишите ее формулу.

 

Задача 4.

Определитесредний настриг шерсти в расчете на 1 овцу на основании следующих данных по сельскохозяйственным предприятиям:

ООО «Победа»	ООО «Скат»
настриг на 1 овцу, кг	количество овец, шт	настриг на 1 овцу, кг	валовой настриг, кг

 

Укажите вид применяемых средних величин. Напишите их формулы.

 

Задача 5.

Рассчитайтесредний размер пенсии на основании следующих данных:

группы пенсионеров по размеру пенсий, рублей	число пенсионеров, человек
до 4500
4501-6000
6001-7500
7501-9000
свыше 9000

Укажите вид применяемых средних величин. Напишите их формулы.

 

Задача 6.

По данным, полученным в результате изучения спроса на женскую обувь, определитемоду и медиану:

 

Размер обуви ( х)22 22,5 23 23,5 24 24,5 25 25,5 26

Число пар (f) 10 48 157 154 182 76 93 98 57

 

Задача 7.

По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса студентов получено следующее распределение оценок по баллам:

балл оценки знаний студентов					Итого
число оценок, полученных студентами

Определите:

а) средний балл оценки знаний студентов;

б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла;

в) сделайте выводы о характере данного распределения.

 

Задача 8.

Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота характеризуется следующими данными:

товарооборот, млн. руб.	до 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25 и более	Итого
число фирм

Определите:

а) средний размер месячного товарооборота на одну фирму;

б) модальное и медианное значение месячного товарооборота;

в) сделайте выводы о характере данного распределения.

Задача 9.

Распределение предприятий по показателю затрат на 1 тыс. руб. продукции в октябре следующее:

затраты на 1 тыс. руб. продукции, руб.	число предприятий	общая стоимость продукции, тыс. руб.
600-650
650-700
700-750
750-800

Определите:

1) средний размер затрат на 1 тыс. руб. продукции по предприятиям;

2) средний объем продукции на одно предприятие.

Задача 10.

Имеются следующие данные об экспорте продукции:

вид продукции	удельный вес продукции на экспорт, %	стоимость продукции на экспорт, млн. руб.
сталь арматурная	40,0
прокат листовой	32,0

 

Определите средний удельный вес продукции на экспорт.

Задача 11.

Имеются следующие данные о квалификации рабочих двух бригад:

№ бригады

число рабочих

уровень квалификации каждого рабочего бригады (тарифный разряд)

Определите средний уровень квалификации рабочих каждой бригады.

 

Задача 12.

Продажа грузовых автомобилей КамАЗ-55111 на товарной бирже города характеризуется следующими данными:

дата торга	реализовано автомобилей, шт.	средняя цена одного автомобиля, тыс. руб.	дата торга	общая сумма выручки от реализации автомобилей, тыс. руб.	средняя цена одного автомобиля, тыс. руб.
4. 01		1200,5	3. 02		1220,0
17. 01		1180,7	9. 02		1200,5
28. 01		1160,0	20. 02		1190,0
			26. 02		1230,2

Определите, на сколько процентов изменилась средняя цена одного грузового автомобиля в феврале по сравнению с январем.

Задача 13.

Распределение автомобилей автотранспортного предприятия по величине суточного пробега за 25 сентября следующее:

 

суточный пробег автомобиля, км	до 160	160-180	180-200	200 и более
число автомобилей

Определитесредний суточный пробег одного автомобиля.

 

Задача 14.

По двум цехам имеются следующие данные о распределении рабочих по уровню месячной заработной платы за апрель:

месячная заработная плата, руб.	число рабочих	месячная заработная плата, руб.	число рабочих
цех №1	цех №2	цех №1	цех №2
18000-18400			19200-19600
18400-18800			19600-20000
18800-19200

Определите, в каком цехе и на сколько процентов была выше средняя заработная плата рабочих.

 

Задача 15.

Автобус на междугородной линии протяженностью 625 км прошел путь в прямом направлении со скоростью 68 км/ч, в обратном направлении – со скоростью 52 км/ч.

Определитесреднюю скорость сообщения за обратный рейс.

Задача 16.

Имеются следующие данные по предприятиям фирмы:

№ предприятия, входящего в фирму	I квартал	II квартал
выпуск продукции, тыс. руб.	средняя выработка на одного рабочего в день, руб.	отработано рабочими, человеко-дней	средняя выработка на одного рабочего в день, руб.
	59390,13	1540,6		1600,4
	34246,10	1421,0		1500,0
	72000,00	1600,0		1621,0
Средняя выработка на одного рабочего в день определяется путем деления общей стоимости продукции на количество отработанных человеко-дней.

Определите:

1) среднюю выработку на одного рабочего в день в целом по фирме в I и II кварталах;

2) на сколько процентов изменилась средняя выработка на одного рабочего в день во II квартале по сравнению с I кварталом;

3) среднюю выработку на одного рабочего в день по фирме за первое полугодие.

Задача 17.

По металлургическому заводу имеются следующие данные об экспорте продукции:

вид продукции	стоимость всей реализованной продукции, млн. руб.	удельный вес продукции на экспорт, %
чугун		35,5
прокат листовой		22,8

Определите средний удельный вес продукции на экспорт.

 

Задача 18.

Распределение промышленных предприятий региона по показателям затрат на 1 тыс. руб. продукции за два месяца следующее:

затраты на 1 тыс. руб. продукции, рублей	март	апрель
число предприятий	общая стоимость продукции, млн. руб.	число предприятий	средний объем продукции на одно предприятие, млн. руб.
600-650
650-700
700-750

Определите:

1) изменение (в %) среднего размера затрат на 1 тыс. руб. продукции по предприятиям региона;

2) средний объем продукции на одно предприятие в марте и в апреле.

Задача 19.

Имеются следующие данные о забастовках в Российской Федерации:

год	число организаций, на которых проходили забастовки	численность работ-ников, участвовав-ших в забастовках, тыс.чел.	количество времени, не отработанного участво-вавшими в забастовках работниками,тыс.чел.дней
		369,3	1932,2
		951,4	6171,5
		12,6	48,8

 

Рассчитайте для каждого года:

1. среднюю численность работников, участвовавших в забастовках, в расчете на одну организацию;

2. средние потери рабочего времени в расчете на одну организацию;

3. средние потери рабочего времени в расчете на одного участника забастовки.

Сформулируйте выводы.

 

Задача 20.

Имеются следующие данные по фермерским хозяйствам области:

группы хозяйств по себестоимости 1 центнера сахарной свеклы, руб.	число хозяйств	валовой сбор в среднем на 1 хозяйство, центнеров
до 22 22-24 24-26 26 и более		112,3 97,2 116,4 132,6

Определите среднюю себестоимость 1 ц свеклы в целом по фермерским хозяйствам области.

 

Задача 21.

По результатам обследования сельскохозяйственных предприятий области получены следующие данные:

группы сельскохозяйственных предприятий по среднему годовому надою молока от одной коровы, кг	число сельскохозяйственных предприятий	среднегодовое поголовье коров (на 1 сельскохозяйственное предприятие)	процент жира в молоке
до 2000 2000 – 2200 2200 – 2400 2400 и более			3,0 3,4 3,7 3,1

Определите средний надой молока и среднюю жирность на 1 корову.

 

Задача 22.

Цехом произведены бракованные детали в трех партиях:

в первой партии – 90 шт., что составило 3,0% общего числа деталей;

во второй партии- 140 шт., или 2,8%;

в третьей партии – 160 шт., или 2,0%.

Определитесредний процент бракованных деталей.

 

Задача 23.

В отделе заказов торговой фирмы занято четверо работников, имеющих 8-часовой рабочий день. Первый работник на оформление заказа в среднем затрачивает 14 минут, второй 15 минут. Третий 12 минут, а четвертый 19 минут.

Определите средние затраты времени на один заказ в целом по отделу.

 

Задача 24.

Имеются следующие данные об успеваемости студентов вуза:

номер факультета	доля отличников в общей численности студентов факультета	доля студентов в общей численности вуза
	0,09 0,06 0,15 0,11	0,20 0,43 0,08 0,29

 

Определите долю отличников в общей численности студентов.

 

 

 

 

??? ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Что такое средние величины, какова их роль и значение?

2. Какие существуют средние величины?

3. Как рассчитываются средние арифметические величины?

4. Особенности расчета средней арифметической величины по данным интервального ряда?

5. Как рассчитываются средние гармонические величины?

6. Средняя геометрическая величина и ее расчет?

7. Средняя квадратическая величина и её исчисление?

8. Средняя кубическая величина и её расчет?

9. Общая формула степенных средних величин?

10. Структурные характеристики рядов распределения?

11. Сущность моды и как она рассчитывается для вариационного ряда?

12. Особенность исчисления моды в интервальном ряду распределения?

13. Медиана, ее свойства и способ исчисления для интервального ряда?

14. Свойство мажорантности средних?

15. Что такое бимодальный и полимодальный вариационные ряды распределения?