Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность вероятности. Их свойства.

СВ – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее какое именно. Обозначается X = f (ω), где ω – элементарный исход.

СВ обозначаются прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их значения – соотв-щим строчным буквам x, y, z.

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

 

Непрерывная СВ – величина, бесконечное несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси (расход э/энергии за месяц, абсцисса точки попадания при выстреле).

СВ Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

 

Непрерывная СВ имеет непрерывную ф-ю распределения. Она задает закон распределения, который полностью характеризует СВ.

Функцией распределения СВ X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что СВ X примет значение, меньшее х: F(x)= Р(Х<х).

 

Свойства функции распределения:

1) F(x) – неубывающая функция своего аргумента: х₁<х₂, P(х₁)<P(х₂)

2) F(-∞)=1, F(+∞)=1

Теорема. Вероятность любо отдельно взятого значения непрерывной СВ равна нулю.

Следствие. Если Х – непрерывная СВ, то вероятность попадания СВ в интервал (х1;х2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым, т.е.

 

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о СВ дает плотность вероятности СВ f(х) – производная ее функции распределения. f(х)=F’(x)

 

X~F(x) P(x<X<x+∆x) = F(x+∆x) – F(x)

 

ПР хар-т плотность, с которой распределяются значения СВ в заданной точке. Кривая, изображающая ПР – кривая распределения. ПР – одна из форм закона распределения СВ.

Свойства ПР: 1. f(x)≥0; 2.

 

12. Числовые характеристики непрерывной СВ. М(Х), D(X), σ_x, их свойства.

Иногда нет необходимости СВ характеризовать полностью, т.е. задавать ее закон распределения. Достаточно указать отд-е ее числ-е параметры, хар-щие существенные черты распределения.

Среди числовых характеристик СВ можно выделить те, которые характеризуют положение СВ на числовой прямой, т.е. указывают некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения СВ:

1. Матожиданием непрерывной СВ X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интервал:

Если возможные значения принадлежат всей оси Х, то:

f(х) – плотность вероятности СВ – производная ее функции распределения. f(х)=F’(x). ПР хар-т плотность, с которой распределяются значения СВ в заданной точке.

Свойства матожидания:

1) M(C)=C

2) M(kX)=kM(X)

3) M(X±Y)=M(X)±M(Y)

4) M(XY) = M(X)M(Y)

5) M(X±C)=M(X)±C

6) M[X-M(X)]=0

2. Дисперсией непрерывной СВ называется математической ожидание квадрата ее отклонения. Дисперсия - хар-ка рассеивания (разбросанности) значения СВ около ее матожидания. Если возможные значения Х

принадлежат отрезку [a,b], то

 

Для вычисления D(X) можно использовать более удобные ф-лы:

Свойства дисперсии:

1) D(C)=C

2) D(kX)=k²D(X)

3) D(X) = M(X²) – [M(X)]²

4) D(X±Y)=D(X)±D(Y)

3. СДО:

 

4. Модой непрерывной СВ называется значение СВ, при котором плотность вероятности максимальна.

 

 

5. Медианой непрерывной СВ Х называется такое ее значение Ме, что Р(X<Me) = P (X>Ме). Для симметрич. распределения Мо, Ме и М(Х) совпадают.

6. Ассиметрия распределения – характеризует симметрию распределения относительно своего матожидания. S_k=µ₃/σ³. Для симметрии распределения все моменты нечетного порядка равны нулю. 1 - S_k>0, 2 - S_k=0, 3 - S_k<0

 

7. Эксцесс Еx= µ₄/σ⁴. 1 - E_k>0, 2 - E_k=0, 3 - E_k<0

 

 

8. Моменты непрерывной СВ

Начальным моментом порядка k СВ Х называется матожидание величины Х ^k.

Начальный момент 1го порядка равен матожиданию.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х-m_k)^k.

 

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

13. Равномерный закон распределения.

В некоторых задачах встречаются величины, о которых заранее известно, что из возможных значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, причем в пределах этого интервала все значения СВ равновероятны.

Х~R(a,b) – СВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b] и все значения она принимает с одинак. вер-тью:

f(x)		1/(b-a), a≤x≤b,
0, {x<a}U{x>b}

(b-a)c=1 → c=1/(b-a)

(кривая распределения)

Ф-я распределения СВ Х:

F(x) = P(X<x) =
F(x) =	0, x<a
(x-a)/(b-a), x?[a;b]
1, x>b

 

М(Х) = (a+b)/2

Мода Мо – любое число из [a;b]

D(X) = (b-a)²/12

Медиана Ме = (a+b)/2

Ассиметрия S_k = 0

Эксцесс Ex = -1,2 µ₄ =(b-a)⁴/80.

 

Равномерность попадания в интервал: P(α<x<β) = (β-α)(b-a)

 

Данный закон используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0.5;0.5], в ряде задач масс. обслуж-я, при статистич. моделир-и наблюдений.

14. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа. Вывод формулы вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Основные характеристики распределения. Влияние параметров M(X) и D(X) на положение и форму кривой. Правило «3σ».

НЗР наиболее часто встречается на практике. Главная особенность состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Сумма большого числа независимых СВ, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону и это будет тем точнее, чем больше величин суммируется. X~N(a,σ²)

Непрерывная СВ Х имеет НЗР (закон Гаусса) с параметрам a и σ², если ее плотность вероятности:

 

(горбик лев 1 и прав 2 – m₂>m₁, σ₁=σ₂)

(горбик выше 1 и ниже 2 - m₂=m₁, σ₁>σ₂)

 

НЗР СВ с параметрами a=0 и σ²=1, т.е. N(0;1) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной (норм).

Сложность непосредственного нахождения функции распределения СВ, имеющей НЗР, по формуле

и вероятности ее попадания на некоторый промежуток по формуле связана с тем, что интеграл от функции Гаусса является «неберущимся» в элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию - функцию Лапласа, для которой составлены таблицы.

 

Свойства функции Лапласа:

1. Ф(х) – четная, т.е. Ф(-х)=Ф(х)

2. Ф(х) – монотонно возрастающая, причем при х→+∞ Ф(х)→1 (практически можно считать, что уже при x>4 Ф(х)~4)

Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [-x;x]:

Теорема. Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

 

 

Свойства СВ, имеющую НЗР:

1. Вероятность попадания СВ Х в интервал [x₁;x₂] равна
, где

; .Вывод данной формулы:

2. Вероятность того, что отклонение СВ Х от матожидания не превысит величину ∆>0 равна P(|X-a|≤∆)=Ф(t), где t=∆/σ.

Числовые характеристики:

M(X) =a D(X) = σ² µ_S=(S-1)*σ²*µ_S-2; µ_2S+1=0 (нечетные);

, µ₂=σ²=D(X); µ₄=3σ⁴; µ₆=15σ⁶.

Ассиметрия: А₁=µ₃/σ³=0

Эксцесс А₂=µ₄/σ⁴-3=0 –крутости по сравнению с нормальным.

«Правило трех сигм»: если СВ Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ², т.е. N(a;σ²), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a-3σ; a+3σ). Нарушение данного правила, т.е. отклонение нормально распределенной СВ Х больше, чем на 3σ, является событием практически невозможным, т.к. его вероятность весьма мала:

P(|X-a|>3σ) = 1 – P(|X-a|≤3σ) = 1 – 0,9973 = 0,0027.