Интервальные оценки. Доверительные интервалы.

 

Большинство практических задач, которые решает статистика, состоит в оценивании некоторого количественного признака генеральной совокупности (совокупности объектов, явлений или процессов, из которых производится выборка). Предположим, что исследователю удалось установить, какому именно закону распределения подчиняется изучаемый количественный признак. В этом случае необходимо оценить параметры, которыми определяется предполагаемое распределение. Например, если удалось установить, что количественный признак подчиняется показательному закону распределения вероятностей, тогда необходимо оценить параметр λ, которым определяется данное распределение.

Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения – это функция от наблюдаемых случайных величин.

Существует оценка неизвестного параметра а одним числом. Такая оценка называется «точечной». Но в ряде задач требуется не только найти для параметра а подходящее значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать – к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Для этого пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра а получена несмещенная оценка . Мы хотим оценить возможную при этому ошибку. Назначим достаточно большую вероятность β (β=0,95 или 0,99) такую, что событие с вероятностью β можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε, для которого Р(| - а |<ε)=β ó P( -ε < a < +ε)=β. Это означает, что с вероятностью β неизвестное значение а попадет в интервал I_β=( -ε; +ε). При этом величина не случайна, а случайен интервал I_β (случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром I_β).

В этом случае β – доверительная вероятность, а интервал I_β – доверительный интервал. Границы интервала I_β: а₁= -ε и а₂= +ε – доверительные границы. Также доверительный интервал – интервал значений параметра а, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

 

Данные понятия мы использовали в одном из пунктов домашней контрольной работы. Нам было необходимо построить доверительные интервалы для матожидания с надежностью β=0,95 и β=0,99.

 

Но перед этим мы вычислили оценки матожидания и СДО, воспользовавшись формулами

 

 

где x_i – среднее значение границ интервала, p_i – вероятность попадания величины в интервал, n – количество результатов (объем выборки).

Для построения доверительных интервалов мы воспользовались формулой:

Где t_β=argФ*[(1+β)/2] – табличное значение, равное для заданных значений доверительной вероятности. Данная величина определяет для нормального закона число СДО, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в данный участок была равна β.

Статистические гипотезы. Основные понятия (основная и альтернативная гипотеза, критическая область, доверительная вероятность). Проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения СВ или о параметрах этого распределения, формулируемое на основе выборки.

 

Различают простую и сложную гипотезу. Простая, в отличие от сложной, однозначно определяет распред-е Р, т.е. Н: {P=P₀}, а сложная – утверждает принадлежность распределения Р к некоторому семейству распределений – Н: {P?P₀}. Примеры:

П – {P_A появления события в схеме Бернулли равна ½}

С – {P_A появления события в с.Бернулли заключена м/д 0,3 и 0,6}

Г, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называются непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

Нулевая (основная) Г – проверяемая Г. – Н₀ – утверждает, что различия между сравниваемыми хар-ками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями. Альтернативная (конкур) – Н₁ – противоречит Н₀.

 

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой СВ – критерия, точное или приближенное значение которого известно. Обозначение значения критерия: Z – функция от выборки: Z=(x₁,…,x_n).

Процедура проверки гипотезы предполагает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть Г. Тем самым, все выборочное пространство разделяется на 2 непересекающихся множества S₀ и S₁. Если значения критерия Z попадают в область S₀, Г принимается, в S₁ – отвергается, т.е.: S₀ – область принятия Г (ОДЗ); S₁ – область отклонения гипотезы (критическая).

Принятие и отклонение гипотезы соответствует истине с некоторой вероятностью, возможны 2 рода ошибок:

Гипотеза	Решение	РА	Примечание
верная	принимаем	1-α	Доверительная РА
верная	опровергаем	α	РА ошибки I рода
неверная	принимаем	β	РА ошибки II рода
неверная	отвергаем	1-β	Мощность критерия

 

Доверительная – вероятность того, что значение параметра генеральной совокупности находится в построенном для него доверительном интервале. Доверительная вероятность обычно обозначается (1-α) и выбирается из значений 0,9; 0,95; 0,99 и т.п.

Оперативная хар-ка критерия – Р_А 1-α не допустить ошибку I рода, т.е. принять гипотезу Н₀, когда она верна.

Уровень значимости – Р_А α допустить ошибку I рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она верна.

Р_А β допустить ошибку II рода, т.е. принять гипотезу Н₀, когда она неверна.

Мощность критерия – Р_А (1-β) не допустить ошибку II рода т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она неверна.

 

 

Т.к. критерий Z – одномерная СВ, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и, соответственно, должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы.

Они называются критическими.

Области – критическая область:

a) Правосторонняя – (k_кр;+∞)

b) левосторонняя – (-∞;k_кр)

c) двусторонняя (-∞;k_кр)U(k_кр;+∞)

 

# Пусть дана независимая выборка (X₁,…,X_n)~N(µ,1), где μ – неизвестный параметр. Тогда Н₀: {µ=µ₀}, где μ₀ – фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней Н₁: {µ>µ₀} – сложной.

 

 

 

27. Проверка статистических гипотез. Гипотеза о неизвестном среднем при известной дисперсии на примере нормального распределения.

Проверка статистических гипотез – см. вопрос 26.