Абсолютные показатели вариации

К абсолютным показателям вариации относятся следующие показатели:

· размах колебаний;

· среднее линейное отклонение;

· среднее квадратическое отклонение;

· дисперсия;

· квартильное отклонение;

5.1.1. Размах колебаний (размах вариации):

R = Хmax – Хmin, где:

Хmax, Хmin – соответственно максимальное и минимальное значение признака.

 

5.1.2. Среднее линейное отклонение () определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных (первичного ряда):

б) для вариационного ряда:

 

5.1.3. Дисперсия ():

 

а) для несгруппированных данных:

б) для вариационного ряда:

 

Формула для расчета дисперсии может быть преобразована:

 

,

 

т.е. дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений признака минус квадрат средней величины.

Следовательно:

 

5.1.4. Среднее квадратическое отклонение ():

а) для несгруппированных данных:

б) для вариационного ряда:

 

Среднее квадратическое отклонение по своей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством мажорантности средних.

 

5.1.5. Квартильное отклонение (d_к) применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:

d_к = , где:

Q и Q - соответственно первая и третья квартили распределения.

 

Относительные показатели вариации

Для оценки интенсивности вариации и сравнения ее в разных совокупностях, а также сравнения различных признаков совокупности применяются относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей силы вариации к средней арифметической величине (или медиане) признака и чаще всего выражаются в процентах.

Существуют следующие относительные показатели:

· относительный размах вариации или коэффициент осцилляции

· относительное линейное отклонение или коэффициент линейного отклонения

· коэффициент вариации

· относительный показатель квартильной вариации

· относительный показатель децильной вариации

 

5.2.1. Относительный размах вариации или коэффициент осцилляции:

Отражает относительную меру колеблемости крайних значений признака вокруг средней величины.

 

5.2.2. Относительное линейное отклонение или коэффициент линейного отклонения:

Отражает долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

 

5.2.3. Коэффициент вариации:

 

Отражает долю относительного квадратического отклонения от средней величины.

Коэффициент вариации – наиболее часто применяемый относительный показатель вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации (V)

не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному):

 

V < 33%

 

5.2.4. Относительный показатель квартильной вариации:

 

или

5.2.5. Относительный показатель децильной дифференциации (вариации):

* 100%

 

Он показывает, во сколько раз наименьший уровень признака из 10% единиц, имеющих наибольший уровень признака, больше наибольшего уровня признака, из 10% единиц совокупности, имеющих наименьший уровень признака.

Относительные показатели квартильной и децильной вариации также служат для характеристики однородности совокупности.

 

Моменты в рядах распределения

 

Исчисление дисперсий (σ²) сопровождено громоздкими расчетами, так как средняя величина () часто бывает выражена числом с несколькими десятичными знаками. Расчеты можно упростить, используя математические свойства дисперсии, например, расчет дисперсии по способу отсчета от условного нуля, или способу моментов.

 

Моментом распределения (Мк) называется средняя арифметическая

из отклонения значений признака Х_i от некоторой постоянной величины a

в степени k.

Порядок момента определяется величиной степени k.

 

Моменты бывают условные, начальные и центральные.

Эмпирический момент k - го порядка определяется по формуле:

 

М_к = (условный момент)

В зависимости от постоянной а различают начальные и центральные моменты.