Абсолютные показатели вариации (именованные)

I. РАЗМАХ ВАРИАЦИИ ( R )

характеризует пределы колеблемости индивидуальных значений признака статистической совокупности. Определяется как разность экстремальных значений вариационного ряда.

R=x_max-x_min

Величина размаха вариации неустойчива и зависит от случайных обстоятельств. К этому показателю прибегают в случаях необходимой приблизительной оценки колеблемости признака. Размах вариации имеет ту же размерность, что и изучаемый признак.

II. СРЕДНЕЕ ЛИНЕЙНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ( l )

есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений значний вариантов от их средней величины.

Так как S(х-х₀)=0, прибегают к модулю отклонения. Недостаток состоит в абстрагировании о знаков отклонения. Размерность среднего линейного отклонения соответствует размерности признака. Среднее линейное отклонение исчисляется как по ряду распределения, так и по неупорядоченным данным.

Формулы среднего линейного отклонения:

l=Sïx-x₀ï*f/Sf - средняя взвешенная

l=Sïx-x₀ï*f/n - средняя невзвешенная

III. ДИСПЕРСИЯ ( s² )

Средний квадрат отклонений вариантов признака от их средней арифметической.

Дисперсия измеряет вариацию признака, порождаемую всей совокупностью действующих на него факторов.

Чем меньше величина дисперсии, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку. Значение дисперсии необходимо сопоставлять со значением средней величины. Дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности признаков совокупности.

Взвешенная и невзвешенная дисперсия:

s²=S(x-x₀)²*f/Sf s²=S(x-x₀)²*f/n

Если нет ряда распределения:

s²=х²-(х)² s²=Sх²*f/Sf

IV. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ (СТАНДАРТНОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ ( s )

Есть мера колеблемости признаков совокупности.

Вычисляется как средняя квадратическая из отклонений вариантов признаков от их средней ариф метической и ли как корень из дисперсии:

s=Ö S(x-x₀)²*f/S f - взвешенная

s=ÖS(x- x₀)²*f/n - невзвешенная

s=Ös²

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и значение признака. Вместе с дисперсией этот показатель наиболее встречается для оценки количественного признака.

Пример расчета показателей вариации:

Размер торговой площади магазина, тыс. м^2 (х)	Число магазин, (f)	x*f	x-x	(x-x)^2
0,5		1,0	-2,1	4,41
1,5		12,0	-1,.1	1,21
2,5		57,5	-0,1	0,01
3,5		45,5	0,9	0,81
4,5		9,0	1,9	3,61
Итого		125,0	-	-

(x-x)^2*f	ïx-xï*f	x^2*f
8,82	4,2	0,5
9,68	8,8	18,0
0,23	2,3	143,75
10,53	11,7	159,25
7,22	3,8	40,5
36,48	30,8

x=Sx*f/Sf= 125/48=2,6 (тыс. м²)

s²= S ( x- x₀)²* f/Sf =36,48/48=0,76 (тыс. м²)

s =Ö s ²=Ö 0,76=0,87 (тыс. м²)

l=Sïx-x₀ï*f/Sf =30,8/48=0,64 (тыс. м²)

s² =х²-(х)²

x²=Sx²*f/Sf= 362/48=7,54

s²=7,54-(2,6)²=0,76

Относительные показатели вариации

Абсолютные показатели вариации, исчисленные по различным признакам совокупности неудобны для сравнительной характеристики вариантов этих признаков. Для сравнения вариантов различных признаков или одного и того же признака в разных совокупностях применяются относительные показатели вариации. Кроме того, относительные показатели вариации используются для характеристики степени однородности совокупности по изучаемому признаку, типичности и устойчивости средней.

Принципы построения относительных показателей вариации

Коэффициент вариации = Абсолютный показатель вариации (именованный)/средняя арифметическая (мода или медина - реже)

 

Наименование числителя и знаменателя при исчислении коэффициента вариации должны быть одинаковыми.

Различаются три разновидности коэффициента вариации:

 Коэффициент осцилляции

V_R=R/x*100%

Пользуются этим показателем достаточно редко в силу того, что R носит случайный, неустановленный характер.

‚ Коэффициент вариации линейный

V_l=l/x*100%

ƒ Коэффициент вариации

V_s=s/x*100%

Чаще всего коэффициент вариации показывает, какую долю или сколько процентов составляет средний показатель колеблемости по совокупности от значения средней величины.

Это позволяет судить о степени однородности совокупности по изучаемому признаку. Чем меньше значение относительного показателя вариации, тем типичнее и устойчивее средняя, и наоборот.

Если относительный показатель вариации равен нулю, то все значения признаков равны, т.е. вариация отсутствует. Если значение вариации меньше либо равно 0,3 или 30%, то колеблемость признаков совокупности слабая и средняя типична и устойчива.

Если вариация Î(0,3;0,6], то совокупность недостаточно однородна по изучаемому признаку и средняя недостаточно типична.

Если вариация больше 0,6, это говорит о неоднородности совокупности и о нетипичности средней.

Меры вариации для сгруппированных данных

Если совокупность неоднородна по изучаемому признаку прибегают к ее разбиению на однородные группы. Вариации сгруппированных данных также оцениваются дисперсией. В этом случае различают 3 вида дисперсий:

 

Œ Общая дисперсия результативного признака измеряет вариацию i-того признака под воздействием всех существенных факторов.

Пример: s²= S(x-x)²*f/Sf

 

 

 Для того чтобы измерить вариацию признака внутри отдельной группы совокупности, вычисляют частные (групповые, внутригрупповые) дисперсии. Внутригрупповая дисперсия вычисляется по формуле:

s²= S(x-x_i)²*f/Sf,

где x_i - средняя, исчисленная для i-той групп

Sf - объем i-той группы

Групповая или частная дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет всех прочих признаков, кроме факторного признака, положенного в основу группировки. В основу группировки закладывается тот признак, который оказывает наиболее сильное влияние на величину результативного признака. Для оценки величины вариации результативного признака за счет всех прочих факторов, положенных в основу группировки средней по совокупности, вычисляется средняя из групповых дисперсий, т.е. осредняется групповая дисперсия.

s²=Ss_i²*F_i/SF_i,

где s_i² - частная дисперсия i-той группы

F_i - объем i-той группы

SF_i - объем совокупности

 

Ž Межгрупповая дисперсия

Это дисперсия результативного признака за счет факторного, положенного в основу группировки. Факторный признак, являющийся основанием группировки должен быть самым весомым

d²=S(х_i-х)²*F_i/SF_i

х_i - средняя i-той группы

х - средняя по совокупности

Межгрупповая дисперсия служит мерой измерения колеблемости частных средних вокруг общей средней

Правило сложения дисперсии

s²_общ=s²+d²

s²_общ - за счет всех факторов

s² - за счет всех факторов, кроме фактора, положенного в основу груп пировки

d² - за счет фактора, положенного в основу группировки.

Общая дисперсия результативного признака = сумма средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

Зная значение s²_общ и d², т.е. общей и межгр упповой дисперсий, вычисляют корреляционное отношение: h=Öd²/s²

Корреляционное отношение ( h ) применяется для оценки степени взаимосвязи между признаками.

d²/s² - доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Коэффициент детерминации ( h²=d²/s² ) показывает долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем теснее связаны между собой факторный и результативный признаки.

1³ïhï. Чем ближе ïhï к единице, тем сильнее взаимосвязь между факторным и результативным признаками. Чем ближе ïhï к нулю, тем слабее связь между этими признаками.

Знак корреляционного отношения исследователь ставит самостоятельно, определив характер изменения признака. Если признаки меняются в одном направлении, знак h +, если в разных, то h -.

Рассмотрим некоторые случаи анализа корреляционных отношений и правила сложения дисперсии.

s²_общ= s²+d²

h=Öd²/s²

1. Если s² =0, то s²_общ=d², h= ï1ï

Это значит, что вариация результативного признака обусловлена воздействием только фактического признака, положенного в основу группировки, а вариация за счет всех прочих факторов равна нулю.

1.1.Если h =+1, связь между признаками полная прямая

1.2.Если h =-1, связь между признаками полная обратная.

2. d²= 0; s²_общ=s²

Тогда h= 0, это значит, что связь между фактическим признаком, положенным в основу группировки, и результативным признаком отсутствует, т.е. исследователь выбрал факторный признак, оказывающий наибольшее влияние на результативный.

Пример расчета показателя вариации для сгруппированных данных

Групы участков удобрений	Урожайность, ц/га	Посевная пл-дь,га			¦
Не вносили
Итого по 1 группе	-			-
Вносили
Итого по 2 группе	-			-

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)