Сущность и задачи средних величин

Средние величины представляют собой наиболее распространенную форму сводных обобщающих показателей. Они дают общую количественную характеристику массового процесса.

Характеристика типов явлений или общих условий, общих закономерностей процесса - важная задача статистики, решаемая с помощью средних величин.

Средние величины отражают средний уровень явления, достигнутый к определенному моменту времени или за определенный период. Средняя величина характеризует значение признаков совокупности одним числом, она нивелирует (сглаживает) индивидуальные различия величин внутри совокупности: средней погашаются случайные отклонения величин от основного типа.

Взаимопогашение происходит в том случае, когда берется большая масса явлений. Этим понятие средней величины связано с законом больших чисел. Средняя правильно характеризует совокупность лишь в том случае, если последняя качественно по изучаемому признаку. Средняя величина, исчисленная по достаточно большой однородной совокупности, наиболее полно отражает тип изучаемого явления. Средние величины облегчают сравнение совокупностей, обладающих различными численностями. Статистический анализ, производимый с помощью средних величин, самым тесным образом связан с методом группировок. Расчет средних величин тесно связан с качественным анализом.

Средняя величина, вычисленная для отдельной группы (части) единой статистической совокупности, называется групповой или частной средней.

Групповая средняя характеризует типичный размер признака в группе.

Совокупность групповых средних конкретизирует величину общей средней, исчисляемой для всей совокупности, и дает более детальную характеристику совокупности. Групповая средняя отражает наиболее ярко выраженные закономерности однородной совокупности.

Средняя, исчисленная для всей статистической совокупности по какому-либо признаку, называется общей средней.

Общая средняя отражает некоторые общие условия, в которых находится разнородная совокупность явления.

Виды средних аналитических

Существует несколько видов средних аналитических. Выбор конкретного вида и конкретной формулы средней зависит от условий решаемой задачи.

При расчете средних величин необходимо определить признак, по которому находится значение средней. Этот признак называется осредняемым (х).

Средние величины могут рассчитываться по сгруппированным данным (по ряду распределения) и по неупорядоченной совокупности. В зависимости от этого различают:

,взвешенные средние

,невзвешенные (простые) средние

Вес - это частота признака, то есть повторяемость в ряду распределения.

[ x ] - среднее значение признака

Все формулы средних величин можно получить из формулы степенной средней, меняя показатель степени.

Взвешенные средние	Простые средние
x=^kÖåx^kifi/åfi fi- вес или частота i-того признака xi - значение i-того признака å - объем совокупности	x=^kÖåx^ki/n n - объем совокупности
k=-1 Средняя гармоническая
x=åfi/å(fi/xi) w=xf x=åw/å(w/x) - агрегатная фарма	x=n/å(1/xi 1 – частота признака
k=0 Средняя геометрическая
x=^mÖx1f^1*x2f^2*..*xnf^n m - количество признаков совокупности	x=^mÖx1*...*xn
k=1 Средняя арифметическая
x=åxifi/åfi x=åw/åf - агрегатная форма w=xf	x=åx/n
k=2 Средняя квадратическая
x=Öåx^2f/åf	x=Öåx^2/n

Методика выбора формы средней

Большое значение в методологии исчисления средней величины имеют вопросы выбора формы средних. Рассмотрим, какую формулу средней необходимо выбрать в том или ином случае. Выбор средней опирается на логическую формулу исчисления определенного показателя.

Пример: Определить среднюю цену конфет, реализованных кондитерским магазином в течение месяца.

 

Сорт конфет	Цена 1 кг, руб. [ x ]	Объем реализации, кг/мес.[ f ]
Итого:

Логическая формула: выручка/объем реализации = Σx·f/Σf = = (22·300+23·400+...+65·250)/2450=37,37(руб./кг)

Исходные данные изменились - меняется формула

Сорт конфет	Цена 1 кг, руб. [ x ]	Объем реализации в денежном выражении (руб.)[ x·f ]
Итого:

Исходная формула остается прежней, но изменились исходные данные:

x=Σw/Σ(w/x) = 91550/(6600/22+9200/23+...+16250/65)=37,37 (w=x·f)

Сорт конфет	Выручка (руб.)[ w ]	Объем реализации, кг/мес[ f ]
Итого:

x= Σw/Σf = 91550/2450=37,37

Применение средней гармонической

Один рабочий в течение дня затрачивает на изготовление одной детали 2 минуты, второй - 8 минут, третий - 6 минут. Определить средние затраты времени на изготовление одной детали.

Средние затраты времени на 1 деталь = все время/все детали

x=n/Σ(1/x) = (1+1+1)/(1/2+1/4+1/6)=3/(19/24)=3,8 мин.

Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые вытекают из самой формулы этой величины: х=Σx·f/Σf

1. Сумма отклонений индивидуального значения признака равна нулю.

Σ(x_i-x)·f_i=0

2. Средняя постоянная величины равна самой величине

3. От уменьшения или увеличения всех вариантов осредняемой величины в a раз, величина средней уменьшается или увеличивается в а раз.

x_i*=a·x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σax_i*f_i/Σf_i=a/Σf_i·Σx_if_i=a·x

4. От уменьшения или увеличения всех значений усредненного признака на величину а их средняя уменьшается на величину а.

x_i*=a±x_i

x*=Σx_i*f_i/Σf_i=Σ(a±x_i)*f_i/Σf_i=Σx_if_i/Σf_i±Σaf_i/Σf_i=x±a

5. От увеличения или уменьшения веса каждого варианта в А раз величина средней не изменится

f_i*=f_i/A

x*=Σx_i·(f_i*/A)/(Σf_i/A)= Σx_if_i/Σf_i=x

6. Величина средней зависит не от самих абсолютных значений весов отдельных вариантов признаков, а от пропорций между ними. (Это свойство подчеркивает вклад каждого признака в значение средней).

На основании этого свойства при исчислении средних величин можно использовать можно использовать не абсолютное значение весов (частот), а их относительное значение (частость, доля, т.е. удельный вес признака в общем объеме совокупности).

p_i=f_i/Σf_i

x=(Σx_i·p_i)/100% Σp_i=100%

или

x=Σx_i·p_i Σp_i=1 (доля)

7. Средняя величина, умноженная на объем совокупности, равна сумме произведений значений признака на частоту.

Σx_i*f_i=x_iΣf_i

8. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любой другой величины.

Σ(x_i-x)²f_i<Σ(x_i-B)²f_i

Σ(x_i-x)²<Σ(x_i-B)²

Σ(x_i-B)²f_i-Σ(x_i-x)²f_i = (x_i-B)²Σf_i

Σ(x_i-B)²-Σ(x_i-x)² = n(x_i-B)²

5. Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента)

Свойства средней арифметической применяются для расчета средних упрощенным способом.

Схема расчета средней методом момента.

1) Если возможно, уменьшаются веса вариантов в А раз

2) Выбирается начало отсчета или условный нуль. За условный нуль принимают значение признака, находящееся в середине ряда распределения или вариант (интервал с наибольшей частотой)

3) Находится отклонение вариантов от условного нуля

4) Если эти отклонения имеют общий множитель, то их делят на него

5) Вычисляют условную среднюю:

x'=[{Σ(x-x₀)/k}*f]/Σf

6) Корректирует условную среднюю

x=x'*k+x₀

x' - момент первого порядка

(x-x₀)/k - измененный вариант признака

Пример: Поиск условной средней. Даны группы магазинов по размеру товарооборота (в тыс. руб. в месяц)

Группы	Середина интервала [ x ]	Количество магазинов [ f ]	x0=95 x-x0	(x-x0)/k=x'	(x-x0)/k*f
до 70			-30	-3	-45
70,1-80,0			-20	-2	-34
80,1-90,0			-10	-1	-13
90,1-100,0
100,1-110,0
110,1-120,0
120,1-130,0
130,1-140,0
свыше 140
ИТОГО	-		-	-	-12

Определить средний размер товарооборота.

x'=(Σ(x-x₀)/k)/Σf= -12/100=-0,12

x=x'*k+x₀= -0,12*10+95=93,8 (тыс. руб.)

Структурные средние (мода, медиана, дециль, квартиль)

Мода и медиана

Мода и медиана - две особые разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов. Они называются структурными средними и дают некоторое представление о структуре изучаемой совокупности.

При нормальном распределении мода, медиана и средняя совпадают по величине.

Мода и медиана, в отличие от средней, не связаны со всеми значениями признака.

Мода - значение признака наиболее часто встречающееся в ряду распределения или вариант с наибольшей частотой. Мода представляет собой наиболее типичное значение случайной величины.

Для отыскания моды в статистической совокупности необходимо знать распределение единиц совокупности по вариантам признака.

В дискретном вариационном ряду распределения мода определяется визуально, т.е. на глаз.

Оценка
количество студентов

М₀= 4 f_M0= 12

При наличии одной моды в ряду распределения распределение называется унимодальным. В ряду распределения может оказаться 2 и более моды. При этом ряд распределения называется соответственно бимодальным и мультимодальным.

Наличие нескольких мод часто означает объединение в одной совокупности разнокачественных единиц и возможность (необходимость в отдельных случаях) разделения последних на подгруппы.

Определение мод в интервальном ряду распределения

В равно интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:

M₀=x₀+d[(f_M0-f_M0-1)/{(f_M0-f_M0-1)+(f_M0-f_M0+1)}]

x₀ - нижняя граница модального интервала

d - величина интервала

f_M0 - частота модального интервала

f_M0-1 - частота интервала, предшествующий. модальному.

f_M0+1 - частота интервала, следующего за модальным

х	f
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
Итого

М₀ =5+5(22-8)/[(22-8)+(22-12)]=7,9

После произведения расчетов необходимо проверить, попала ли мода в необходимый интервал.

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированного (упорядоченного) ряда. Она делит ряд на 2 равные по объему части. По разному определяется для дискретного и интервального рядов распределения.

Определение медианы в дискретном ряду распределения

1)	Размер обуви	№ наблюдения

№_ме =(7+1)/2 Ме =37

Размер обуви	№ наблюдения

 

№_ме =(6+1)/2=3,5 Ме =(36+37)/2=36,5

2)

Оценка					Итого
Кол-тво студентов
0+6	6+8	14+10	24+7
SH					-

Для того чтобы определить медиану необходимо найти накопленные частоты S_H.

№_ме=(n+1)/2 =(31+1)/2=16 Ме =4