Тема 9. Относительные и средние величины. Показатели вариации

1. Взаимосвязь различных видов статистических показателей и величин.

2. Понятие относительных и средних величин.

3. Виды относительных величин, применяемых в правовой статистике (относительные величины интенсивности, структуры, координации (степени), динамики, выполнения плана, сравнения).

4. Понятие и виды средних величин.

5. Свойство средней величины.

6. Назначение и порядок расчета средней арифметической простой и взвешенной.

7. Порядок расчета и интерпретация средней геометрической.

8. Структурные средние (мода и медиана).

9. Задача показателей вариации.

10. Размах вариации.

11. Среднее квадратическое отклонение и дисперсия.

12. Коэффициент вариации, его расчет и интерпретация.

Виды относительных величин

Рассмотрим основные виды относительных величин, применяемых в статистике.

1. Относительные величины интенсивности - показывают уровень развития (степень распространения) изучаемого явления в определенной среде или пространстве.

2. Относительные величины структуры совокупности - показывают отношение части совокупности ко всей совокупности (т.е. долю, удельный вес, который имеет определенная часть совокупности во всей совокупности):

3. Относительные величины координации (степени) - показывают отношение различных частей совокупности к одной из её частей, выбранной в качестве базовой.

4. Относительные величины динамики - показывают, во сколько раз изменилось (увеличилось или уменьшилось) значение изучаемого показателя в текущем периоде по сравнению с некоторым предшествующим (базисным) периодом.

5. Относительные величины выполнения плана - показывают отношение в процентах фактически достигнутого значения изучаемого показателя за определенный период к его плановому значению на этот период.

6. Относительные величины сравнения - показывают отношение показателя, характеризующего определенный объект к одноименному показателю, характеризующему другой аналогичный объект.

Средние величины

Средняя величина – это обобщающий показатель, выражающий типичное значение определенного варьирующего признака изучаемой статистической совокупности.

Существуют следующие виды средних величин: арифметическая, квадратическая, гармоническая, геометрическая, структурная.

Рассмотрим некоторые из этих видов.

Средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая – исчисляется как частное от деления суммы всех вариантов изучаемого признака на число вариантов:

где

x_cp – средняя арифметическая простая;

i – текущий номер варианта;

x_i – вариант с номером i;

n – количество усредняемых вариантов.

Простая средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда у каждой единицы совокупности имеется свое значение признака, отличное от других единиц (т.е. варианты не повторяются).

Средняя арифметическая взвешенная – применяется в том случае, если изучаемая статистическая совокупность характеризуется повторяемостью вариантов признака Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

x_cр – средняя арифметическая взвешенная;

f_i - частота варианта с номером i.

 

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая – применяется для установления средних значений темпов роста (снижения) меняющихся во времени статистических показателей.

x_cр – средняя геометрическая;

n – количество усредняемых вариантов;

i – текущий номер варианта;

x_i – вариант с номером i.

Структурные средние – отражают особенности структуры наблюдаемой статистической совокупности с точки зрения распределения встречающихся вариантов изучаемого признака.

К структурным средним относятся мода и медиана.

Мода – это вариант, которому соответствует наибольшая частота в совокупости.

Имеются следующие данные о сроках расследования уголовных дел

 

Сроки расследования (мес.)		Число дел

 

Мода Mo = 2

Медиана – это тот вариант ранжированного ряда единиц совокупности, который находится в середине этого ряда.

Обозначим значения изучаемого признака (варианты) через X(i), тогда расчет медианы, производимый в два этапа, можно описать следующим образом:

Этап 1. Определение номера варианта, указывающего на медиану, производится по формуле: n = (К + 1) / 2,

где n – номер варианта, соответствующего медиане, К – общее количество имеющихся вариантов.

Этап 2. Определение значения медианы: если n - целое число, то

Me = Х(n),

(т.е. Me равна значению варианта с установленным номером);

если n – дробное число, лежащее между целыми числами у и z, то

Показатели вариации.

Основными показателями вариации являются размах вариации, а также значения средних отклонений.

Размах вариации (амплитуда вариации) - это разность между абсолютным максимальным и абсолютным минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности или разность между максимальным и минимальным вариантами вариационного ряда:

R = Xmax - Xmin

Среднее линейное отклонение:

где Хcр – средняя арифметическая совокупности (вариационного ряда);

X(i) - варианты ряда;

n - объем ряда (число вариантов);

| | - значение по абсолютной величине.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

Дисперсия:

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией:

На использовании дисперсии основаны большинство методов математической статистики. Коэффициент вариации определяется по формуле:

Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.