Средние показатели ряда динамики

Для обобщения статистических характеристик ряда динамики вычисляются их средние показатели. Они позволяют охарактеризовать изучаемое явление на данном временном промежутке одним числом. Средний уровень ряда динамики называется средней хронологической или временной средней. средний уровень ряда динамики определяется по-разному для моментных и интервальных, полных и неполных рядов динамики.

Средние уровни моментных рядов динамики

Ê
Если уровни моментного ряда динамики отстоят друг от друга на равные промежутки времени, то для исчисления среднего уровня пользуются формулой средней хронологической простой:

Для полных моментных рядов n - число уровней рядов динамики.

Ë Если уровни моментного ряда динамики отстоят друг от друга на неравный промежуток времени, то для определения среднего уровня пользуются средней хронологической взвешенной (для неполных рядов)

t_i - промежуток времени между двумя соседними уровнями

Á Средние уровни интервальных рядов динамики

Ê
Если уровни интервального ряда динамики равно отстоят друг от друга, то их средний уровень определяется по формуле средней арифметической простой (для полных рядов динамики)

Ë если уровни интервального ряда динамики неравно отстоят друг от друга, то их средний уровень определяется по формуле средней хронологической взвешенной (для неполных рядов динамики)

t - временной промежуток между соседними уровнями рядов динамики

 Средний абсолютный прирост

Обобщ. показатель ск-м абсол. изменения ур. ряда динамики. Вычисляется только на цепной основе.

„
Средний темп роста

Является обобщающим показателем средних величин. Показывает как в среднем изменились уровни ряда динамики на протяжении исследуемого периода. Считается как среднее геометрическое.

 

Способы выявления основной тенденции ряда динамики

 

Ряд динамики - это хронологический ряд последовательно распределенный показателей, отражающий ход развития изучаемого явления и состоящий из временных уровней и показателей ряда, относящиеся к этим моментам времени. Выявление основной тенденции ряда динамики (тренда) является одним из методов анализа и обобщения динамических рядов. Чаще всего выявление основной тенденции развития ряда динамики (РД) производится следующими способами:

1) укрупнение интервалов;

2) метод скользящих средних;

3) аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов

Укрупнение интервалов относится к механическому сглаживанию. Часто в РД колеблемость уровней показателя не позволяет визуально установить тренд. Это происходит из-за влияния на уровни ряда различных факторов, зачастую действующих в разных направлениях. Поэтому для установления основной тенденции развития прибегают к объединению нескольких уровней ряда в один. При этом объединяются и соответствующие временные уровни. Этим способом возможно установить тенденцию только РД абсолютных показателей.

Метод скользящих средних

Метод скользящих средних также относится к методам механического сглаживания и используется для выявления основной тенденции РД и состоит в замене фактических величин средними арифметическими из нескольких уровней РД. При этом количество объединяемых уровней называется интервалом скольжения. Расчет средней ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого интервала скольжения первого уровня и включением последующего нижнего. Интервалом скольжения может объединяться четное и нечетное число уровней ряда, при этом несколько меняется техника выравнивания. Пример:

дни	Объем пр-ва	пятичл скольз сумма	пятичл скольз средняя
		-	-
		-	-
		-
		-
			-
			-

Сумма записывается на уровне последнего члена суммы. А средняя - посередине уровня группы членов. Вывод: происходит снижение выпуска цеха ширпотреба. Если скользящая средняя вычисляется по четному числу уровней, то возникает вопрос, к какому уровню отнести сглаженный показатель, т.к. скользящая средняя относится как бы к промежутку между двумя уровнями. В этом случае для отнесения скользящей средней к определенному периоду используют два способа: а) преобразование уровня; б) центрирование. Для примера выше если используются 4 уровня, при преобразовании уровня учитывают пять уровней, а в расчет включают 4 уровня.

Скользящую среднюю при этом относят к третьему уровню РД (т.е. несколько изменяется размер средних). Метод центрирования заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Аналитическое выравнивание

Аналитическое выравнивание РД - наиболее эффективный способ выявления основной тенденции развития явления во времени. При этом уровни РД выражаются функцией от времени y=f(t). Задачей аналитического выравнивания является нахождение теоретической кривой, наилучшим образом отражающей черты фактической динамики. Т.е. аналитическое выравнивание состоит в подборе математической формулы, наилучшим образом описывающей эмпирические данные. В практике социально-экономических исследований используется выравнивание по любому рациональному многочлену, в т.ч. по прямой, параболе второго и третьего порядка, гиперболе, показательной функции и т.д. Выбор функции выравнивания носит вероятностный характер. Для выбора типа кривой, по которой производят аналитическое выравнивание необходимо построить эмпирическую кривую динамического ряда и прикинуть к какой функции она ближе или проанализировать показатели РД: 1) если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около const, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу выравнивания, будет прямая.

2) если приросты приростов уровней (т.е. вторые разности или ускорения) колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания принимают уравнение параболы второго или более высокого порядка.

3) если уровни ряда изменяются с приблизительно постоянным относительным показателем (Тпр), то выравнивание производится по показательной функции:

После того, как выбор теоретической кривой осуществился, задача заключается в нахождении параметров уравнения и определении теоретических уровней РД. При решении этой задачи используют метод наименьших квадратов, когда наилучшим приближением выравнивания данных к эмпирическим считается такое, при котором сумма квадратов отклонений фактических значений от теоретических стремится к минимуму:

Выравнивание с применением метода наименьших квадратов можно значительно упростить, разметив временные уровни так, чтобы сумма t=0. При этом различают два случая:

1) когда число членов РД нечетное, то за начало отсчета принимают серединный временной уровень ряда. Его значение принимают равным 0. Вверх следуют значения через -1, а вниз-через +1. При этом сумма t=0.

2) когда число членов ряда четное, то разбивка временных уровней происходит от серединной пары дат, при этом верхняя серединная дата принимается за -1, а нижняя за +1. Далее вверх следуют значения через -2, вниз через +2. Результаты аналитического выравнивания необходимо воспроизвести на графике эмпирических данных. Выявить основную тенденцию значит установить закон развития изменяющегося во времени процесса на всем рассматриваемом в данном РД промежутке времени.

Аналитическое выравнивание дает возможность определять действие систематических факторов на развитие социально-экономических явлений, определяемых в РД. Фактические уровни РД отклоняются от выравненных в разные стороны, образуя колеблющийся остаток, который называется случайной компонентой динамического ряда. Это делает возможным разложение уровней ряда на систематическую и случайную компоненты: y=f(t)+e, f(t)-тренд, выражающий типические черты явления, которые описывает данный РД. e-случайная компонента выражает действие множества случайных факторов, действующих в положительном и отрицательном направлениях. Оценка меры воздействия случайных факторов на уровни ряда производится с помощью формулы среднеквадратического отклонения:

Показатель колеблемости уровней ряда около тренда является одним из критериев правильности выбора кривой для аналитическога выравнивания.