ТЕ6.1. Абсолютные и относительные показатели вариации

Рассмотрим две совокупности сотрудников рекламных агентств.

Распределение сотрудников первого агентства по уровню месячной заработной платы представлено в табл. 7.1.

Распределение сотрудников первого агентства
по уровню месячной заработной платы

Размер месячной заработной платы, руб.	Середина интервала, х i	Число сотрудников, чел., fi.	хi × fi
4 000 - 6 000	5 000		50 000
6 000 - 8 000	7 000		42 000
8 000 - 10 000	9 000		171 000
10 000 - 12 000	11 000		286 000
12 000 - 14 000	13 000		247 000
14 000 - 16 000	15 000		150 000
16 000 - 18 000	17 000		85 000
Сумма	—		1 031 000

Распределение сотрудников второго агентства по уровню месячной заработной платы представлено в табл. 7.2.

Распределение сотрудников второго агентства
по уровню месячной заработной платы

Размер месячной заработной платы, руб.	Середина интервала, х i	Число сотрудников, чел., fi	х i fi
1 500 - 4 500	3 000		27 000
4 500 - 7 500	6 000		156 000
7 500 - 10 500	9 000		216 000
10 500 - 13 500	12 000		216 000
13 500 - 16 500	15 000		210 000
16 500 - 19 500	18 000		180 000
19 500 - 22 500	21 000		189 000
Сумма	—		1 194 000

Рассчитаем средний уровень заработной платы:

· для первого агентства:

· для второго агентства:.

Как видим, средние в двух совокупностях практически совпадают между собой (с разницей в 1 руб.). Однако если вы вдруг случайно встретите сотрудников этих агентств и поинтересуетесь уровнем оплаты их труда, то вас заверят, что платят у них вовсе не одинаково! Почему?! Оказывается, что разброс значений вокруг средней в этих совокупностях абсолютно разный. Значит, такой характеристики, как средняя, вовсе не достаточно, чтобы делать выводы о совокупности. Для этого используют показатели вариации.

Вариацией называется изменчивость значений признака у единиц статистической совокупности. Для измерения величины вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) вычисляется как разность между максимальным и минимальным значениями признака

R = x _max – x _min.

Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю арифметическую величину из абсолютных значений отклонений отдельных значений признака от их средней. Если данные не сгруппированы, то рассчитывается невзвешенное среднее линейное отклонение

Для сгруппированных данных, представленных в виде вариационного ряда, используется взвешенное среднее линейное отклонение, где весами выступают частоты соответствующих вариант:

Дисперсией (s ²) называется средняя арифметическая величина, полученная из квадратов отклонений значений признака от их средней:

· для несгруппированных данных:

· для сгруппированных данных:

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением (его называют также стандартным отклонением):

· для несгруппированных данных:

· для сгруппированных данных:

Абсолютные показатели вариации, за исключением дисперсии, имеют те же единицы измерения, что и исследуемый показатель вариационного ряда. Поэтому, если экономическая интерпретация, например, среднего линейного отклонения, проста и понятна физически, то в случае с дисперсией она затруднена. Однако дисперсия рассчитывается в статистическом анализе гораздо чаще, чем другие показатели вариации. Связано это с тем, что дисперсия широко используется в таких видах статистического анализа, как корреляционный, регрессионный, дисперсионный, при оценках результатов выборочного наблюдения. Кроме того, именно с помощью дисперсии можно оценить влияние случайных и систематических факторов на формирование значений случайной величины.

Для сравнения вариации одного и того же показателя в разных совокупностях (например, заработной платы двух рекламных агентств) или вариации разных показателей в одной совокупности (например, вариации заработной платы и возраста в одном рекламном агентстве) используют относительные показатели вариации. К ним относят:

· для сгруппированных данных:

· для сгруппированных данных:

· для сгруппированных данных:

Принято считать, что если значение Vs > 33%, то совокупность неоднородна, и для дальнейшего статистического анализа следует либо исключить крайние значения признака, либо разбить совокупность на однородные группы (требование однородности данных присутствует практически во всех видах статистического анализа).

Рассчитаем показатели вариации для приведенных в табл. 7.1 и 7.2 вариационных рядов (табл. 7.3 и 7.4).

Расчет абсолютных и относительных
показателей вариации для первого агентства

Размер месячной заработной платы, руб.	Середина интервала х i	Число сотрудников, чел., fi
4 000 - 6 000	5 000		58 530	342 576 090
6 000 - 8 000	7 000		23 118	89 073 654
8 000 - 10 000	9 000		35 207	65 238 571
10 000 - 12 000	11 000		3 822	561 834
12 000 - 14 000	13 000		40 793	87 582 571
14 000 - 16 000	15 000		41 470	171 976 090
16 000 - 18 000	17 000		30 735	188 928 045
Сумма	—		233 675	945 936 855

По первому агентству получим следующие данные.

Размах вариации:

R = x _max– x _min= 18000 – 4000 = 14000 (руб.).

Среднее линейное отклонение (так как ряд сгруппирован и частоты не равны между собой) рассчитываем как взвешенную величину:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение:

Коэффициент вариации:

Судя по коэффициенту вариации, совокупность по данному признаку можно считать однородной.

Проведем расчет аналогичных характеристик вариации по второму агентству (табл. 7.4).

Расчет абсолютных и относительных показателей вариации
для второго агентства

Размер месячной заработной платы, руб.	Середина интервала, хi	Число сотрудников, чел., fi
1 500 - 4 500	3 000		70 686	555 167 844
4 500 - 7 500	6 000		126 204	612 594 216
7 500 - 10 500	9 000		44 496	82 495 584
10 500 - 13 500	12 000		20 628	23 639 688
13 500 - 16 500	15 000		58 044	240 650 424
16 500 - 19 500	18 000		71 460	510 653 160
19 500 - 22 500	21 000		91 314	926 471 844
Сумма	—		482 832	2 951 672 760

Показатели вариации по второму агентству:

Размах вариации:

R = 22 500 – 1500 = 21 000 (руб.);

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение — 5180 (руб.).

Коэффициент осцилляции — 193%.

Относительное линейное отклонение — 40%.

Коэффициент вариации — 48%.

Таким образом, по данному признаку вторая совокупность сотрудников неоднородна.

Сравнение относительных показателей вариации по двум совокупностям говорит о том, что дифференциация по уровню заработной платы во втором агентстве гораздо выше, чем в первом, хотя их средние практически совпадают между собой.

6.2. Дисперсия и ее свойства

Дисперсия обладает рядом математических свойств. Приведем основные из них:

1) если x_i= c, где с — постоянная величина, то дисперсия будет равна нулю;

2) если из всех значений признака вычесть постоянную величину с, то дисперсия от этого не изменится:

3) если все индивидуальные значения признака уменьшить в d раз, то дисперсия уменьшится в d ² раз:

На приведенных свойствах дисперсии основан один из методов ее расчета — способ моментов. Согласно ему, дисперсию можно вычислить по следующей формуле (применяется только в случае вариационных рядов с равными интервалами):

где с — значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов четное, то берется середина интервала из центра ряда с наибольшей частотой);

d — величина интервалов;

— момент второго порядка;

— момент первого порядка.

По данным табл. 7.5 определим дисперсию способом моментов.

Расчет дисперсии способом моментов*

Середина интервала, хi	Число сотрудников, чел. fi	хi– с (с = 11)	d = 2
		–6	–30
		–4	–12
		–2	–19
—		—	–7	—

* По данным табл. 7.1.

или

Если при расчете дисперсии способом моментов взять за постоянную величину с нуль, а за d — единицу, то приведенная выше формула примет следующий вид:

Таким образом получаем, что дисперсия равна разности между средней из квадратов индивидуальных значений признака и квадрата средней.

Применим данный способ расчета дисперсии. Пусть известно, что средняя арифметическая величина, рассчитанная для вариационного ряда, равна 56 дол., а средний квадрат его индивидуальных значений — 3322. Определим дисперсию.