Тема 6. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

 

Изучение взаимосвязей на рынке товаров и услуг – важнейшая функция работников коммерческих и маркетинговых служб. Изучение механизма рыночных связей, взаимодействия спроса и предложения, влияния объема и состава предложенных товаров на объем и структуру товарооборота, формирование издержек и прибыли, товарных запасов и др. имеет первостепенное значение для прогнозирование конъюнктуры рынка, рациональной организации торговых процессов и решения многих вопросов успешного ведения бизнеса.

Причем для успешного прогнозирования и управления механизмом рыночных отношений необходимо иметь количественную оценку закономерностей - математическую определенность, иначе нельзя довести результаты разработок до уровня использования их на практике.

Для этого и существует статистика, которая исследует не только показатели, но и связи между ними. Основные приемы изучения связи статистических показателей: балансовый, компонентный, факторный.

Балансовый метод –характеризует зависимость между источниками формирования ресурсов и их использованием. Например формула товарного баланса: О_н+П=В+О_к, где О_н и О_{к -} остатки товаров на начало и конец изучаемого периода; П – поступление товаров за период, В - выбытие за период.

Левая часть формулы характеризует предложение, а правая – использование товарных ресурсов.(Если не подсчитывается реализация, то ее можно вывести с помощью этой балансовой формулы)

Компонентные связи характеризуются тем, что изменение показателя определяется изменение компонентов, которые входят в этот показатель как сомножители. . Эти связи в статистике коммерческой деятельности используются в основном в индексном методе выявления роли отдельных факторов в совокупном изменения показателя Индекс товарооборота в фактических ценах представляет собой произведение индекса товарооборота в сопоставимых ценах и индекса цен I_q

Факторные связи характеризуются тем, что они проявляются в согласованной вариации изучаемых показателей. При этом одни показатели выступают как факторные, а другие как результативные. В свою очередь факторные могут рассматриваться как функциональные и корреляционные.

Функциональные – изменение результативного признака Y всецело обусловлено действием фактора х: примером может служить зависимость длины окружности от радиуса

Под корреляционной связью понимаются связи, при которых изменение результативного признака У под влиянием х обусловлено не всецело, а лишь частично, так как возможно влияние других факторов : По своему характеру корреляционные связи – это связи соотносительные. Пример: зависимость сумм издержек обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака – объем товарооборота х на результативный признак У (сумму издержек обращения) влияют и другие учтенные и неучтенные факторы. Поэтому корреляционные связи не являются полными (жесткими) зависимостями.

В статистике принято различать следующие варианты зависимостей:

1)Парная корреляция – связь между двумя признаками(результативным и факторным или двумя факторными).

2) Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении прочих факторных признаков.. 3) множественная корреляция – зависимость результативного признака и двух или более факторных признаков, включенных в исследование

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков. (при многофакторной связи).

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Коэффициенты корреляции выражают «полезность» включения признаков в уравнение множественной регрессии. Величина коэффициентов корреляции служит также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.. Одновременно с корреляцией используется регрессия. Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая оценивает силу статистической связи, а вторая исследует ее форму.

Регрессионный анализ – определение аналитического выражения связи, в котором изменение одной или нескольких величин (факторов) обуславливает изменения другой (результативной). Регрессия может быть однофакторной (парной) и многофакторной (множественной)

По форме зависимости различают: Линейную ,

Нелинейную: полулогарифмическая ,

Показательная ,

Степенная ,

Параболическая ,

Гиперболическая , и другие.

Решение математических уравнений связи предполагает вычисление по исходным данным их параметров. Это осуществляется способом выравнивания эмпирических данных методом наименьших квадратов. В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных о т выровненных

Корреляционный анализ решает две основные задачи: 1. определение формы связи, т.е установление математической формы, в которой выражается данная связь. Это очень важно, так как от правильного выбора формы связи зависит конечный результат. 2. – измерение тесноты связи, т.е меры связи между признаками с целью установления степени влияния данного фактора на результат. Решается математически путем определения параметров корреляционного уравнения.

Форму связи можно выбрать теоретически, однако с его помощью не всегда удается установить форму связи, можно только предположить. Проверить эти предположения можно при помощи графического анализа, который используется для определения формы связи между явлениями.

Аналитическое выражение связи. Уравнение.. , здесь -называется коэффициентом регрессии и показывает, на сколько в среднем отклоняется величина результативного признака при отклонении величины факторного признака на одну единицу. Для решения необходимо найти параметры а₀ и а₁

Степенная функция .Параметр - показатель эластичности, который показывает на сколько процентов изменится при возрастании х на1%. При Для определения параметров степенной функции вначале ее приводят к линейному виду путем логарифмирования: , а затем строят систему нормальных уравнений , решив данную систему находят параметры

В ряде случаев обратная связь может быть выражена с помощью уравнения гиперболы: система уравнений для нахождения параметров такова

 

Проверка за значимость параметров и

Для совокупностей, у которых используется критерий Стьюдента, т.е расчетные значении сравниваются с критерием с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы k=n-2, они должны быть больше критического, если меньше, то параметры признаются незначимыми, т.е являются результатами действия случайных величин. . - среднее квадратическое отклонение результативного признака от расчетного

среднее квадратическое отклонение факторного признака о общей средней.

После проверки параметров на значимость, можно построить математическую модель выбранного типа

Проверка практической значимости построенных моделей осуществляется посредством показателей тесноты связи между признаками х и у,

Для прямолинейной связи используем линейный коэффициент корреляции Пирсона.

Для непрямолинейной связи используется индекс корреляции , где - факторная дисперсия, отображающая вариацию у только от воздействия изучаемого фактора х (характеризует колеблемость выравненных значений от их общей средней величины

При прямолинейной связи (изменяется от 0 до 1), если возвести в квадрат, то получим коэффициент детерминации, который выражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака объясняется изучаемым фактором.

Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До ±0,3	практически отсутствует
±0,3 - ±0,5	слабая
±0,5 - ±0,7	умеренная
±0,7 - ±1,0	сильная

 

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F-критерия (Фишера) и величины средней ошибки аппроксимации . Если , при или , то гипотеза о несоответствии заложенных в уравнение регрессии связей отвергается. V₁=k-1, v₂=n-k, где n- число наблюдений, k –число факторных признаков в уравнении.

, m – число параметров уравнения регрессии.

Ошибка апроксимации:

-значение должно не превышать 12-15%.

Контрольные вопрос

1. Определите понятие "статистическая связь".

2. Какие вы знаете формы статистической связи?

3. Какие вы знаете методы изучения статистической связи?

4. Назовите известные вам показатели тесноты связи.

5. Что такое уравнение регрессии?

6. Каковы предельные значения корреляционного отношения?

7. На что указывает знак у коэффициента корреляции?

8. Что такое множественная корреляция?

 

Пример варианта контрольной работы

Рассмотрим пример построения линейного уравнения регрессии и оценки тесноты связи. Исследуем связь между сроком выдачи кредитов одного и того же объема и процентной ставкой по итогам торгов на аукционе:

Таблица 10

Срок выдачи кредита дней

Ставка %

150)

Предположим, что зависимость здесь линейная:

,

где - выровненные (теоретические) значения результативного признака (ставка);

- факторный признак (срок выдачи кредита);

- параметры уравнения регрессии.

Параметры находят из системы нормальных уравнений

Тесноту связи в случае линейной зависимости определяют на основе линейного коэффициента корреляции К.Пирсона:

Средние квадратические отклонения можно рассчитать по следующим формулам

и

В следующей таблице приведены необходимые предварительные вычисления (последняя строка содержит средние значения):

 

Исходные и расчетные данные

по сроку выдачи кредитов и процентной ставке

Таблица 1

		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"
		"	"	"

 

Подставив из таблицы в систему нормальных уравнений необходимые итоги, получим:

Решив эту систему, найдем: =143,23 и =1,35

С учетом этого искомое уравнение регрессии имеет следующий вид:

Интерпретация данного уравнения сводится к следующему: с увеличением срока выдачи кредита на 1 день процентная ставка в среднем возрастает на 1,35%.

Подставляя в это уравнение последовательно все значения факторного признака определяем теоретические значения результативного признака (см. последнюю графу приведенной выше таблицы). Необходимым, но не достаточным условием правильности расчетов является равенство сумм фактических и теоретических значений результативного признака.

Определение величины линейного коэффициента корреляции начнем с расчета средних квадратических отклонений:

и

С учетом рассчитанных значений получим:

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от-1 до +1. При этом знак указывает на направление связи, а величина коэффициента, взятая по модулю - на тесноту связи. Рассчитанный нами коэффициент указывает на прямую тесную зависимость между сроком выдачи кредита и процентной ставкой.

При изучении нелинейных зависимостей особое внимание необходимо обратить на оценку тесноты связи с помощью теоретического корреляционного отношения, так как линейный коэффициент корреляции здесь непригоден.

Множественный корреляционно-регрессионный анализ возможен только с использованием компьютера. Однако необходимо уметь анализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности и понимать смысл множественного и частных коэффициентов корреляции.

Завершить изучение данной темы мы рекомендуем рассмотрением показателей тесноты связи между альтернативными признаками (коэффициенты ассоциации и контингенции) и между атрибутивными признаками (коэффициенты взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона), а также рассмотрением ранговых коэффициентов корреляции Спирмена и Кэндала.

 

 

Тесты

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

 

1. Теоретическое корреляционное отношение служит для оценки тесноты связи:

A. при линейной зависимости;

B. при нелинейной зависимости;

C. при любой зависимости.

 

2. Множественный коэффициент корреляции используется для оценки тесноты связи:

A. между результативным и всеми факторными признаками;

B. между результативным и одним из факторных признаков при элиминировании воздействия всех прочих факторов.

C. между всеми факторными признаками;

 

3. Частный коэффициент корреляции используется для оценки тесноты связи:

A. между двумя факторными признаками;

B. между результативным и одним из факторных признаков;

C. между результативным и одним из факторных признаков при элиминировании воздействия всех прочих факторов.

 

4. Проверка факторов на мультиколлинеарность осуществляется на основе анализа матрицы:

A. коэффициентов корреляции Пирсона;

B. коэффициентов корреляции Спирмена;

C. частных коэффициентов корреляции;

D. множественных коэффициентов корреляции.

 

5. Под мультиколлинеарностью понимается:

A. слабая взаимосвязь между факторными признаками;

B. сильная взаимосвязь между факторными признаками;

C. слабая взаимосвязь между факторными и результативным признаками;

D. сильная взаимосвязь между факторными и результативным признаками.

 

6. Коэффициент регрессии показывает:

A. на сколько в среднем изменится “y” при изменении “x” на единицу собственного измерения;

B. долю вариации “y”, обусловленную вариацией “x”;

C. на сколько процентов в среднем изменится “y” при изменении “x” на 1%.

 

7. Коэффициент эластичности показывает:

A. на сколько в среднем изменится “y” при изменении “x” на единицу собственного измерения;

B. долю вариации “y”, обусловленную вариацией “x”;

C. на сколько процентов в среднем изменится “y” при изменении “x” на 1%.

 

8. Линейный коэффициент корреляции r=-0,2 свидетельствует о наличии:

A. средней обратной зависимости;

B. слабой обратной зависимости;

C. отсутствии зависимости;

D. слабой прямой зависимости;

E. средней прямой зависимости.

 

9. Дайте классификацию связей по аналитическому выражению:

A. обратная;

B. сильная;

C. прямая;

D. линейная.

 

10. Дайте классификацию связей по направлению:

A. умеренные;

B. функциональные;

C. прямые.

 

11. Функциональной является связь:

A. между двумя признаками;

B. при которой определенному значению факторного признака соответствует несколько значений результативного признака;

C. при которой определенному значению факторного признака соответствует одно значение результативного признака.

 

12. Какой коэффициент используется для определения тесноты и направления связи между X и Y при нелинейной зависимости:

A. парный коэффициент корреляции;

B. частный коэффициент корреляции;

C. эмпирическое корреляционное отношение.

 

13. Сформулируйте интерпретацию коэффициента регрессии ą_i:

A. на сколько в среднем изменится Y при изменении X на единицу собственного измерения;

B. доля вариации Y, обусловленная вариацией X;

C. на сколько в среднем изменится Y при изменении X на 1%.

 

14. Сформулируйте интерпретацию коэффициента эластичности:

A. на сколько в среднем изменится “y” при изменении “x” на единицу собственного измерения;

B. долю вариации “y”, обусловленную вариацией “x”;

C. на сколько процентов в среднем изменится “y” при изменении “x” на 1%.

 

15. Сформулируйте интерпретацию коэффициента детерминации:

A. на сколько процентов вариация Y объясняется вариацией X;

B. на сколько процентов в среднем изменится Y при изменении X₁ и X₂ на 1%;

C. тесноту и направление связи между Y,X₁, и X₂.

 

16. Коэффициент ранговой корреляции используется для оценки связи между:

A. количественными признаками;

B. качественными признаками, значения которых упорядочены;

C. любыми качественными признаками.

 

17. Корреляционное отношение – это:

A. доля межгрупповой дисперсии в остаточной;

B. доля межгрупповой дисперсии в общей;

C. доля остаточной дисперсии в общей.

 

18. При изменении значений факторного признака функциональная зависимость проявляется в изменении:

A. значений результативного признака;

B. распределении единиц совокупности по результативному признаку;

C. средних значений результативного признака.

 

19. При функциональной зависимости каждому значению признака соответствует:

A. единственное значение результативного признака;

B. множество значений результативного признака;

C. среднее значение результативного признака.

 

20. Корреляционное отношение используется для:

A. определения факторной вариации;

B. определения тесноты связи;

C. выявления направления связи.

 

21. Корреляционное отношение можно использовать для оценки тесноты связи между признаками, если количественным является:

A. факторный признак;

B. только результативный;

C. оба признака количественные.

 

22. Если корреляционное отношение равно единице:

A. различия между групповыми средними отсутствуют;

B. различия между вариантами внутри групп отсутствуют;

C. связь функциональная.

 

23. Чтобы определить, на сколько изменится среднее значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу, необходимо:

A. построить аналитическую группировку;

B. вычислить параметры уравнения регрессии;

C. вычислить коэффициент корреляции.

 

24. Выявить связь между двумя количественными признаками по совокупности, состоящей из 15 единиц, можно с помощью:

A. коэффициента взаимной сопряженности;

B. аналитической группировки;

C. корреляционно-регрессионного анализа.

 

25. Теоретическими значениями называются:

A. групповые средние;

B. значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

C. фактические значения факторного признака.

 

26. Построить уравнение регрессии можно при условии, что:

A. количественным является только факторный признак;

B. оба признака качественные;

C. оба признака количественные.

 

27. Путем решения системы нормальных уравнений вычисляются параметры уравнения регрессии, при которых является минимальной:

A. сумма отклонений теоретических значений результативного признака от фактических значений этого признака;

B. сумма квадратов этих отклонений;

C. сумма отклонений теоретических значений результативного признака от фактических значений факторного признака.

 

28. Коэффициент детерминации характеризует:

A. форму связи;

B. существенность связи;

C. тесноту связи.

 

29. Линейный коэффициент корреляции характеризует:

A. тесноту связи;

B. существенность связи;

C. направление связи.

 

 

Практическое задание

 

Задача 1. По данным о ценах на молоко и сметану на рынках десяти российских городов постройте линейное уравнение регрессии и оцените тесноту связи:

Цена молока, тыс. руб. (X)	2.8	1.5	2.5	1.5	8.5	2.0	3.0	3.5	2.0	1.5
Цена сметаны, тыс. руб. (У)