Лекция 13. Магнитные свойства вещества. Парамагнетизм газов и электронов проводимости в металлах и полупроводниках.

Учение о магнитных свойствах веществ (магнетиков) весьма обширно, и мы остановимся только на некоторых основных понятиях.

Если поместить тело во внешнее магнитное поле, то каждый элемент его объема приобретет магнитный момент

. (1)

Намагниченность или магнитный момент единицы объема зависит от величины и направления напряженности магнитного поля . В изотропных телах параллельно и не зависит от направления . Для изотропных тел, рассмотрением которых мы ограничимся, величина

(2)

Называется магнитной восприимчивостью вещества. Она зависит от вещества, температуры, давления, но не зависит от магнитного поля .

Если в разложении в ряд по ограничится линейным членом, то

. (3)

Легко видеть, что безразмерна.

Мы различаем:

1) Парамагнитные вещества, для которых , т.е. направлено параллельно . Газ кислород парамагнитен, для него (закон Кюри). При комнатной температуре и атмосферном давлении .

Шелочные металлы тоже парамагнитны: но для них от температуры практически не зависит; для натрия .

2) Диамагнитные вещества, для которых , т.е. направлено противоположно полю . Для диамагнетиков от температуры зависит слабо (через плотность вещества). Инертные газы диамагнитны; для гелия при нормальных условиях .

3) Ферромагнитные вещества (железо, кобальт, никель и ряд сплавов). Выше некоторой температуры, называемой температурой Кюри и равной для Fe, Co и Ni соответственно 1040, 1404 и 631 К, ферромагнитные вещества ведут себя как парамагнетики. Ниже температуры Кюри ферромагнетики обладают рядом интересных особенностей: в чистых монокристаллах уже слабое магнитное поле вызывает в определенных кристаллографических направлениях очень большую намагниченность , величина которой зависит не только от направления напряженности поля , но и от предыстории образца (гистерезис); при уменьшении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики сохраняют некоторый магнитный момент.

Выведем для магнетиков некоторые простые термодинамические соотношения. Напряженность магнитного поля в нашей задаче является внешним параметром. Найдем обобщенную силу, отвечающую этому внешнему параметру. Для этого нам нужно вспомнить выражение для работы, совершаемой изотропной системой с магнитным моментом при элементарном изменении магнитного поля . Как учит электродинамика, эта работа есть

. (4)

Здесь M – проекция магнитного момента на направление магнитного поля. Следовательно, обобщенная сила, отвечающая модулю напряженности магнитного поля, есть проекция среднего магнитного момента нашего газа на направление магнитного поля. Таким образом, проекция среднего магнитного момента нашего газа на направление магнитного поля есть

. (5)

Тогда в соответствии с (2) магнитная восприимчивость

. (6)

Итак, для того, чтобы найти магнитный момент и магнитную восприимчивость, нам нужно найти свободную энергию и продифференцировать ее по магнитному полю.

Рассмотрим теорию намагниченности вещества, состоящего из свободно вращающихся частиц (молекул) с постоянными магнитными моментами (теория парамагнитного газа Ланжевена). Магнитное поле ориентирует магнитные моменты вдоль поля, тепловое движение дезориентирует их. С классической точки зрения магнитный момент может быть ориентирован произвольно относительно поля . Потенциальная энергия в поле равна , где - угол между и . Вероятность быть направленным к полю под углом, лежащим между и , равна

, (7)

где - телесный угол, соответствующий интервалу угла , а - константа, определяемая из условия нормировки вероятности

, (8)

где и .

Среднее значение проекции магнитного момента на направление магнитного поля

. (9)

Интеграл в знаменателе берется элементарно, а интеграл в числителе равен производной по от интеграла в знаменателе. Таким образом,

. (10)

где функция Ланжевена

. (11)

Для слабых магнитных полей, когда , т.е. , разлагая правую часть (11) в ряд, получим

. (12)

В этом случае намагниченность

. (13)

Откуда магнитная восприимчивость

. (14)

Мы видим, что в соответствии с законом Кюри .

В квантовой теории парамагнетизма атомов и ионов необходимо учесть два важных обстоятельства: дискретность пространственного квантования момента количества движения электрона и наличие у него спина.

Как мы знаем из курса квантовой механики, если электрон в атоме находится в стационарном состоянии с определенной проекцией момента количества движения (орбитального момента) (где - магнитное квантовое число), то этому состоянию соответствует магнитный момент , где

(15)

- магнетон Бора – элементарный (наименьший) магнитный момент, фигурирующий в квантовой теории.

Таким образом, для орбитального движения электрона

. (16)

Такое же значение имеет отношение этих величин в классической теории.

Теория и опыт показывают, что свободный электрон обладает магнитным моментом, равным магнетону Бора , и вращательным моментом, проекции которого на заданное направление равны . Эти свойства электрона получили названия спина.

Для спина отношение имеет «аномальное», вдове большее значение, чем (16).

Складывая векторно магнитные и вращательные моменты орбитального движения и спина, легко понять, что в силу «аномальности» отношения для спина, направление результирующего магнитного момента не будет совпадать с направлением результирующего вращательного момента.

Это обстоятельство служит причиной аномального эффекта Зеемана. Можно показать, что в результате прецессии результирующего магнитного момента вокруг результирующего вращательного момента в направлении последнего возникает эффективный магнитный момент

, (17)

где - квантовое число полного вращательного момента, равного , а

(18)

- множитель Ландэ. Здесь - квантовое число орбитального вращательного момента, равного , а - спиновое квантовое число, принимающее два значения: и .

Во внешнем магнитном поле результирующий вращательный момент электрона в атоме принимает дискретных ориентаций, образуя с магнитным полем углы , . Энергия магнитного момента в магнитном поле равна

. (19)

Среднее значение магнитного момента в направлении поля

, (20)

где .

Рассмотрим для простоты случай слабых магнитных полей, когда , так что можно положить . В этом случае из (20) получаем

, (21)

так что магнитная восприимчивость равна

, (22)

где эффективный магнитный момент . Мы видим, что и в квантовом случае магнитная восприимчивость обратно пропорциональна температуре.

Рассмотрим теперь магнитные свойства газа электронов проводимости. Постановка задачи остается прежней, однако теперь изучим ситуацию, когда газ находится во внешнем стационарном однородном магнитном поле .

В соответствие с общим алгоритмом, прежде всего, найдем одночастичные стационарные состояния. Для этого мы должны решить стационарное уравнение Шредингера для одного отдельно взятого электрона с эффективной массой в однородном магнитном поле .

В отсутствие магнитного поля одноэлектронный оператор Гамильтона внутри объема газа есть просто оператор кинетической энергии

. (23)

Вспомним, как выглядит Гамильтониан электрона в магнитном поле.

Прежде всего, определимся с выбором системы координат. В задаче есть выделенное направление – направление магнитного поля . Примем это направление за декартову ось z. Тогда напряженность магнитного поля , где - орт оси z.

Магнитное поле дает два вклада в Гамильтониан электрона.

Во-первых, рассматривая электрон в магнитном поле, мы должны в операторе кинетической энергии оператор импульса заменить разностью . Здесь - абсолютная величина заряда электрона, - скорость света, - векторный потенциал магнитного поля.

Во-вторых, как известно из релятивистской квантовой механики, наличие у электрона спина приводит к появлению у него собственного магнитного момента, не связанного с его движением в пространстве. Если электрон поместить в магнитное поле, то возникает взаимодействие его собственного магнитного момента с полем. Это взаимодействие приводит к появлению в Гамильтониане электрона дополнительного члена

. (24)

Здесь - магнетон Бора, - оператор проекции спина электрона на ось z, т.е. на направление магнитного поля.

Таким образом, оператор Гамильтона электрона в магнитном поле имеет вид

. (25)

Как легко видеть, оператор Гамильтона коммутирует с оператором проекции спина, то волновые функции одночастичных стационарных состояний берем в виде

, (26)

где - собственная функция оператора проекции спина, отвечающая собственному значению :

. (27)

Координатная волновая функция определяется одночастичным стационарным уравнением Шредингера

. (28)

Второй вклад не зависит от координат. Перенесем его направо

. (29)

Вклад магнитного поля приводит к квантованию движения электрона, которое носит название квантования Ландау. Если мы пренебрежем этим вкладом, то наше уравнение Шредингера примет вид

, (30)

где обозначено

. (31)

Уравнение (30) в точности совпадает с одноэлектронным уравнением Шредингера в отсутствие магнитного поля. Таким образом, если мы пренебрежем первым вкладом магнитного поля, то координатная часть волновой функции электрона в магнитном поле останется той же самой, что и в ее отсутствие. Соответственно, в таком приближении одночастичное стационарное состояние задается спиновым квантовым числом и волновым вектором . Одноэлектронная волновая функция состояния имеет тот же самый вид, что и в отсутствие поля

, (32)

а вот энергия одноэлектронного состояния отличается от энергии свободного электрона на величину

. (33)

Таким образом, взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем приводит к снятию вырождения одноэлектронных уровней энергии по проекции спина – энергии одночастичных состояний с одним и тем же значением волнового вектора , но разными значениями квантового числа , отличаются друг от друга

. (34)

и

. (35)

Если теперь мы учтем первый вклад магнитного поля , то структура координатной части одноэлектронной волновой функции и структура одночастичного энергетического спектра качественно изменятся. В калибровке Ландау одноэлектронные стационарные состояния задаются спиновым квантовым числом , проекцией волнового вектора на направление магнитного поля, проекцией волнового вектора на декартову ось х, лежащую в плоскости, перпендикулярной напряженности магнитного поля, а также целым положительным числом , которое называется номером уровня Ландау. Нормированная волновая функция и энергия одноэлектронного стационарного состояния с квантовыми числами соответственно имеют вид

, (36)

и

. (37)

Здесь - линейный размер по оси z объема, содержащего наш электронный газ, - линейный размер этого объема по оси х. Второе слагаемое в выражении для энергии и функция есть n-ый уровень энергии и отвечающая ему волновая функция линейного гармонического осциллятора с циклотронной частотой и положением равновесия , где - магнитная длина. Волновая функция n-го уровня энергии нашего осциллятора, напомню, имеет вид

, (38)

где - полином Эрмита.

Как хорошо видно, вклад магнитного поля приводит к квантованию движения электрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Это квантование называется квантованием Ландау.

Итак, магнитное поле дает два вклада в Гамильтониан. Первый вклад приводит к квантованию движения электрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю – к квантованию Ландау. Второй вклад обусловлен взаимодействием собственного магнитного момента электрона с полем. Он приводит к снятию вырождения одноэлектронных уровней по проекции спина, или как еще говорят, к спиновому расщеплению уровней.

Теперь разберемся, как каждый из этих вкладов сказывается на магнитных свойствах электронного газа.

Начнем со второго вклада, обусловленного взаимодействием собственного магнитного момента электрона с магнитным полем. Для того, чтобы лучше понять его роль, для начала полностью пренебрежем квантованием Ландау, т.е. полностью пренебрежем вкладом магнитного поля .

Наша задача состоит в том, чтобы вычислить в этом приближении вычислить средний магнитный момент газа

Магнитный момент всего газа складывается из собственных магнитных моментов электронов. Как известно из квантовой механики, собственный магнитный момент электрона может быть направлен либо по полю, либо против поля. Причем в обоих случаях модуль магнитного момента равен магнетону Бора .

Собственный магнитный момент электрона, находящегося в одночастичном состоянии с квантовым числом , направлен по полю. Соответственно, проекция магнитного момента такого электрона на ось z равна . Среднее число электронов со спиновым квантовым числом обозначим .

Собственный магнитный момент электрона, находящегося в одночастичном состоянии с квантовым числом , направлен против поля. Соответственно, проекция магнитного момента такого электрона на ось z равна . Среднее число электронов со спиновым квантовым числом обозначим .

Следовательно, проекция среднего магнитного момента газа на направление поля есть

. (39)

Таким образом, наша задача свелась к нахождению среднего числа электронов в одночастичных состояниях с данным значением спинового квантового числа .

Эта величина , очевидно, равна сумме распределения Ферми-Дирака по всем значениям волнового вектора

. (40)

Подставляя явный вид (125) одноэлектронных уровней энергии, получаем

. (41)

Введем в рассмотрение функцию

. (42)

Значение этой функции, очевидно, есть половина числа частиц в свободном электронном газе с химическим потенциалом . тогда

. (43)

Рассмотрим случай . В этом случае функцию (43) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки . Ограничимся в этом разложении первой поправкой по магнитному полю

. (44)

Соответственно, среднее число электронов в одночастичных состояниях с , т.е с магнитным моментом, сонаправленным с полем,

, (45)

среднее число электронов в одночастичных состояниях с , т.е с магнитным моментом, направленным противоположно полю,

. (46)

Как хорошо видно, при среднее число электронов в одночастичных состояниях с совпадает со средним числом электронов в одночастичных состояниях с . Следовательно, в отсутствие магнитного поля в наиболее вероятных микросостояниях примерно у половины электронов магнитный момент сонаправлен с полем, и примерно у половины электронов он направлен противоположно. В результате средний момент электронного газа равен нулю.

Магнитное же поле приводит к перераспределению электронов по одночастичным состояниям с различным значением проекции спина. Поскольку , электронов с магнитным моментом, сонаправленным с полем, становится больше, чем электронов с противоположным направлением собственного магнитного момента. В результате проекция среднего магнитного момента на направление поля

. (47)

становится положительным. Соответственно, магнитный момент газа сонаправлен с магнитным полем, что соответствует парамагнетизму.

Таким образом, взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем приводит к парамагнетизму электронного газа.

Найдем магнитную восприимчивость вырожденного газа электронов проводимости в металле. Как мы получали ранее, в этом случае

. (48)

Тогда

. (49)

Таким образом, магнитная восприимчивость единицы объема

. (50)

Воспользовавшись полученным ранее выражением для химического потенциала вырожденного электронного газа, получаем с точностью до членов

, (51)

где - концентрация электронов проводимости металла.

Мы видим, что главная часть парамагнитной восприимчивости электронов проводимости металла, в соответствии с опытом, не зависит от температуры. Малая температурная поправка к при комнатных температурах порядка .

Для невырожденных электронов проводимости полупроводника ситуация иная. В этом случае

. (52)

Соответственно,

. (53)

Таким образом, для магнитной восприимчивости невырожденных электронов проводимости полупроводника получаем

, (54)