Лекция 7. Вырожденный идеальный бозе-газ. Бозе-конденсация. Равновесное тепловое излучение.

Рассмотрим газ из N невзаимодействующих тождественных бозонов с отличной от нуля массой покоя в объеме V в отсутствие внешних силовых полей.

Как мы знаем из курса квантовой механики, в этом случае одночастичный базис может быть сформирован из произведения собственных функций оператора проекции спина на плоские волны

. (1)

Таким образом, в нашем случае одночастичное стационарное состояние задается волновым вектором и спиновым квантовым числом . Одночастичные энергии даются выражением

. (2)

Поскольку мы имеем дело с макроскопической системой, то аналогично тому, как мы поступали в курсе квантовой механики при рассмотрении одноэлектронных состояний в идеальном кристалле, мы здесь можем использовать периодические граничные условия, и в дальнейшем аппроксимировать сумму по волновым векторам интегралом

. (3)

Поскольку у нас имеет место вырождение по спину, то суммирование по спиновому квантовому числу везде приводет просто к умножению на число значений, которые может принимать спиновое квантовое число. Спиновое квантовое число для частицы со спином может принимать -о значение. Поэтому сейчас для сокращения записи будем считать, что спин у наших бозонов равен нулю. Тогда спиновое квантовое число может принимать только одно значение нуль, и соответственно, одночастичное стационарное состояние будет задаваться просто волновым вектором . Обобщение на случай частиц с отличным от нуля спином осуществляется, как вы видите, очень легко.

Среднее число частиц в одночастичном стационарном состоянии дается распределение выражением

. (4)

Сумма по всем одночастичным стационарным состояниям равна полному числу частиц в нашем бозе-газе

. (5)

Как мы обращали внимание при выводе распределение Бозе-Эйнштейна, химический потенциал бозе-газа всегда . Для того, чтобы лишний раз в этом убедится, давайте посмотрим, что произойдет с распределением по одночастичным состояниям, если хим. потенциал будет положительный. В этом случае для одночастичных стационарных состояний с энергией показатель экспоненты является отрицательным Соответственно, сама экспонента меньше единицы. Таким образом, получается, что при положительном химическим потенциале число частиц в таких одночастичных стационарных состояниях является отрицательным. Таким образом, мы еще раз убеждаемся в том, что в нашем бозе-газе химический потенциал не может быть положительным.

Согласно общефизическому принципу минимальности энергии в нашем бозе-газе при абсолютном нуле температуры реализуются только основные микросостояния. Поскольку в бозе-газе нет ограничения на числа заполнения одночастичных состояний, то в основном микросостоянии нашего газа все бозоны будут находится в одночастичном состоянии с самой маленькой энергией. Наименьшее значение энергии имеет одночастичное стационарное состояние . Энергия этого одночастичного стационарного состояния равна нулю. Таким образом, при абсолютном нуле температуры функция распределения Бозе-Эйнштейна для нашего газа имеет вид

. (6)

При увеличении температуры становится отличной от нуля также и вероятность возбужденных микросостояний. В этих микросостояниях часть электронов переходит с основного одночастичного стационарного состояния в возбужденные, т.е. в состояния с . Поэтому по мере увеличения температуры среднее число бозонов в основном одночастичном состоянии уменьшается. Соотвественно, среднее число бозонов в остальных, т.е. возбужденных одночастичных стационарных состояниях растет. Найдем, как с увеличением температуры изменяется среднее число бозонов в основном одночастичном состоянии.

В основном одночастичном состоянии энергия равна нулю. Следовательно, среднее число бозонов в этом состоянии есть

. (7)

Из (7) находим

. (8)

Таким образом, мы видим, что при достаточно низких температурах, когда химический потенциал очень мал. Он приблизительно равен

. Более того, можно показать, что в такой ситуации химический потенциал мал даже по сравнению с первыми возбужденным уровнем энергии.

Поэтому в этой сумме (3) для членов с химический потенциал можно положить равным нулю. Таким образом, получаем

. (9)

Заменяя сумму интегралом по -пространству, получаем

. (10)

То, что в область интегрирования попадает точка не страшно. Действительно, поскольку подынтегральная функция не зависит от направления волнового вектора, этот интеграл разумно вычислять в сферической системе координат. Тогда интегрирование по углам даст полный телесный угол , и наш интеграл из трехмерного станет одномерным

. (11)

Как видно, подынтегральная функция в точке равен нулю.

Теперь разумно провести обезразмеривающую замену переменной. За новую переменную в такой ситуации логично принять показатель экспоненты

. (12)

После этой замены переменной наш интеграл принимает вид

. (13)

Величина, стоящая в квадратных скобках, является константой. Обозначим ее .

Таким образом, получаем

, (14)

где

 

. (15)

Таким образом, мы видим, что по мере увеличения температуры число частиц в основном состоянии уменьшается и при температуре , оно обращается в нуль. Можно показать, что оно остается нулем и при температуре .

Таким образом, есть характерная температура, ниже которой начинается накопление частиц в основном одночастичном стационарном состоянии.

Явление накопления бозонов в основном одночастичном состоянии называется конденсацией Бозе-Эйнштейна. Соответственно, температура , при которой начинается эта бозе-конденсация, называется критической температурой конденсации Бозе-Эйнштейна.

Рассмотрим равновесное тепловое излучение, заключенное в ящик в форме куба со стороной .

Из квантовой электродинамики известно, что Гамильтониан электромагнитного поля можно представить в виде суммы ЛГО за вычетом энергии нулевых колебаний

. (16)

Каждый осциллятор соответствует одной из линейно поляризованных мод электромагнитного излучения, и, соответственно, задается значением волнового вектора и вектора поляризации . Частота осциллятора совпадает с частотой соответствующей моды.

Такие моды представляют собой плоские электромагнитные волны с электрическим вектором

. (17)

Модуль вектора поляризации . Направлен он перпендикулярно волновому вектору . Следовательно, вектор поляризации имеет только два линейно независимых значения. В вакууме частота связана с волновым вектором как

. (18)

Поскольку у нас излучение заключено в ящик, то его можно рассматривать как набор стоячих волн с узлами на стенках. Как известно, спектр волнового вектора в этом случае является дискретным и имеет вид

.. (19)

Таким образом, вычисление термодинамических характеристик РТИ сводится к вычислению термодинамических характеристик равновесной системы ЛГО. Последнюю задачу мы решали на практическом занятии. Поэтому воспользуемся готовым результатом. Только во всех выражениях мы должны убрать энергию нулевых колебаний. Таким образом, свободная энергия и внутренняя энергия РТИ есть

(20)

и

. (21)

Среднее значение числа заполнения осциллятора

. (22)

Из выражений (20-22) видно, что электоромагнитное излучение мы можем рассматривать как идеальный газ бозонов с волновыми векторами , энергией и поляризацией . Каждая такая частица соответствует одному из линейных гармонических осцилляторов (одной из мод (17)). Число заполнения ЛГО есть число соответствующих частиц в газе. Эти частицы называются фотонами.

Воспользовавшись квазинепрерывностью спектра волнового вектора, перейдем в выражениях (20) и (21) от суммирования по волновым векторам к интегрированию, и также учтем, что суммируемые выражения не зависят от поляризации

(23)

и

. (24)

Здесь мы также учли закон дисперсии (18).

Поскольку подынтегральные выражения в (23) и (24) не зависят от направления волнового вектора, то эти интегралы разумно вычислять в сферической системе координат. Тогда интегрирования по углам даст полный телесный угол . Таким образом,

(25)

и

. (26)

Воспользовавшись законом дисперсии (18), в выражении (26) для внутренней энергии перейдем от интегрирования по волновым векторам к интегрированию по частотам

. (27)

Выражение под знаком интеграла

. (28)

представляет собой спектральную плотность излучения (энергию излучения, заключенную в данном участке спектра). Эта формула (28) для спектрального распределения энергии черного излучения называется формулой Планка.

При малых частотах () формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса

. (29)

В обратном предельном случае больших частот () получаем формулу Вина

. (30)

Перейдя в интеграле (26) к безразмерной переменной , получаем закон Стефана-Больцмана

. (31)

Коэффициент пропорциональности

. (32)

называется постоянной Стефана-Больцмана.

Поскольку электромагнитное поле обладает импульсом. Поэтому оно оказывает давление на стенку сосуда. Давление есть производная свободной энергии по объему

. (33)

Перейдя в интеграле (11) к безразмерной переменной , получаем

. (34)

Отсюда давление

. (35)

Наконец, энтропия

. (36)