Поверхности второго порядка.

Линейные образы.

3.1.1. Прямая на плоскости.
3.1.2. Плоскость в пространстве.
3.1.3. Прямая в пространстве.

Кривые второго порядка.

3.2.1. Окружность.
3.2.2. Эллипс.
3.2.3. Гипербола.
3.2.4. Парабола.

Поверхности второго порядка.

3.4. Преобразование координат.

3.4.1. Преобразование координат на плоскости.
3.4.2. Преобразование координат в пространстве.

4. Комплексные числа……………………………………………………………………..20

4.1. Алгебраическая форма комплексного числа.
4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4.4. Показательная форма комплексного числа.
4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме.

5. Введение в анализ………………………………………………………………………22

5.1. Функции. Общие свойства.
5.2. Основные элементарные функции.
5.3. Теория пределов.
5.4. Непрерывность функции.

6. Дифференциальное исчисление…………………………………………………..28

6.1. Определение производной.
6.2. Основные правила дифференцирования.
6.3. Производные основных элементарных функций.
6.4. Гиперболические функции.
6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора.
6.6. Исследование функций.

7. Интегральное исчисление……………………………………………………………34

Неопределённый интеграл.

7.1.1. Определения и свойства.
7.1.2. Основные методы интегрирования.
7.1.3. Таблица интегралов.

Определённый интеграл.

7.2.1. Определения и свойства.
7.2.2. Приложения определённого интеграла.

 

 

Тема 1. Линейная алгебра

Определители (детерминанты)

Обозначения определителя матрицы А: D, det A, .

Определитель второго порядка: .

Определитель третьего порядка:

Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:

 

Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:

-алгебраическое дополнение элемента , ,

-минор элемента , т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

Матрицы

Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и .

Квадратная матрица порядка n: .

Сложение матриц: , где .

Свойства сложения матриц:

1) ассоциативность: ;

2) коммутативность: ;

Умножение матрицы на число: .

Умножение матриц: .

Свойства умножения матриц:

1. ассоциативность: ;
2. некоммутативность.
3. определитель произведения квадратных матриц: .

Транспонирование матрицы: .

Свойство транспонирования произведения матриц: .

Невырожденная (неособая) матрица: .

Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .

Свойства обратной матрицы:

1) ;

2) .

Виды матриц:

единичная матрица:

симметрическая матрица:

ортогональная матрица: A - невырождена и

кососимметрическая матрица: ;

матрица-строка:

матрица-столбец: .

Ранг матрицы - наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Системы линейных уравнений

- неизвестные; aij –коэффициент в i-ом уравнении при j-ом неизвестном; - свободные члены.

Матричный вид: , - матрица системы,

- столбец неизвестных,

- столбец свободных членов.

Совместность системы: , где - расширенная матрица системы (теорема Кронекера-Капелли).

Формулы Крамера (n=m): ,

- определитель матрицы системы;

-определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.

Однородная система (B=0):

Если , то система им еет только нулевое решение. Если , то существуют ненулевые решения.

 

 

Тема 2. Векторная алгебра

 

Наименование	Обозначение, формула
Вектор и его выражение в декартовых координатах	a=ax i+ay j+az k=(ax, ay, az)
Модуль (длина) вектора
Направляющие косинусы вектора
Сложение двух векторов	a+b=(ax+bx, ay+by ,az+bz)
Умножение вектора на скаляр	ka=(kax, kay, kaz)
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение в декартовых координатах	ab=axbx+ayby+azbz
Условие ортогональности двух ненулевых векторов	ab =0 a b
Векторное произведение двух векторов	, e a, e b e - единичный вектор a, b, e - правая тройка векторов
Векторное произведение в декартовых координатах
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов	a| | b
Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение в декартовых координатах
Условие компланарности трех ненулевых векторов	abc =0 a, b, c - компланарныe векторы (лежат в одной плоскости)
Линейно независимая система векторов	{a1,a2,…,an} - линейно независима только при условии .

 

 

Тема 3. Аналитическая геометрия

Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общее уравнение прямой на плоскости	n=(A,B) - нормальный вектор прямой; , , - координаты фиксированных точек на прямой; k - угловой коэффициент прямой; a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y; q=(l,m) - направляющий вектор прямой
	уравнение прямой, проходящей через данную точку
	уравнение прямой с данным угловым коэффициентом
	уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
	уравнение прямой, проходящей через две точки
	уравнение прямой в отрезках
	каноническое уравнение прямой

 

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:

; ,

где и -нормальный и направляющий векторы первой прямой;

и - нормальный и направляющий векторы второй прямой.

Условия параллельности двух прямых на плоскости:

1. ;
2. ;
3. , где и - угловые коэффициенты прямых.

Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:

1. n₁ n₂ n₁ n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂=0;
2. q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l_1l2+m_1m2=0;
3. 

3.1.2. Плоскость в пространстве

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общее уравнение плоскости в пространстве	- нормальный вектор плоскости; - координаты фиксированных точек на плоскости; a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат; - направляющие косинусы нормального вектора плоскости; p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость
	уравнение плоскости, проходящей через три точки
	уравнение плоскости в отрезках
	нормальное уравнение плоскости

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:

.

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:

;

где и -нормальные векторы плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей:

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

n₁ n₂ n₁ n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂+С₁С₂=0.

3.1.3. Прямая в пространстве

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общие уравнения прямой в пространстве	и - нормальные векторы плоскостей; - направляющий вектор прямой; , , - координаты фиксированных точек на прямой
	канонические уравнения прямой в пространстве
	параметрические уравнения прямой в пространстве
	уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:

,

где и - направляющие векторы прямых.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

.

Условие ортогональности двух прямых в пространстве:

q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0.

 

Тема 3. Аналитическая геометрия

Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка:

.

3.2.1. Окружность

Каноническое уравнение: . Радиус окружности: a.
Параметрическое уравнение:		Уравнение в полярных координатах:
Уравнение окружности радиуса с центром в точке с координатами :

 

3.2.2. Эллипс

Каноническое уравнение: . Полуоси эллипса: . Фокусное расстояние: c. Фокусы: и , где .
Эксцентриситет:	, .	Параметрическое уравнение:	.

3.2.3. Гипербола

Каноническое уравнение: . Действительная полуось: a, мнимая полуось: b. Фокусное расстояние: с. Фокусы: и , где .
Эксцентриситет: ; ;	Асимптоты:	Параметрическое уравнение:

 

3.2.4. Парабола

Каноническое уравнение: , Параметр: p. Фокус: ; директриса: .

 

 

3.3. Поверхности второго порядка

Каноническое уравнение	Наименование	Параметры	Чертеж
	сфера	a – радиус
.	эллипсоид	- полуоси
	однополостный гиперболоид	-действитель-ные полуоси, - мнимая полуось
	двуполостный гиперболоид	-действитель-ная полуось, - мнимые полуоси
	эллиптический параболоид	- полуоси
	гиперболический параболоид	- полуоси
	конус	- полуоси
	параболический цилиндр	р - параметр
	эллиптический цилиндр	- полуоси
	гиперболический цилиндр	- полуоси

 

 

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.

Параллельный перенос: ,

где координаты точки Mв старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

координаты нового начала координат: .

Поворот: ,

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

угол поворота: j.

 

Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным координатам и обратно. ; ; ; ;

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам и обратно:

; ; ;

Переход от декартовых координат к сферическим координатам и обратно:

, , ;

 

Тема 4. Комплексные числа

Мнимая единица .

Функции. Общие свойства

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Аналитическое представление функции:

в явном виде: ;

в неявном виде: ;

в параметрической форме: ;

разными формулами в области определения (a,c]: .

Четная функция: .

Нечетная функция: .

Периодическая функция: , где T – период функции, .

Теория пределов

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: .

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение: .

Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .

Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .

Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .

Первый замечательный предел: .

Следствия: ; ;

Второй замечательный предел: , где e=2,71828…

Следствия: ; ; ; .

Эквивалентные бесконечно малые величиныпри :

x ~ sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ e^x-1 ~ ln(1+x).

Виды неопределенностей:

Символическое обозначение	Содержание неопределенности	Пределы компонент при x ® a
		a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
		b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
		a (x) ® 0 b (x) ® ¥
		b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
		g (x) ® 1 b (x) ® ¥
		a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
		a (x) ® 0 b (x) ® ¥

 

Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. ;
2. , где ;
3. ;
4. .

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода:

- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

 

Тема 6. Дифференциальное исчисление

назад | оглавление | вперёд

Определение производной

Пусть - определена и непрерывна в окрестности x₀

Производная функции в точке x ₀ и ее обозначения:

Гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс

 

Обратные гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Ареасинус
Ареакосинус
Ареатангенс
Ареакотангенс

 

Графики гиперболических функций:

 

Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Исследование с помощью предела:

- найти точки разрыва и выяснить их характер;

- найти область непрерывности;

- найти вертикальные и наклонные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки;

- определить интервалы возрастания и убывания функции;

- определить экстремумы.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости и вогнутости;

- определить точки перегиба.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

 

Тема 7. Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла: .
2. Дифференциал неопределенного интеграла: .
3. Неопределенный интеграл от дифференциала: .
4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций: ;

4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций: ;

4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

7.1.2. Основные методы интегрирования

1. использование свойств неопределенного интеграла;
2. подведение под знак дифференциала;
3. метод замены переменной:

а) замена в интеграле :

где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции ;

б) замена в интеграле вида :

;

1. метод интегрирования по частям: .

7.1.3. Таблица интегралов

№ п/п	Интегрируемая функция	Формула
	Степенная функция   частные случаи	,
	Показательная функция частный случай
	Рациональные функции
	Иррациональные функции
	Тригонометрические функции
	Содержит тригонометрические функции

 

 

Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

, где

Свойства определенного интеграла

1. Интеграл от суммы или разности