Производные высших порядков и формула Тейлора

Производная второго порядка функции y=f(x):

Производная n-го порядка (n-ая производная) функции y=f(x):

Формула Тейлора:

где - остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена (a=0):

Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Исследование с помощью предела:

- найти точки разрыва и выяснить их характер;

- найти область непрерывности;

- найти вертикальные и наклонные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки;

- определить интервалы возрастания и убывания функции;

- определить экстремумы.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости и вогнутости;

- определить точки перегиба.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

 

Тема 7. Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла: .
2. Дифференциал неопределенного интеграла: .
3. Неопределенный интеграл от дифференциала: .
4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций: ;

4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций: ;

4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

7.1.2. Основные методы интегрирования

1. использование свойств неопределенного интеграла;
2. подведение под знак дифференциала;
3. метод замены переменной:

а) замена в интеграле :

где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции ;

б) замена в интеграле вида :

;

1. метод интегрирования по частям: .

7.1.3. Таблица интегралов

№ п/п	Интегрируемая функция	Формула
	Степенная функция   частные случаи	,
	Показательная функция частный случай
	Рациональные функции
	Иррациональные функции
	Тригонометрические функции
	Содержит тригонометрические функции

 

 

Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

, где

Свойства определенного интеграла

1. Интеграл от суммы или разности двух функций: .
2. Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:

.

1. Свойство аддитивности: .
2. Неотрицательность интеграла: если , , то .
3. Сохранение неравенства: если и , то .
4. Теорема о среднем: , где , - непрерывна на .
5. Формула Ньютона-Лейбница: , где - первообразная для .
6. Интегрирование по частям: .
7. Замена переменной:

а)

, где , , и непрерывна на , а непрерывна и монотонна на

б) , где u=j (x), c=j (a), d=j (b).

7.2.2. Приложения определенного интеграла

Характеристика	Вид функции	Формула
площадь криволинейной трапеции	в декартовых координатах
площадь криволинейного сектора	в полярных координатах
площадь криволинейной трапеции	в параметрической форме
длина дуги кривой	в декартовых координатах
длина дуги кривой	в полярных координатах
длина дуги кривой	в параметрической форме
объём тела вращения	в декартовых координатах
объём тела с заданным поперечным сечением