Алгебраическая форма комплексного числа

, где a, b – действительные числа;

a - действительная часть комплексного числа,

b - мнимая часть комплексного числа;

Обозначения действительной и мнимой части: .

Модуль комплексного числа: .

Сопряжённые комплексные числа: и .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

;

;

.

Тригонометрическая форма комплексного числа

,

где - аргумент комплексного числа, .

Показательная форма комплексного числа

.

Формула Эйлера: .

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

,

,

,

где .

Формула Муавра: .

 

Тема 5. Введение в анализ

Функции. Общие свойства

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Аналитическое представление функции:

в явном виде: ;

в неявном виде: ;

в параметрической форме: ;

разными формулами в области определения (a,c]: .

Четная функция: .

Нечетная функция: .

Периодическая функция: , где T – период функции, .

Основные элементарные функции

	Название	Формула	Частные случаи
	Постоянная
	Степенная функция		; ; ; ;
	Показательная функция
	Логарифмическая функция		;
	Тригонометрические функции	; ; ; .
	Обратные тригонометрические функции	; ; ;

 

Графики основных элементарных функций:

Парабола	Гипербола
График показательной функции	График логарифмической фунгкции
Синусоида и косинусоида

 

 

Теория пределов

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: .

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение: .

Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .

Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .

Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .

Первый замечательный предел: .

Следствия: ; ;

Второй замечательный предел: , где e=2,71828…

Следствия: ; ; ; .

Эквивалентные бесконечно малые величиныпри :

x ~ sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ e^x-1 ~ ln(1+x).

Виды неопределенностей:

Символическое обозначение	Содержание неопределенности	Пределы компонент при x ® a
		a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
		b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
		a (x) ® 0 b (x) ® ¥
		b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
		g (x) ® 1 b (x) ® ¥
		a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
		a (x) ® 0 b (x) ® ¥

 

Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. ;
2. , где ;
3. ;
4. .

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода:

- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

 

Тема 6. Дифференциальное исчисление

назад | оглавление | вперёд

Определение производной

Пусть - определена и непрерывна в окрестности x₀

Производная функции в точке x ₀ и ее обозначения:

Основные правила дифференцирования

Наименование	Функция	Производная
Линейная комбинация двух функций Частные случаи: a)умножение на постоянный множитель б)сумма (разность) двух функций
Произведение а) двух функций б) трех функций
Частное двух функций
Сложная функция	y=F(u), u=j (x)
Обратная функция
Параметрическое задание функции
Логарифмическое дифференцирование

 

Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
	константа
	степенная функция   частные случаи
	показательная функция частный случай
	логарифмическая функция   частный случай
	тригонометрические функции	; ; ; ;
	обратные тригонометрические функции	; ; ;

 

 

Гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс

 

Обратные гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Ареасинус
Ареакосинус
Ареатангенс
Ареакотангенс

 

Графики гиперболических функций: