Уравнения прямой на плоскости

Различные уравнения прямой на плоскости

Уравнения прямой на плоскости представлены в табл. 1.

Таблица 1.

Тип уравнения	Формула	Примечание
Уравнение прямой, проходящей через данную точку (x 0, y 0) перпендикулярно заданному вектору	A (x – x 0)+ B (y–y 0)=0	, где – нормальный вектор прямой
Общее уравнение прямой	Ax + By + C =0
Уравнение прямой «в отрезках»		Отрезки a и b отсекает прямая на осях координат Ox и Oy
Каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку (x 0, y 0) параллельно вектору		=(l; m), где – направляющий вектор прямой
Уравнение прямой, проходящей через данную точку (x 0, y 0) в заданном направлении	y – y 0= k (x – x 0)	k =tga – тангенс угла между прямой и положительным направлением оси О х (рис. 4)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом	y = kx + b	k =tg a, k – угловой коэффициент прямой (рис. 4)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x 1, y 1) и (x 2, y 2)		–

Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты A, B и C отличны от нуля. Если хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

1) C = 0 Û O Î L;

2) A = 0 Û L || O x;

3) B = 0 Û L || Oy;

4) A = C = 0 Û L º Ox;

5) B = C = 0 Û L º Oy.

 

Рис. 4

Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть даны две прямые, заданные общими или каноническими уравнениями, уравнениями с угловыми коэффициентами.

Углом q между прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми.

Для прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами, тангенс угла между прямыми находится по формуле:

.

Если прямые заданы общими или каноническими уравнениями, то задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными или направляющими векторами:

Рассмотрим условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l ₁: y = k ₁× x + b, l ₂: y = k ₂ ×x+b, то

l ₁ êê l ₂ Û k ₁= k ₂

l ₁ ^ l ₂ Û k ₁× k ₂=-1 или .

Если прямые заданы общими уравнениями:

l ₁: A ₁ x + B ₁ y+C =0, l ₂: A ₂ x + B ₂ y+C =0, то

l ₁ êê l ₂ Û çç Û

l ₁ ^ l ₂ Û ^ Û × =0 Û A ₁ B ₁+ A ₂ B ₂=0.

Если прямые заданы каноническими уравнениями:

l ₁: , l ₂: , то

l ₁ êê l ₂ Û çç Û

l ₁ ^ l ₂ Û ^ Û × =0 Û m ₁ n ₁+ m ₂ n ₂=0.

Кривые второго порядка

 

Уравнения кривых второго порядка представлены в табл. 2.

Таблица 2

Тип уравнения	Формула
Уравнение окружности с центром (a, b) и радиусом R
Уравнение эллипса с центром (a, b) и полуосями a и b
Уравнения гиперболы с центром (a, b) и полуосями a и b
Уравнение параболы с центром (a, b) и ветвями, направленными вдоль оси: О х О у	2 p (x – a) =(y – b)^2 2 p (y – b)=(x – a)^2

Поверхности второго порядка

Основные типы поверхностей

Классификация поверхностей в пространстве находится в полной аналогии с классификацией линий на плоскости.

Определение. Поверхность второго порядка – это множество точек трехмерного пространства, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяет уравнению (описывается в общем случае многочленом второго порядка):

Ax ²+ By ²+ Cz ²+ Dxy + Еxz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L =0,

в котором A ²+ B ²+ C ²+ D ²+ Е ²+ F ²¹ 0.

Таблица 3

Тип поверхности	Уравнение	Чертеж
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр		z x a y b
Параболический цилиндр
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двуполос- тный гиперболоид		x
Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид
Конус	z ^2= x ^2+ y ^2

 

Метод сечений

Сущность метода сечений состоит в том, что рассматриваются линии пересечения данной поверхности с различными плоскостями. Во многих случаях удобно рассекать поверхность плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей, например параллельными плоскости x 0 y. Уравнение одной такой плоскости имеет вид

z = h,

где h есть некоторое число, которое можно выбирать произвольно.

Плоская кривая, получаемая в сечении, представляется системой уравнений, одно из которых z = h, а другое – данное уравнение поверхности. Если в последнее подставить вместо координаты z значение h, то получим уравнение, не содержащее z. Это уравнение позволит построить сечение. Зная ряд сечений, можно получить представление о самой поверхности.

Пример. Построить поверхность z ²= x ²+ y ², используя метод сечений.

Решение. Чтобы получить представление о форме поверхности, будем рассекать ее плоскостями z = h. Линия сечения представляется системой уравнений

.

Подставив вместо z в первое уравнение h, получим равносильную систему уравнений:

,

которая представляет окружность радиуса R = h с центром в точке О₁(0; 0; h). Значит, линией пересечения плоскости z = h с круглой цилиндрической поверхностью будет окружность. Придавая z = h любое значение, получим ряд окружностей, расположить которые нужно параллельно плоскости x 0 y на расстояниях, равных радиусу h.

Если в качестве секущей плоскости взять плоскость x 0 z (y =0), то линия пересечения представится системой

или .

Эта система описывает пару взаимно перпендикулярных прямых (рис. 5, АВ, А₁В₁), лежащих в плоскости x 0 z:

.

Таким образом, данная поверхность представляет собой поверхность круглого конуса, у которого образующая составляет с осью угол в 45⁰.

Сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости x 0 z (или x 0 y), могут дополнить наши сведения о форме конической поверхности. Так, из системы:

получим равносильную ей систему

,

т.е. сечение конуса плоскостями, параллельными плоскости x 0 z, есть гиперболы.

Рис. 5

Полярные координаты

 

Полярная система координат определяется заданием точки О, луча ОР, масштабной единицы l.

Рис. 6

ОР - полярная ось, О - полярный полюс, r – расстояние точки М от полюса О, l – единица масштаба, j - угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ (рис. 6).

Эти числа r и j называют полярными координатами точки М, причем величину r – полярным радиусом, а j – полярным углом точки М (0£j<2p, r >0).

Если совместить декартову систему координат с полярной (ось ОР пойдет по оси О х, а полюс О совпадет с началом координат), то связь между декартовыми координатами (х, у) каждой точки М и полярными ее координатами (r, j) будет такой:

x = r ×cos j, y = r ×sin j, r = , tg j=

Решение типовых задач

Задача 1. Даны точки А(-1; 2; -5) и В(-8; -3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору .

Решение. Найдем координаты нормального вектора = . Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы и ортогональны,т.е. их скалярное произведение равно нулю , т.е.

,

.

Задача 2. Даны три точки А, В и С. Найти уравнение плоскости, на которой лежат данные точки.

1. A (1,2,3), B (4,-1,-2), C (4,0,3).

Решение. Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы ={ x -1, y -2, z -3}, ={4-1,-1-2,-2-3}={3,-3,-5}, ={4-1,0-2,3-3}={3,-2,0} компланарны, поэтому

, то есть .

Вычисляем определитель разложением по элементам первой строки.

(x -1)×(-1)¹⁺¹× +(y -2)×(-1)¹⁺²× +(z -3)×(-1)¹⁺³× =0.

(x -1)×(-3×0-(-2)×(-5))+(y -2)×(-1)×(3×0-3×(-5))+(z -3)×(3×(-2)-3×(-3))=0,

(x -1)×(0+10)-(y -2)×(0+15)+(z -3)×(-6+9)=0,

10×(x -1)-15×(y -2)+3×(z -3)=0, 10 x -10-15 y +30+3 z -9=0,

10 x -15 y +3 z +11=0 – искомое уравнение.

Ответ: 10 x -15 y +3 z +11=0.

2. A (1,2,0), B (1,-1,2) и C (0,1,-1).

Решение. Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы

={ x -1, y -2, z -0}, ={1-1, -1-2, 2-0}={0,-3,2},

={0-1, 1-2,-1-0}={-1,-1,-1}.

Векторы , и компланарны и их смешанное произведение равно нулю.

, .

Вычисляем определитель разложением по элементам первой строки:

(x -1)× -(y -2)× + z × =0.

(x -1)×(3-(-2))-(y -2)×(0-(-2))+ z (0-3)=0, 5 x- 5-2 y +4-3 z =0,

5 x -2 y -3 z -1=0 – искомое уравнение.

Ответ: 5 x -2 y -3 z -1=0.

Задача 3. Найти расстояние от точки А(1; -2; 3) до плоскости 2 x - y -2 z +5=0.

Решение. Подставляем в формулу вычисления расстояния от точки до плоскости:

.

Ответ: 1.

Задача 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; -2; 0) и параллельно плоскости 2 x -4 y - z +1=0.

Решение. Так как плоскости параллельны, то в качестве нормального вектора можно взять нормальный вектор данной плоскости, т.е. .

Получаем общее уравнение плоскости

2(x -1)-4(y +2)-(z -0)=0, 2 x -4 y - z -10=0.

Задача 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

Решение. Пусть М (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы , и компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю , т.е.

, ,

Вычисляем определитель разложением по элементам первой строки:

(x -3)× -(y -2)× +(z+ 1)× =0.

(x -3)×(3-12)-(y -2)×(18-6)+(z +1)(-24-(-2))=0,

-9(x -3)-12(y -2)-22(z +1)=0, 9 x +12 y +22 z -29=0,

Ответ: 9 x +12 y +22 z -29=0.

Задача 7. Даны точки А и В. Найти уравнение прямой, проходящей через данные точки.

1. A (-1,2,3), B (2,6,-2).

Решение. Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки:

, .

(Здесь первой точкой считали А, а второй – В.)

2. A (2,-1,3), B (2,3,3).

; .

Задача 8. Привести к каноническому виду общее уравнения прямой

.

Решение. Для того, чтобы записать каноническое уравнение искомой прямой достаточно найти: 1) хотя бы одну точку А, через которую проходит данная прямая; 2) ее направляющий вектор .

В качестве точки А можно принять точку ее пересечения с любой из координатных плоскостей, например, с плоскостью x 0y. Поскольку при этом z ₁=0, координаты x ₁, y ₁ определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них z =0:

.

Отсюда x ₁=2, y ₁=4.

Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Способ 1. Определить координаты еще одной любой точки прямой, например, В(0; 24; 14). Тогда в качестве вектора можно взять вектор

.

Тогда искомое уравнение прямой запишется в виде

.

Способ 2. Направляющий вектор должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей , , и в качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и :

= .

Каноническое уравнение прямой примет вид:

.

Задача 9. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(-1; 3; 2) и параллельно прямой x =4+5 t, y =7 t, z =8-3 t.

Решение. Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то в качестве ее направляющего вектора можно взять направляющий вектор данной прямой. Используя уравнение прямой, проходящей через А и параллельной вектору , получим искомое уравнение прямой в каноническом виде:

,

в параметрическом виде:

.

Задача 10. Найти угол между прямыми

и .

Решение. Первая из прямых описана каноническим уравнением, ее направляющий вектор . Вторая прямая задана в параметрической форме, ее направляющий вектор . Угол между прямыми:

. Ðj= .

Задача 11. Дана точка Р (x ₀, y ₀, z ₀) и плоскость (a): Ax + By + Cz + D =0. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости.

Указание. Нормальный вектор плоскости ={ A,B,C } будучи перпендикулярным к данной плоскости параллелен искомой прямой. И его можно считать направляющим вектором этой прямой.

.

1. Р (0,0,0) и (a): 4 x-y +2 z -3=0.

={4,-1,2}.

; - искомое уравнение.

2. Р (2,1,-1) и (a): x-y + z +1=0.

={1,-1,1}.

; - искомое уравнение.

3. P (3,-1,-1), (a): 3 x + y + z -20=0.

={3,1,1}.

; - искомое уравнение.

4. Р (2,3,1), (a): 2 x -3 z +1=0.

={2,0,-3}.

- искомое уравнение.

Задача 12. Даны уравнения прямой l и плоскости a. Найти угол между ними.

Находится по формуле:

sin j= .

1. Уравнение прямой l: , уравнение плоскости a: 2 x - y + z +3=0.

Решение. Направляющий вектор прямой ={2,-3,1}, нормальный вектор плоскости ={2,-1,1}. Находим скалярное произведение данных векторов:

× =2×2+(-3)×(-1)+1×1=4+3+1=8.

Находим длины векторов:

,

.

sin j= = = = =

= = = = »0,8730.

Ðj=arcsin »60⁰49^’.

Ответ: 60⁰49^’.

2. Уравнение прямой l: , уравнение плоскости a: x+2y-z+3 =0.

Решение. Направляющий вектор прямой ={2,-3,-1}, нормальный вектор плоскости ={1,2,-1}.

× =2×1+(-3)×2+(-1)×(-1)=2-6+1= – 3,

,

.

sin j= = = = =

= = = »0,3274.

Ðj=arcsin »19⁰7^’.

Ответ: 19⁰7^’.

Задача 13. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3 x -2 y + z -3=0.

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

.

Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем

3(2 t -1)-2(t +2)+(- t +1)=0,

откуда

t =3.

Подставим найденное значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения:

х =5, y =5, z =-2.

Задача 14. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; -2; 3) и прямую .

Решение. Проверим, лежит ли заданная точка А на прямой

.

Так как пропорции не выполнены, то точка А не принадлежит данной прямой. Точка В(3; -1; 7) лежит на данной прямой, а направляющий вектор ={2; 4; 3}. Если М(x; y; z) – произвольная точка плоскости, то векторы ={ x -3; y +1; z -7}, ={2; 1; 4} и компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю:

,

,

-13(x -3)+2(y +1)+6(z -7)=0, 13 x -2 y -6 z +1=0.

Задача 15. Даны три точки: А (-1,7), В (0,9), С (1,3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно прямой ВС.

А Î l, l || BC.

Решение. Так как || l, то ={1-0,3-9}={1,-6} - направляющий вектор прямой.

Если точка А (-1,7)Î l, есть вектор ={1,-6}|| l, тогда для составления уравнения применим каноническое уравнение прямой:

, ,

, , .

Ответ: .

Задача 16. В D АВС А (0,7), В (2,5), С (6,-4). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины С. (рис. 7).

Рис. 7

Решение. Так как М – середина АВ (l=1),

= =1; = = =6.

М (1,6)Î(СМ). С (6,-4)Î(СМ), тогда

, ,

½:5,

, , , .

Ответ: .

Задача 17. Найти угловые коэффициенты прямых:

l ₁: 3 x +5 y -7=0, l ₂: 2 x + y =0, l ₃: 3 x +2 y +6=0,

l ₄: 5 x + y -3=0, l ₅: 4 x -9 y =0, l ₆: 2 y +3=0.

Решение. Прямые заданы общими уравнениями. Разрешив каждое относительно у, получим уравнения вида y = k×x + b, из которых и запишем значения k.

l ₁: 5 y =-3 x +7½:5; y = , y = , k ₂= ;

l ₂: y =-2 x, k ₂=-2;

l ₃: 2 y =-3 x -6½:2; y = , y = ; k ₃= ;

l ₄: y =-5 x +3; k ₄=-5;

l ₅: 9 y =4 x, y = , y = , k ₅= ;

l ₆: 2 y =-3, y = , y =0× x - , k ₆=0.

Задача 18. Составить уравнения прямой:

1) проходящей через точку (-1,-1) и имеющей угловой коэффициент k =1;

2) проходящей через точку (2,0) и имеющей угловой коэффициент k =-2.

Решение.

1) Подставим данные:

y -(-1)=1×(x -(-1)), y +1=1×(x +1), y +1= x +1, x - y =0;

2) y -0=-2×(x -2), y =-2 x +2, 2 x + y -2=0.

Ответ: х-y =0, 2 x+y -2=0.

Задача 10. Найти точку пересечения прямых 3 x -4 y +11=0 и 4 x-y -7=0.

Решение. Для этого необходимо решить систему уравнений этих прямых.

, .

Умножим обе части второго уравнения на (-4) и почленно сложим уравнения.

, , .

Подставляем х =3 в первое уравнение системы:

3×3-4 y =-11, -4 y =-11-9, -4 y =-20, y =5.

Ответ: (3; 5).

Задача 19. Даны уравнения сторон треугольника: х +3 у -3=0, 3 х -11 у -29=0 и 3 х-у +11=0. Найти вершины этого треугольника.

Решение. Для вычисления координат вершин треугольника необходимо решить три системы уравнений:

, , .

Решаем первую систему. Умножаем обе части первого уравнения на (-3):

, ,

почленное сложение даст уравнение

-20 у -20=0, -20 у =20, у =-1.

Система примет вид

,

находим х, подставляя в первое уравнение найденное значение у:

х +3×(-1)-3=0, х -3-3=0, х =6.

Одна из вершин (6;-1).

Решаем вторую систему. Умножив обе части второго уравнения на (-1) и сложив почленно, получим

, , .

Подставляя найденное значение у = – 4 в первое уравнение системы, найдем х:

3× x -11×(-4)-29=0, 3 x =-44+25, 3 x =-15, x =-5.

Вторая вершина (-5; -4).

Решение третьей системы уравнений:

, , ,

, .

Подставляя найденное значение х =-3 в первое уравнение системы, найдем у:

-3+3 y -3=0, 3 y =6, y =2.

Третья вершина (-3;2).

Задача 20. Найти угол между двумя прямыми:

1) у =-2 х и у =3 х +5;

2) 4 х +2 у -5=0 и 6 х+ 3 у +1=0;

3) х-у -2=0 и х+у -1=0;

4) 2 х+ 3 у-1 =0 и 3 х -2 у+ 1=0;

5) 3 х +4 у -5=0 и 5 х -2 у+ 7=0;

6) у =2 х+ 3 и у -4=0.

Решение. Находим угловые коэффициенты прямых. А затем находим тангенсы искомых углов.

1) k ₁=-2, k ₂=3, тогда получим:

=-1, Ðj=135⁰;

2) k ₁=-2, k ₂=-2, тогда

=0, Ðj=0⁰,

т.е. данные прямые параллельны;

3) k ₁= , k ₂=- , тогда

= = = , Ðj=60⁰;

4) k ₁= , k ₂= .

Видно, что k ₁× k ₂=-1; значит, эти две прямые образуют угол 90⁰, т.е. они взаимно перпендикулярны;

5) оба уравнения решим относительно у. Получим уравнения

у= , k ₁= ; y = , k ₂= .

= = =

= = »-3,714, Ðj»105⁰4^’;

6) k ₁=2, k ₂=0, следовательно,

= =-2, Ðj»116⁰34^’.

Задача 21. В D АВС А (4; 6), В (-3; 0), С (2; -3). Найти углы треугольника и уравнение высоты СЕ.

Решение. Уравнения прямых (АВ), (ВС) и (СА) найдем, как уравнение прямых, проходящих через 2 точки и сразу же находим угловые коэффициенты.

(АВ):

, , (x -4)×(-6)=(y -6)×(-7),

-6 x +24=-7 y +42, 7 y =6 x +42-24, 7 y =6 x +18,

y = , k_AB = ;

(BC):

, , (x +3)×(-3)= y ×5,

-3 x- 9=5 y, y = , k_BC = ;

(AC):

, , (x -4)×(-9)=(y -6)×(-2),

-9 x +36=-2 y +12, 2 y =9 x -24, y = , k_AC = .

Теперь находим углы треугольника:

= = =0,75, Ð A»36⁰52^’;

= =3, Ð B»71⁰34’;

tg C = =3, Ð C»71⁰34’.

Получили, что Ð В =Ð С» 71⁰34’, т.е. D АВС – равнобедренный.

Найдем уравнение высоты (СЕ).

Так как (СЕ)^(АВ), то k_СЕ = = , и точка С (2,-3) лежит на (СЕ).

Значит

y -(-3)= , y +3= |×6, 6 y +18=-7(x- 2),

6 y +18=-7 x +14, 7 x +6 y +4=0.

Ответ. Ð A»36⁰52^’; Ð В =Ð С»71⁰34’; 7 x +6 y+ 4=0.

Задача 22. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-2,4) параллельно прямой 2 х -3 у +6=0.

Решение. Так как прямые параллельны, то k ₁= k ₂. Находим угловой коэффициент данной прямой

3 y =2 x +6 |:3, y = , k ₁= .