Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин

1. Найти область определения функции,

2. Исследовать функцию на четность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить промежутки знакопостоянства.

6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.

7. Исследовать функцию на экстремум.

8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.

9. Используя все полученные результаты,построить график функции.

 

Перпендикулярность плоскостей.

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

• Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
• Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения
• Если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по

которой пересекаются плоскости и .

Докажем, что плоскости и перпендикулярны.
Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с.

Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны.

Теорема доказана.

 

 

Теорема о трех перпендикулярах.

Теорема.

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

 

Доказательство:

 

Пусть — перпендикуляр к плоскости , — наклонная и — прямая в плоскости , проходящая через точку и перпендикулярная проекции . Проведем прямую параллельно прямой . Прямая перпендикулярна плоскости (так как она параллельна ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, перпендикулярна прямой . Проведем через параллельные прямые и плоскость (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости , это по условию и по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой .

 

Обратная теореме о трех перпендикулярах.

 

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательство:

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК по теореме о трех перпендикулярах, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

44. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость

Невозможно.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых, и он перпендикулярен каждой из этих прямых.

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну прямую параллельно другой.

Пример:

Имеем две скрещивающиеся прямые a и b. Через каждую из них проведена плоскость(плоскость проходит через а, плоскость проходит через b), параллельная другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельных прямых, равны.