Тема 7.2 Элементы проективной геометрии

 

Вопросы по теории

1 Аксиоматическое определение проективной плоскости .

2 Модели проективной плоскости (доказательство непротиворечивости системы аксиом).

3 Принцип двойственности. Примеры.

4 Теорема Дезарга и ее частные случаи.

5 Гармоническая четверка точек. Построение четвертой гармонической точки.

6 Сложное отношение четырех точек.

7 Квадрики на . Полюс и поляра. Построение полюсов и поляр.

 

Задачи

Модели . Принцип двойственности

1 В трехмерном евклидовом пространстве дана сфера. Под точкой множества М будем понимать две диаметрально противоположные точки этой сферы. Под прямой – множество пар диаметрально противоположных точек, лежащих на окружности большого круга. Доказать, что построенное множество является проективной плоскостью. Рассмотреть связку S прямых и плоскостей с центром в точке О, где О – центр данной сферы, и постройте отображение определяемое следующими условиями:

а) образом точки является прямая связки S;

б) образом прямой является плоскость , содержащая прямую .

Показать, что - биективное отображение, сохраняющее инцидентность.

2 Какие из следующих предложений справедливы на проективной плоскости и какие – на евклидовой плоскости:

а) существует одна и только одна прямая, инцидентная двум различным точкам;

б) существует одна и только одна точка, инцидентная двум различным прямым.

3 Какие из нижеприведенных предложений справедливы в трехмерном проективном пространстве и какие – в евклидовом пространстве:

а) существует одна и только одна прямая, инцидентная двум различным точкам;

б) существует одна и только одна точка, инцидентная двум различным прямым;

в) существует одна и только одна прямая, инцидентная двум различным плоскостям;

г) три различные плоскости имеют по крайней мере одну общую точку;

д) три различные прямые, не лежащие в одной плоскости, но попарно пересекающиеся, имеют одну и только одну общую точку;

е) три различные прямые, попарно не скрещивающиеся и не проходящие через одну общую точку, лежат в одной плоскости?

Замечание. Под проективной плоскостью трехмерного проективного пространства мы понимаем , где - трехмерное векторное подпространство четырехмерного векторного пространства .

4 Объяснить, почему в геометрии проективной плоскости не рассматриваются такие понятия, как «параллельность прямых», «перпендикулярность прямых», «биссектриса угла», «середина отрезка», «квадрат», «трапеция».

 

Теорема Дезарга

1 Рассмотреть частные случаи конфигурации Дезарга на расширенной плоскости, когда:

а) дезаргова ось – несобственная прямая;

б) дезаргов центр – несобственная точка.

Сформулировать соответствующие частные случаи прямой и обратной теорем Дезарга в терминах евклидовой геометрии.

2 Проверьте, что для любой прямой из конфигурации Дезарга можно подобрать такие два трехвершинника этой же конфигурации, для которых данная прямая будет дезарговой осью.

3 На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырехугольник так, что ее параллельные стороны параллельны одной из его диагоналей. Докажите, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

4 На евклидовой плоскости вершины параллелограмма лежат на сторонах параллелограмма так, что , , , . докажите, используя теорему Дезарга, что центр симметрии параллелограмма ABCD совпадает с центром симметрии параллелограмма .

5 Используя теорему Дезарга, докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

6 На евклидовой плоскости даны параллельные прямые и и точка Р, им не принадлежащая. Пользуясь одной линейкой, через точку Р проведите прямую, параллельную прямым и .

7 Точку пересечения двух прямых и будем называть недоступной, если эти прямые пересекаются за пределами чертежа. Пользуясь одной линейкой, проведите прямую через точку N и недоступную точку пересечения прямых и .