Различные виды уравнения плоскости

Каждая плоскость в пространстве Охуz определяется линейным уравнением

первой степени с тремя неизвестными.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку

М ₀ (x ₀; у ₀; z ₀)перпендикулярно вектору = { A; B; С }:

А (х - x ₀) + В (y - y ₀) + C (z - z ₀) = 0.

1. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую,

образованную пересечением плоскостей

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0 имеет вид:

 

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ + λ (А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂) = 0,

где λ – числовой множитель.

 

1. Общее уравнение плоскости:

 

Ах + Ву + Сz + D = 0.

Вектор = { A; B; C } – нормальный вектор плоскости

( перпендикулярен плоскости).

 

Частные случая уравнения:

 

Ах + Ву + Cz = 0 (D = 0) – плоскость проходит через начало координат;

Ах + Ву + D = 0 (C = 0) – плоскость параллельна оси Оz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах + Cz + D = 0 и Ву + Cz + D = 0);

Ах + Ву = 0 (D = C = 0) – плоскость проходит через ось Оz (Ах + Cz = 0,

Ву + Cz = 0 – через ось Оу и Ох соответственно);

Ах + D = 0 (В = С = 0) – плоскость параллельна плоскости Оуz (Cz + D = 0,

Ву + D = 0 – параллельна плоскости Оxу и Оxz соответственно);

Ах = 0, т.е. х = 0 (В = С = D = 0) – плоскость совпадает с плоскостью Оуz

(y = 0, z = 0 – уравнения плоскостей Оxz и Оxy соответственно);

1. Уравнение плоскости в отрезках: = 1.

а, b, с – длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых

плоскостью на осях Ох, Оу и Oz соответственно.

 

1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

М ₁(x ₁; у ₁; z ₁), М ₂(x ₂; у ₂; z ₂), М ₃(x ₃; у ₃; z ₃): = 0.

 

1. Нормальное уравнение плоскости: x cos α + y cos β + z cos γ – p = 0,

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат

на плоскость, α, β, γ – углы, образованные этим перпендикуляром

с положительными направлениями осей Ох, Оу и Oz соответственно

(cos² α +cos² β +cos² γ = 1)

Общее уравнение плоскости можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости).

Пример 1. Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) 2 у – 5 = 0; 2) x + z – 1 = 0;

3) 3 x + 4 y + 6 z – 12 = 0.

 

1). Плоскость 2 у – 5 = 0 параллельна плоскости Oxz; она отсекает на оси Оу отрезок, равный 2,5 и имеет вид, представленный на рис. 1.

 

2). Плоскость x + z – 1 = 0 параллельна оси Oу; она пересекает плоскость Оxz по прямой x + z = 1, отсекая на осях Оx и Оz отрезки, равные 1(рис.).

Эта плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки, равные 4, 3, 2

соответственно (рис. 3).

 

Рис.1. Рис.2. Рис.3.

Задание для самостоятельного решения

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точку М (-2, 3, 1) параллельно плоскости Оху; б) точку М и ось Оу. Построить эти

плоскости.

 

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точку A (5, - 4, 6) перпендикулярно оси Ох;

б) точку А и отсекающей равные отрезки на координатных осях. Построить эти плоскости.

 

Пример 2. Уравнение плоскости 2 х – 6 у + 3 z – 14 = 0 привести к нормальному виду.

Задание для самостоятельного решения

1. Определить направляющие косинусы радиус – вектора, перпендикулярного к плоскости

3 х – 4 у + 5 z – 10 = 0.

 

Пример 3. Написать уравнение плоскости:

 

а) параллельной оси Oz и проходящей через точки М ₁ (3, –1, 2) и М ₂ (–1, 2, 5);

Подставляя найденные значения А и В в уравнение

Ах + Ву + D =0, получаем Dx Dy + D =0. После сокращения на D получим 3 х + 4 у –5=0.

 

 

Задания для самостоятельного решения

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁ (2, 0, -1), М ₂ (-3, 1, 3), параллельно вектору s = { 1; 2; -1}.

 

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, -1, 0), параллельно векторам а = { 0; 2; 3} и b = { -1; 4; 2}.

 

Пример 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М ₁ (1, 0, -1),

М ₂ (2, 2, 3), М ₃ (0, -3, 1).

Задание для самостоятельного решения

 

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁ (- 2, 0, 0), М ₂ (0, 4, 0),

М ₃ (0, 0, 5).

 

решение,

 

Далее, воспользовавшись способом, приведенным в

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, 1, 1) перпендикулярно линии пересечения двух плоскостей x – y + 2 z – 3 = 0 и 2 x – z + 4 = 0.

 

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей

x – 2 y + 3 z – 4 = 0 и x + у – 5 z + 9 = 0 и параллельной оси Ох.

 

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

 

Под углом между плоскостями понимается угол между нормальными векторами этих плоскостей.

 

Если плоскости Q ₁ и Q ₂ заданы уравнениями А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0 и

А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0, нормальные вектора которых = { A ₁; B ₁; С ₁} и

= { A ₂; B ₂; С ₂}, то:

cos φ = .

 

Наименьший из двух смежных углов, образованных этими плоскостями, равен

cos φ = .

Условие параллельности плоскостей Q ₁ и Q ₂: .

Условие перпендикулярности плоскостей Q ₁ и Q ₂: A ₁ А ₂ + B ₁ B ₂ + C ₁ C ₂ = 0.

Плоскости совпадают, когда: .