Прямая и плоскость в пространстве

 

Угол между прямой и плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0:

sin φ = .

 

Условие параллельности прямой и плоскости: Аm + Вn + Сp = 0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой . Подставив х, у и z в уравнение плоскости А (х ₀ + m t) + В (y ₀ + n t)+ С (z ₀ + p t)+ D = 0, находим значение t = t_р. Координаты точки пересечения: _. .

Условие, при котором прямая лежит в плоскости:

 

.

 

Если Аm + Вn + Сp ≠ 0, то прямая пересекает плоскость;

 

если Аm + Вn + Сp = 0 и Ах ₀ + Вy ₀ + Сz ₀ + D ≠ 0 – прямая параллельна плоскости.

 

Задания для самостоятельного решения

Задания для самостоятельного решения

Задания для самостоятельного решения

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

1. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Линии, определяемые уравнениями Ax ² + 2 Bxy + Cy ² + 2 Dx + 2 Ey + F = 0, (1)

называются кривыми второго порядка. Данное уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

 

Окружность

Окружность – множество всех точек плоскости,

удаленных от заданной точки А плоскости – центра окруж-

ности – на одно и то же расстояние R – радиус окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окруж-

ности (каноническое уравнение окружности):

 

(x – a)² + (y – b)² = R ²,

где (a, b) – координаты ее центра.

В частности, если a = 0, b = 0 (центр совпадает с началом координат), то уравнение окружности имеет вид:

x ² + y ² = R ².

 

Общее уравнение второй степени (1) определяет окружность, если

А = С ≠ 0 и В = 0.

 

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х ² + у ² – 4 х + 8 у – 16 = 0; а) 9 х ² + 9 у ² + 42 х – 54 у – 95 = 0.

 

а) Выделяем полные квадраты в левой части уравнения:

х ² + у ² – 4 х + 8 у – 16 = х ²– 4 х + 4 – 4 + у ² + 8 у + 16 – 16 – 16 = (х – 2)² + (у + 4)² = 6².

Центр окружности находится в точке О (2; -4), а радиус равен 6.

б) Разделив обе части уравнения на 9, найдем х ² + у ² + х – 6 у – = 0. Выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения: х ² + х + + у ² – 6 у + 9 – – 9 – = (х + )² + (у –3)² = 5².

Центр окружности находится в точке О (- ; 3), а радиус R = 5.

 

Задания для самостоятельного решения

Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х ² + у ² – 4 х + 6 у – 3 = 0; б) 3 х ² + 3 у ² + 6 х – 4 у – 2 = 0.

 

Пример 2. Написать уравнения касательных к окружности х ² + у ² – 6 х + 4 у – 12 = 0, проведенных из

точки М (0; 3).

 

Уравнения касательных должны иметь вид (в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом) y = kx + 3. Уравнение окружности приведем к каноническому виду, выделяя полные квадраты по х и по у:

х ² + у ² – 6 х + 4 у – 12 => (х – 3)² + (у + 2)² = 25.

Для нахождения общих точек прямой и окружности надо решить систему уравнений

.

Имеем: (х – 3)² + (kx + 3 + 2)² = 25, т.е. х ²– 6 х + 9 + k ² x ² + 10 kx + 25 = 25, поэтому

(k ² + 1) x ² + (10 k – 6) x + 9 = 0. Т.к. прямая касается окружности, то это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен нулю, т.е. (5 k – 3)² – 9(k ² + 1) = 0, откуда k ₁ = 0, k ₂ = .

Значит, у = 3 и у = х + 3 – искомые уравнения.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку (-4; 2).

 

2. Найти уравнения касательных к окружности (х – 4)² + (у –2)² = 4, проведенных из начала координат.

 

3. Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 3 х + 4 у – 12 = 0,

4 х – 3 у + 12 = 0, у = 0.

 

Пример 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1; 3), (0; 2), (1; -1).

 

Уравнение окружности ищем в виде (х – a)² + (у – b)² = R ². Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и R: . Из первых двух уравнений получаем (-1 – a)² + (3– b)² = a ² + (2– b)², т.е. 1 + 2 a + a ² + 9 – 6 b + b ² = a ² + 4 – 4 b + b ², поэтому a – b = – 3; из второго и третьего уравнений системы получаем a ² + (2– b)² = (1 – a)² + (-1– b)², отсюда a – 3 b = – 1. Решая систему уравнений , находим a = – 4, b = – 1. Подставляя эти значения a и b во второе уравнение первоначальной системы, находим: 16 + 9 = R ², т.е. R ² = 25.

Т.о., искомое уравнение есть (х + 4)² + (у +1)² = 25.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Написать уравнение окружности, если:

а) центр находится в точке С (-2; 0), а радиус R = 2;

б) центр лежит в точке С (-4; 5) и окружность проходит через точку М (-1; 1);

в) концы одного из диаметров имеют координаты (0; 4) и (6; 0).

 

3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 5), В (5; -1), если ее центр лежит на прямой х – у – 2 = 0.

 

 

Эллипс

Эллипс – множество точек плоскости, сумма

расстояний от каждой из которых до двух данных

точек – фокусов эллипса – величина постоянная,

большая, чем расстояние между фокусами.

 

Каноническое уравнение эллипса:

+ = 1, (2)

а – большая полуось, b – малая полуось эллипса.

Координаты фокусов: F ₁(- c; 0), F ₂(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с ² = а ² – b ².

Точки A, B, C, D – вершины эллипса, точка О – центр эллипса, расстояния r ₁ и r ₂ от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение ε = (ε < 1, т.к. с < а).

 

Фокальные радиусы: r ₁= а + εх, r ₂= а – εх (r ₁ + r ₂ = 2 а).

 

Директрисами эллипса называются прямые l ₁ и l ₂ параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; уравнения директрис: х = - , х = .

Если а = b, то уравнение (2) определяет окружность x ² + y ² = а ².

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид,

изображенный на рисунке. В этом случае:

b > a, с ² = b ² – a ², ε = , уравнения директрис у = .

Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным:

+ = 1,

где (х ₀; у ₀) – координаты центра эллипса.

 

Параметрические уравнения эллипса: , t [0; 2 π ].

t – угол между осью Ох и прямой ОМ, соединяющей центр

эллипса с его точкой М.

 

Пример 4. Показать, что уравнение 4 х ² + 3 у ² – 8 х + 12 у – 32 = 0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.

 

Преобразуем данное уравнение кривой (выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения):

 

4 х ² + 3 у ² – 8 х + 12 у – 32 = 4(х ²– 2 х + 1 – 1) + 3(у ² + 4 у + 4 – 4) – 32 = 4(х – 1)² + 3(у + 2)² = 48,

т.е. + = 1. Получили каноническое уравнение эллипса, центр симметрии которого имеет координаты (1; -2). Из уравнения находим: а ² = 12, а = 2 и b ² = 16, b = 4 (b > a). Поэтому

с = = = 2. Эксцентриситет эллипса ε = = .

Пример 5. Дано уравнение эллипса 24 х ² + 49 у ² = 1176. Найти

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет эллипса;

4) уравнения директрис и расстояние между ними;

5) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F ₁ равно 12.

Разделив правую и левую части уравнения на 1176, получим каноническое уравнение эллипса: + = 1.

1) Отсюда а ² = 49, b ² = 24, т.е. а = 7, b = 2 .

2) с = = = 5. Следовательно, F ₁ (-5; 0) и F ₂ (5; 0).

3) a > b = > ε = = .

4) Уравнения директрис имеют вид: х = ± = ± = ± .

Расстояние между ними d = – = = 19,6.

5) По формуле r ₁ = a + ε x находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки F ₁ равно 12:

12 = 7 + х, т.е. х = 7. Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек:

24 · 49 + 49 у ² = 1176, 49 у ² = 0, у = 0. Условию задачи удовлетворяет точка А (7; 0).

 

Задания для самостоятельного решения

1. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса

16 х ² + 25 у ² – 400 = 0.

 

2. Составить уравнение эллипса, зная, что:

1) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F ₁ (-6; 0), F ₂ (10; 0).

2) a = 5, F ₁ (-3; 5), F ₂ (3; 5).

 

Пример 6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки А (2; - 4 ) и В (-1; 2 ).

 

Уравнение эллипса ищем в виде + = 1. Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим два уравнения для определения a и b: + = 1 и + = 1. Умножая второе уравнение на (-4) и складывая с первым, находим – = –3, т.е. b ² = 64. Подставляя полученное значения b ² в первое уравнение, получаем + = 1, откуда а ² = 16.

Т.о., искомое уравнение эллипса есть + = 1.

 

 

Задания для самостоятельного решения

1. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох,

симметрично относительно начала координат, если:

а) задана точка М (2 ; 1) эллипса и его малая полуось равна 2;

б) заданы две точки эллипса М ₁(0; 7) и М ₂(8; 0);

в) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26;

г) эксцентриситет равен ε = и заданы фокусы (±7; 0).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично

относительно начала координат, если:

а) М ₁(2 ; 0,4 ) и М ₂(- ; ) – точки эллипса;

б) точка М (3; -2 ) принадлежит эллипсу, ε = ;

в) 2 а = 20, ε = ;

г) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5.

 

Пример 7. Найти уравнение касательной к эллипсу + = 1 перпендикулярно прямой х – у + 50 = 0.

Уравнение касательной должно иметь вид (в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом) y = kx + с.

Угловой коэффициент k найдем из условия k · k ₁ = -1 перпендикулярности прямых, где k ₁ – угловой коэффициент прямой х – у + 50 = 0. Т.к. k ₁ = 1 (у = х + 50), то k = -1, уравнение касательной к эллипсу имеет вид у = – х + с. Общие точки прямой и эллипса находим, решая систему уравнений .

Получаем + = 1, т.е. 5 х ² – 8 сх + 4 с ² – 20 = 0. Уравнение имеет единственное решение (прямая касается эллипса, т.е. имеет с ним единственную общую точку) лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю, т.е. 64 с ² – 4 · 5(4 с ² – 20) = 0 или 4 с ² – 5(с ² – 5) = 0. Значит, есть два решения:

с ₁ = 5 и с ₂ = -5. Условию задачи удовлетворяют две касательные: у = – х + 5 и у = – х – 5.

 

Задания для самостоятельного решения

1. При каких значениях α прямая у = х – α пересекает эллипс х ² + 2 у ² – 4 = 0? Касается его?

 

2. Эллипс касается оси Оу в точке А (0; 2) и пересекает ось Ох в точках В (4; 0) и С (10; 0).

Составить уравнение эллипса, если оси его параллельны осям координат.

 

Пример 8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, а малая ось равна 2 .

Каждый из фокусов равноудален от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси.

 

Уравнение эллипса имеет вид + = 1, b > a. По условию задачи 2 а =2 , т.е. а = , и с = .

Т.к. с ² = b ² – a ², то получаем: = b ² – 3, т.е. b ² = 4. Т.о., уравнение эллипса есть + = 1.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оу, симметрично

относительно начала координат, если:

а) его полуоси равны 5 и 8;

б) 2 с = 24, ε = .

 

 

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плос-

кости, модуль разности расстояний от каждой из ко-

торых до двух заданных точек – фокусов, есть вели-

чина постоянная, меньшая, чем расстояние между

фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

– = 1, (3)

а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.

Координаты фокусов: F ₁(- c; 0), F ₂(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с ² = а ² + b ².

Точки A и B – вершины гиперболы, точка О – центр гиперболы, расстояния r ₁ и r ₂ от произвольной точки М гиперболы до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситет гиперболы: ε = (ε > 1, т.к. с > а).

Фокальные радиусы:

для правой ветви гиперболы: r ₁= а + εх, r ₂= - а + εх (| r ₁ – r ₂| = 2 а),

для левой ветви гиперболы: r ₁= - а – εх, r ₂= а – εх (| r ₁ – r ₂| = 2 а),

 

Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны соответственно 2 а и 2 b и параллельны осям гиперболы, называется прямоугольником гиперболы. Диагонали прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы. Они определяются уравнениями: у = х.

Директрисами гиперболы называются прямые l ₁ и l ₂ параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; их уравнения: х = - , х = .

Если а = b, то гипербола (3) называется равносторонней:

x ² – y ² = а ².

Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы

имеет вид: – = - 1. (4)

В этом случае: b > a, ε = , уравнения директрис у = .

Гипербола (4) называется сопряженной гиперболе (3).

 

Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным:

– = 1,

где (х ₀; у ₀) – координаты центра гиперболы.

 

Пример 9. Дано уравнение гиперболы 5 х ² – 4 у ² = 20. Найти

6) длины его полуосей;

7) координаты фокусов;

8) эксцентриситет гиперболы;

9) уравнения асимптот и директрис;

10) фокальные радиусы точки М (3; 2; 5).

Разделив правую и левую части уравнения на 20, получим каноническое уравнение гиперболы: – = 1.

Отсюда

1) а ² = 4, b ² = 5, т.е. а = 2, b = .

2) с = = = 3. Следовательно, F ₁ (-3; 0) и F ₂ (3; 0).

3) ε = = .

4) Уравнения асимптот и директрис имеют вид: у = ± х и х = ± = ± = ± .

5) Точка М лежит на правой ветви гиперболы (х = 3 > 0), следовательно,

r ₁ = 2 + · 3 = 6,5, r ₂ = –2 + · 3 = 2,5.

Пример 10. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между равно 10, а

длина действительной оси равна 8.

Уравнение гиперболы имеет вид – = 1. По условию задачи 2 с =10, т.е с = 5; 2 b = 8, b = 4.

Т.к. с ² = a ² + b ², то получаем: 25 = a ² + 16, т.е. a ² = 9, a = 3. Т.о., уравнение гиперболы – = 1.

Задания для самостоятельного решения

1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

а) 2 с = 10, а = 3;

б) с = 3, ε = 1,5;

с) b = 6, уравнения асимптот у = ± х.

1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

а) с = 10 и уравнения асимптот у = ± х;

б) ε = 1,5 и расстояние между директрисами равно 8/3;

в) ε = 2 и точка М (; ) лежит на гиперболе.

 

Пример 11. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках, F ₁ (-2; 4) и F ₂ (12; 4), а

длина мнимой оси равна 6.

Центр гиперболы лежит на прямой у = 4, параллельной оси Ох. Уравнение гиперболы имеет вид

– = 1. По условию задачи 2 b =6, т.е b = 3. 2 b = 8, b = 4. Расстояние между фокусами равно 14, т.е. 2 с = 14, с = 7. Т.к. с ² = a ² + b ², то: 49 = a ² + 9, т.е. a ² = 40, a = 2 . Центр гиперболы делит расстояние между фокусами пополам. Поэтому х ₀ = = 5, у ₀ = = 4. Т.о., уравнение гиперболы – = 1.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки

А (6; -1) и В (-8; -2 ).

 

1. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку М (4; - ). Найти расстояние

от точки М до правого фокуса.

 

Пример 12. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.

Уравнения асимптот гиперболы: у = ± х. Найдем отношение : ε = 2, ε = = = . Отсюда = ε ² – 1, т.е. = . Имеем: = = . Т.о., уравнения асимптот гиперболы есть у = ± х. Угол φ между асимптотами найдем по формуле tg φ = = = , φ = .

Задание для самостоятельного решения

Составить уравнения асимптот гиперболы – = 1, построить ее.

 

Пример 13. Дан эллипс 5 х ² + 8 у ² = 40. Найти уравнение гиперболы, вершины

которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

Найдем координаты вершин А и В и фокусов эллипса, записав его уравнение

в канонической форме + = 1. Имеем а ² = 8, а = 2 ; b ² = 5, а = .

Из соотношения с ² = a ²– b ² находим с: с ² = 8 – 5, с = . Можно записать: