Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Прямая и плоскость в пространствеСодержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Угол между прямой и плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0: sin φ = .
Условие параллельности прямой и плоскости: Аm + Вn + Сp = 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: . Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой . Подставив х, у и z в уравнение плоскости А (х 0 + m t) + В (y 0 + n t)+ С (z 0 + p t)+ D = 0, находим значение t = tр. Координаты точки пересечения: . . Условие, при котором прямая лежит в плоскости:
.
Если Аm + Вn + Сp ≠ 0, то прямая пересекает плоскость;
если Аm + Вn + Сp = 0 и Ах 0 + Вy 0 + Сz 0 + D ≠ 0 – прямая параллельна плоскости.
Задания для самостоятельного решения Задания для самостоятельного решения
Задания для самостоятельного решения
Задания для самостоятельного решения
Линии, определяемые уравнениями Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0, (1) называются кривыми второго порядка. Данное уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
Окружность Окружность – множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки А плоскости – центра окруж- ности – на одно и то же расстояние R – радиус окружности. В прямоугольной системе координат уравнение окруж- ности (каноническое уравнение окружности):
(x – a)2 + (y – b)2 = R 2, где (a, b) – координаты ее центра. В частности, если a = 0, b = 0 (центр совпадает с началом координат), то уравнение окружности имеет вид: x 2 + y 2 = R 2.
Общее уравнение второй степени (1) определяет окружность, если А = С ≠ 0 и В = 0.
Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности: а) х 2 + у 2 – 4 х + 8 у – 16 = 0; а) 9 х 2 + 9 у 2 + 42 х – 54 у – 95 = 0.
а) Выделяем полные квадраты в левой части уравнения: х 2 + у 2 – 4 х + 8 у – 16 = х 2– 4 х + 4 – 4 + у 2 + 8 у + 16 – 16 – 16 = (х – 2)2 + (у + 4)2 = 62. Центр окружности находится в точке О (2; -4), а радиус равен 6. б) Разделив обе части уравнения на 9, найдем х 2 + у 2 + х – 6 у – = 0. Выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения: х 2 + х + + у 2 – 6 у + 9 – – 9 – = (х + )2 + (у –3)2 = 52. Центр окружности находится в точке О (- ; 3), а радиус R = 5.
Задания для самостоятельного решения Найти координаты центра и радиус окружности: а) х 2 + у 2 – 4 х + 6 у – 3 = 0; б) 3 х 2 + 3 у 2 + 6 х – 4 у – 2 = 0.
Пример 2. Написать уравнения касательных к окружности х 2 + у 2 – 6 х + 4 у – 12 = 0, проведенных из точки М (0; 3).
Уравнения касательных должны иметь вид (в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом) y = kx + 3. Уравнение окружности приведем к каноническому виду, выделяя полные квадраты по х и по у: х 2 + у 2 – 6 х + 4 у – 12 => (х – 3)2 + (у + 2)2 = 25. Для нахождения общих точек прямой и окружности надо решить систему уравнений . Имеем: (х – 3)2 + (kx + 3 + 2)2 = 25, т.е. х 2– 6 х + 9 + k 2 x 2 + 10 kx + 25 = 25, поэтому (k 2 + 1) x 2 + (10 k – 6) x + 9 = 0. Т.к. прямая касается окружности, то это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен нулю, т.е. (5 k – 3)2 – 9(k 2 + 1) = 0, откуда k 1 = 0, k 2 = . Значит, у = 3 и у = х + 3 – искомые уравнения.
Задания для самостоятельного решения 1. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку (-4; 2).
2. Найти уравнения касательных к окружности (х – 4)2 + (у –2)2 = 4, проведенных из начала координат.
3. Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 3 х + 4 у – 12 = 0, 4 х – 3 у + 12 = 0, у = 0.
Пример 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1; 3), (0; 2), (1; -1).
Уравнение окружности ищем в виде (х – a)2 + (у – b)2 = R 2. Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и R: . Из первых двух уравнений получаем (-1 – a)2 + (3– b)2 = a 2 + (2– b)2, т.е. 1 + 2 a + a 2 + 9 – 6 b + b 2 = a 2 + 4 – 4 b + b 2, поэтому a – b = – 3; из второго и третьего уравнений системы получаем a 2 + (2– b)2 = (1 – a)2 + (-1– b)2, отсюда a – 3 b = – 1. Решая систему уравнений , находим a = – 4, b = – 1. Подставляя эти значения a и b во второе уравнение первоначальной системы, находим: 16 + 9 = R 2, т.е. R 2 = 25. Т.о., искомое уравнение есть (х + 4)2 + (у +1)2 = 25.
Задания для самостоятельного решения 1. Написать уравнение окружности, если: а) центр находится в точке С (-2; 0), а радиус R = 2; б) центр лежит в точке С (-4; 5) и окружность проходит через точку М (-1; 1); в) концы одного из диаметров имеют координаты (0; 4) и (6; 0).
3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 5), В (5; -1), если ее центр лежит на прямой х – у – 2 = 0.
Эллипс Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек – фокусов эллипса – величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса: + = 1, (2) а – большая полуось, b – малая полуось эллипса. Координаты фокусов: F 1(- c; 0), F 2(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с 2 = а 2 – b 2. Точки A, B, C, D – вершины эллипса, точка О – центр эллипса, расстояния r 1 и r 2 от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Эксцентриситетом эллипса называется отношение ε = (ε < 1, т.к. с < а).
Фокальные радиусы: r 1= а + εх, r 2= а – εх (r 1 + r 2 = 2 а).
Директрисами эллипса называются прямые l 1 и l 2 параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; уравнения директрис: х = - , х = . Если а = b, то уравнение (2) определяет окружность x 2 + y 2 = а 2.
Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид, изображенный на рисунке. В этом случае: b > a, с 2 = b 2 – a 2, ε = , уравнения директрис у = . Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным: + = 1, где (х 0; у 0) – координаты центра эллипса.
Параметрические уравнения эллипса: , t [0; 2 π ]. t – угол между осью Ох и прямой ОМ, соединяющей центр эллипса с его точкой М.
Пример 4. Показать, что уравнение 4 х 2 + 3 у 2 – 8 х + 12 у – 32 = 0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.
Преобразуем данное уравнение кривой (выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения):
4 х 2 + 3 у 2 – 8 х + 12 у – 32 = 4(х 2– 2 х + 1 – 1) + 3(у 2 + 4 у + 4 – 4) – 32 = 4(х – 1)2 + 3(у + 2)2 = 48, т.е. + = 1. Получили каноническое уравнение эллипса, центр симметрии которого имеет координаты (1; -2). Из уравнения находим: а 2 = 12, а = 2 и b 2 = 16, b = 4 (b > a). Поэтому с = = = 2. Эксцентриситет эллипса ε = = . Пример 5. Дано уравнение эллипса 24 х 2 + 49 у 2 = 1176. Найти 1) длины его полуосей; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет эллипса; 4) уравнения директрис и расстояние между ними; 5) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F 1 равно 12. Разделив правую и левую части уравнения на 1176, получим каноническое уравнение эллипса: + = 1. 1) Отсюда а 2 = 49, b 2 = 24, т.е. а = 7, b = 2 . 2) с = = = 5. Следовательно, F 1 (-5; 0) и F 2 (5; 0). 3) a > b = > ε = = . 4) Уравнения директрис имеют вид: х = ± = ± = ± . Расстояние между ними d = – = = 19,6. 5) По формуле r 1 = a + ε x находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки F 1 равно 12: 12 = 7 + х, т.е. х = 7. Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек: 24 · 49 + 49 у 2 = 1176, 49 у 2 = 0, у = 0. Условию задачи удовлетворяет точка А (7; 0).
Задания для самостоятельного решения 1. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса 16 х 2 + 25 у 2 – 400 = 0.
2. Составить уравнение эллипса, зная, что: 1) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F 1 (-6; 0), F 2 (10; 0). 2) a = 5, F 1 (-3; 5), F 2 (3; 5).
Пример 6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки А (2; - 4 ) и В (-1; 2 ).
Уравнение эллипса ищем в виде + = 1. Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим два уравнения для определения a и b: + = 1 и + = 1. Умножая второе уравнение на (-4) и складывая с первым, находим – = –3, т.е. b 2 = 64. Подставляя полученное значения b 2 в первое уравнение, получаем + = 1, откуда а 2 = 16. Т.о., искомое уравнение эллипса есть + = 1.
Задания для самостоятельного решения
симметрично относительно начала координат, если: а) задана точка М (2 ; 1) эллипса и его малая полуось равна 2; б) заданы две точки эллипса М 1(0; 7) и М 2(8; 0); в) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26; г) эксцентриситет равен ε = и заданы фокусы (±7; 0). 2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если: а) М 1(2 ; 0,4 ) и М 2(- ; ) – точки эллипса; б) точка М (3; -2 ) принадлежит эллипсу, ε = ; в) 2 а = 20, ε = ; г) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5.
Пример 7. Найти уравнение касательной к эллипсу + = 1 перпендикулярно прямой х – у + 50 = 0. Уравнение касательной должно иметь вид (в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом) y = kx + с. Угловой коэффициент k найдем из условия k · k 1 = -1 перпендикулярности прямых, где k 1 – угловой коэффициент прямой х – у + 50 = 0. Т.к. k 1 = 1 (у = х + 50), то k = -1, уравнение касательной к эллипсу имеет вид у = – х + с. Общие точки прямой и эллипса находим, решая систему уравнений . Получаем + = 1, т.е. 5 х 2 – 8 сх + 4 с 2 – 20 = 0. Уравнение имеет единственное решение (прямая касается эллипса, т.е. имеет с ним единственную общую точку) лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю, т.е. 64 с 2 – 4 · 5(4 с 2 – 20) = 0 или 4 с 2 – 5(с 2 – 5) = 0. Значит, есть два решения: с 1 = 5 и с 2 = -5. Условию задачи удовлетворяют две касательные: у = – х + 5 и у = – х – 5.
Задания для самостоятельного решения 1. При каких значениях α прямая у = х – α пересекает эллипс х 2 + 2 у 2 – 4 = 0? Касается его?
2. Эллипс касается оси Оу в точке А (0; 2) и пересекает ось Ох в точках В (4; 0) и С (10; 0). Составить уравнение эллипса, если оси его параллельны осям координат.
Пример 8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, а малая ось равна 2 . Каждый из фокусов равноудален от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси.
Уравнение эллипса имеет вид + = 1, b > a. По условию задачи 2 а =2 , т.е. а = , и с = . Т.к. с 2 = b 2 – a 2, то получаем: = b 2 – 3, т.е. b 2 = 4. Т.о., уравнение эллипса есть + = 1.
Задания для самостоятельного решения 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оу, симметрично относительно начала координат, если: а) его полуоси равны 5 и 8; б) 2 с = 24, ε = .
Гипербола Гиперболой называется множество точек плос- кости, модуль разности расстояний от каждой из ко- торых до двух заданных точек – фокусов, есть вели- чина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение гиперболы: – = 1, (3) а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы. Координаты фокусов: F 1(- c; 0), F 2(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с 2 = а 2 + b 2. Точки A и B – вершины гиперболы, точка О – центр гиперболы, расстояния r 1 и r 2 от произвольной точки М гиперболы до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Эксцентриситет гиперболы: ε = (ε > 1, т.к. с > а). Фокальные радиусы: для правой ветви гиперболы: r 1= а + εх, r 2= - а + εх (| r 1 – r 2| = 2 а), для левой ветви гиперболы: r 1= - а – εх, r 2= а – εх (| r 1 – r 2| = 2 а),
Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны соответственно 2 а и 2 b и параллельны осям гиперболы, называется прямоугольником гиперболы. Диагонали прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы. Они определяются уравнениями: у = х. Директрисами гиперболы называются прямые l 1 и l 2 параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; их уравнения: х = - , х = . Если а = b, то гипербола (3) называется равносторонней:
x 2 – y 2 = а 2. Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы имеет вид: – = - 1. (4) В этом случае: b > a, ε = , уравнения директрис у = . Гипербола (4) называется сопряженной гиперболе (3).
Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным: – = 1, где (х 0; у 0) – координаты центра гиперболы.
Пример 9. Дано уравнение гиперболы 5 х 2 – 4 у 2 = 20. Найти 6) длины его полуосей; 7) координаты фокусов; 8) эксцентриситет гиперболы; 9) уравнения асимптот и директрис; 10) фокальные радиусы точки М (3; 2; 5). Разделив правую и левую части уравнения на 20, получим каноническое уравнение гиперболы: – = 1. Отсюда 1) а 2 = 4, b 2 = 5, т.е. а = 2, b = . 2) с = = = 3. Следовательно, F 1 (-3; 0) и F 2 (3; 0). 3) ε = = . 4) Уравнения асимптот и директрис имеют вид: у = ± х и х = ± = ± = ± . 5) Точка М лежит на правой ветви гиперболы (х = 3 > 0), следовательно, r 1 = 2 + · 3 = 6,5, r 2 = –2 + · 3 = 2,5. Пример 10. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между равно 10, а длина действительной оси равна 8. Уравнение гиперболы имеет вид – = 1. По условию задачи 2 с =10, т.е с = 5; 2 b = 8, b = 4. Т.к. с 2 = a 2 + b 2, то получаем: 25 = a 2 + 16, т.е. a 2 = 9, a = 3. Т.о., уравнение гиперболы – = 1. Задания для самостоятельного решения
а) 2 с = 10, а = 3; б) с = 3, ε = 1,5; с) b = 6, уравнения асимптот у = ± х.
а) с = 10 и уравнения асимптот у = ± х; б) ε = 1,5 и расстояние между директрисами равно 8/3; в) ε = 2 и точка М (; ) лежит на гиперболе.
Пример 11. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках, F 1 (-2; 4) и F 2 (12; 4), а длина мнимой оси равна 6. Центр гиперболы лежит на прямой у = 4, параллельной оси Ох. Уравнение гиперболы имеет вид – = 1. По условию задачи 2 b =6, т.е b = 3. 2 b = 8, b = 4. Расстояние между фокусами равно 14, т.е. 2 с = 14, с = 7. Т.к. с 2 = a 2 + b 2, то: 49 = a 2 + 9, т.е. a 2 = 40, a = 2 . Центр гиперболы делит расстояние между фокусами пополам. Поэтому х 0 = = 5, у 0 = = 4. Т.о., уравнение гиперболы – = 1. Задания для самостоятельного решения 1. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки А (6; -1) и В (-8; -2 ).
от точки М до правого фокуса.
Пример 12. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2. Уравнения асимптот гиперболы: у = ± х. Найдем отношение : ε = 2, ε = = = . Отсюда = ε 2 – 1, т.е. = . Имеем: = = . Т.о., уравнения асимптот гиперболы есть у = ± х. Угол φ между асимптотами найдем по формуле tg φ = = = , φ = . Задание для самостоятельного решения Составить уравнения асимптот гиперболы – = 1, построить ее.
Пример 13. Дан эллипс 5 х 2 + 8 у 2 = 40. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса. Найдем координаты вершин А и В и фокусов эллипса, записав его уравнение в канонической форме + = 1. Имеем а 2 = 8, а = 2 ; b 2 = 5, а = . Из соотношения с 2 = a 2– b 2 находим с: с 2 = 8 – 5, с = . Можно записать: А (2 ; 0), |
Познавательные статьи:
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; просмотров: 3394; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.23.138 (0.008 с.)