Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямыхСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Под углом между прямыми l 1 и l 2 плоскости понимается наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэф- фициентом y = k 1 x + b 1и y = k 2 x + b 2, то угол φ между ними равен: tg φ = . Условие параллельности прямых l 1 и l 2: k 1 = k 2 . Условие перпендикулярности прямых l 1 и l 2: k 1 = – (или k 1 k 2 = – 1). Если прямые l 1 и l 2 заданы общими уравнениями А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0, то угол φ между ними равен углу между их нормальными векторами = { A 1; B 1} и = { A 2; B 2}: tg φ = .
Условие параллельности прямых l 1 и l 2: (или A 1 B 2 – А 2 B 1 = 0). Условие перпендикулярности прямых l 1 и l 2: A 1 А 2 + B 1 B 2 = 0.
Для нахождения общих точек прямых l 1 и l 2 необходимо решить систему уравнений или При этом: если , то имеется единственная точка пересечения прямых; если , прямые не имеют общей точки, т.е. параллельны; если , прямые совпадают. Расстояние от данной точки до данной прямой
Расстоянием d от точки М 0 (x 0; у 0) до прямой Ах + Ву + С = 0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую: d = .
Расстояние d от точки М 0 (x 0; у 0) до прямой х cos α + у sin α – p = 0:
d = | х 0cos α + у 0sin α – p |.
Пример 1. Найти угол между прямыми:
1) у = 2 х – 3 и у = 1¤2 х + 5; 2) 2 х – 3 у + 10 = 0 и 5 х – у + 4= 0; 3) у = 3¤4 х – 2 и 8 х + 6 у + 5 = 0. 1) Имеем: tg φ = = = = , φ = arctg (φ ≈ 37º); 2) tg φ = = = = 1, φ = . 3) Здесь k 1 = , найдем k 2. Для этого перейдем от 6 у = – 8 х – 5 к эквивалентному равенству у = – х – . Здесь k 2 = – . Т.к. k 1 · k 2 = – 1, то данные прямые перпендикулярны. Можно воспользоваться формулой: tg φ = = = ∞, φ = . Задания для самостоятельного решения 1. Найти угол между прямыми: а) 3 х + 2 у – 1 = 0 и 5 х – у + 4 = 0; б) у = 3,5 х – 3 и 7 х – 2 у + 2= 0; в) х + 4 у + 10 = 0 и 5 у – 3= 0.
2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых: а) 3 х + 5 у – 9 = 0 и 10 х – 6 у + 4 = 0; б) 2 у = х – 1 и 4 у – 2 х + 2= 0; в) х + у = 0 и х – у = 0; г) 2 х + 3 у = 8 и х + у – 3 = 0.
Пример 2. Через точку пересечения 3 х – 2 у + 5 = 0, х + 2 у – 9= 0 проведена прямая, параллельная прямой 2 х + у + 6 = 0. Составить ее уравнение. Задания для самостоятельного решения 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (-1, 2): а) параллельно прямой у = 2 х – 7; б) перпендикулярно прямой х + 3 у - 2 = 0.
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку В (2, -3): а) параллельно прямой, соединяющей точки М 1 (- 4, 0) и М 2 (2, 2); б) перпендикулярно прямой х – у = 0.
Пример 3. Найти координаты точки М 2, симметричной точке М 1 (- 3, 4) относительно прямой 4 х – у – 1 = 0.
Задания для самостоятельного решения 1. Точка А (2, -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х – 2 у – 7 = 0. Найти площадь этого квадрата.
2. Две стороны квадрата лежат на прямых 5 х – 12 у – 65 = 0 и 5 х – 12 у + 26 = 0. Найти площадь квадрата.
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (1, 2) так, чтобы расстояние от этой прямой до точек М 1 (2, 3) и М 2 (4, -5) были бы равны.
Пример 4. Написать уравнение прямой l 2, проходящей через точку А (0, 2) под углом p /4 к прямой l 1: х – 2 у + 3 = 0. Смешанные задачи на прямую Задания для самостоятельного решения 1. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2 х + у + 4 = 0, х + 7 у – 11 = 0 и 3 х – 5 у – 7 = 0.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (- 2, 1): а) параллельно оси Оу; б) образующей с осью Ох угол 3/ 4 p; в) перпендикулярно вектору а = { 4; 2 }; г) параллельно биссектрисе первого координатного угла; д) перпендикулярно прямой 6 х – у + 2 = 0; е) отсекающей на оси Оу отрезок длиной 5.
3. Дан четырехугольник ABCD с вершинами А (3, 5), B (6, 6), C (5, 3), D (1, 1). Найти: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) угол между диагоналями.
4. Луч света, пройдя через точки А (4, 6) и B (5, 8), упал на прямую х – 2 у + 2 = 0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч.
5. Известны вершины треугольника А (-4, -2), B (0, 1), C (2, -1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины В.
6. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки А (-1, 2) на прямую 3 х – 5 у – 21 = 0.
7. Дан треугольник с вершинами в точках А (2, 5), B (5, -1), C (8, 3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х + у + 4 = 0.
8. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба: х + 2 у – 4 = 0, х + 2 у – 10 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х – у + 2 = 0. Найти координаты вершин ромба.
9. Дан треугольник ABC с вершинами в точках А (2, 5), B (5, -1), C (8, 3). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.
10. Даны две вершины равносторонненго треугольника ABC: А (-6, 0), B (0, 0). Найти координаты третьей вершины С.
11. Даны вершины треугольника ABC: А (2, -2), B (3, 5), C (6, 1). Найти: а) длины сторон АС и ВС; б) уравнения прямых, на которых лежат стороны АС и ВС; в) уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки В; г) длину этой высоты; д) уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки А; е) длину этой медианы; ж) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С; з) центр тяжести треугольника; и) площадь треугольника; к) угол С.
|
||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; просмотров: 1638; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.72.181 (0.009 с.) |