Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых

Под углом между прямыми l ₁ и l ₂ плоскости

понимается наименьший (острый) из двух смежных

углов, образованных этими прямыми.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэф-

фициентом y = k ₁ x + b ₁и y = k ₂ x + b ₂,

то угол φ между ними равен: tg φ = .

Условие параллельности прямых l ₁ и l ₂: k ₁ = k ₂ .

Условие перпендикулярности прямых l ₁ и l ₂: k ₁ = – (или k ₁ k ₂ = – 1).

Если прямые l ₁ и l ₂ заданы общими уравнениями А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0,

то угол φ между ними равен углу между их нормальными векторами = { A ₁; B ₁} и

= { A ₂; B ₂}:

tg φ = .

 

Условие параллельности прямых l ₁ и l ₂: (или A ₁ B ₂ – А ₂ B ₁ = 0).

Условие перпендикулярности прямых l ₁ и l ₂: A ₁ А ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

 

Для нахождения общих точек прямых l ₁ и l ₂ необходимо решить систему уравнений

или

При этом:

если , то имеется единственная точка пересечения прямых;

если , прямые не имеют общей точки, т.е. параллельны;

если , прямые совпадают.

Расстояние от данной точки до данной прямой

 

Расстоянием d от точки М ₀ (x ₀; у ₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую:

d = .

 

Расстояние d от точки М ₀ (x ₀; у ₀) до прямой х cos α + у sin α – p = 0:

 

d = | х ₀cos α + у ₀sin α – p |.

 

Пример 1. Найти угол между прямыми:

 

1) у = 2 х – 3 и у = ¹¤₂ х + 5; 2) 2 х – 3 у + 10 = 0 и 5 х – у + 4= 0; 3) у = ³¤₄ х – 2 и 8 х + 6 у + 5 = 0.

1) Имеем: tg φ = = = = , φ = arctg (φ ≈ 37º);

2) tg φ = = = = 1, φ = .

3) Здесь k ₁ = , найдем k ₂. Для этого перейдем от 6 у = – 8 х – 5 к эквивалентному равенству

у = – х – . Здесь k ₂ = – . Т.к. k ₁ · k ₂ = – 1, то данные прямые перпендикулярны.

Можно воспользоваться формулой: tg φ = = = ∞, φ = .

Задания для самостоятельного решения

1. Найти угол между прямыми: а) 3 х + 2 у – 1 = 0 и 5 х – у + 4 = 0; б) у = 3,5 х – 3 и 7 х – 2 у + 2= 0;

в) х + 4 у + 10 = 0 и 5 у – 3= 0.

 

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

а) 3 х + 5 у – 9 = 0 и 10 х – 6 у + 4 = 0; б) 2 у = х – 1 и 4 у – 2 х + 2= 0; в) х + у = 0 и х – у = 0;

г) 2 х + 3 у = 8 и х + у – 3 = 0.

 

Пример 2. Через точку пересечения 3 х – 2 у + 5 = 0, х + 2 у – 9= 0 проведена прямая, параллельная прямой 2 х + у + 6 = 0. Составить ее уравнение.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (-1, 2):

а) параллельно прямой у = 2 х – 7; б) перпендикулярно прямой х + 3 у - 2 = 0.

 

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку В (2, -3):

а) параллельно прямой, соединяющей точки М ₁ (- 4, 0) и М ₂ (2, 2);

б) перпендикулярно прямой х – у = 0.

 

Пример 3. Найти координаты точки М _2, симметричной точке М ₁ (- 3, 4) относительно

прямой 4 х – у – 1 = 0.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Точка А (2, -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой

х – 2 у – 7 = 0. Найти площадь этого квадрата.

 

2. Две стороны квадрата лежат на прямых 5 х – 12 у – 65 = 0 и 5 х – 12 у + 26 = 0. Найти площадь квадрата.

 

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (1, 2) так, чтобы расстояние от этой прямой до точек М ₁ (2, 3) и М ₂ (4, -5) были бы равны.

 

Пример 4. Написать уравнение прямой l ₂, проходящей через точку А (0, 2) под углом ^p /₄ к

прямой l ₁: х – 2 у + 3 = 0.

Смешанные задачи на прямую

Задания для самостоятельного решения

1. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2 х + у + 4 = 0, х + 7 у – 11 = 0 и

3 х – 5 у – 7 = 0.

 

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (- 2, 1):

а) параллельно оси Оу;

б) образующей с осью Ох угол ³/ ₄ p;

в) перпендикулярно вектору а = { 4; 2 };

г) параллельно биссектрисе первого координатного угла;

д) перпендикулярно прямой 6 х – у + 2 = 0;

е) отсекающей на оси Оу отрезок длиной 5.

 

3. Дан четырехугольник ABCD с вершинами А (3, 5), B (6, 6), C (5, 3), D (1, 1). Найти:

а) координаты точки пересечения диагоналей;

б) угол между диагоналями.

 

4. Луч света, пройдя через точки А (4, 6) и B (5, 8), упал на прямую х – 2 у + 2 = 0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч.

 

5. Известны вершины треугольника А (-4, -2), B (0, 1), C (2, -1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины В.

 

6. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки А (-1, 2) на прямую

3 х – 5 у – 21 = 0.

 

7. Дан треугольник с вершинами в точках А (2, 5), B (5, -1), C (8, 3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х + у + 4 = 0.

 

8. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба: х + 2 у – 4 = 0,

х + 2 у – 10 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х – у + 2 = 0. Найти координаты

вершин ромба.

 

9. Дан треугольник ABC с вершинами в точках А (2, 5), B (5, -1), C (8, 3). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

 

10. Даны две вершины равносторонненго треугольника ABC: А (-6, 0), B (0, 0). Найти

координаты третьей вершины С.

 

11. Даны вершины треугольника ABC: А (2, -2), B (3, 5), C (6, 1). Найти:

а) длины сторон АС и ВС;

б) уравнения прямых, на которых лежат стороны АС и ВС;

в) уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки В;

г) длину этой высоты;

д) уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки А;

е) длину этой медианы;

ж) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С;

з) центр тяжести треугольника;

и) площадь треугольника;

к) угол С.