Различные виды уравнения прямой

Каждая прямая на плоскости Оху определяется линейным уравнением первой степени с

двумя неизвестными. Обратно, каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

 

y = kx + b.

Здесь: k – угловой коэффициент прямой (тангенс угла α,

который прямая образует с положительным направлением

оси Ох, k = tg α), b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

1. Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0.

Вектор = { A; B } – нормальный вектор прямой (

перпендикулярен прямой).

 

Частные случая уравнения:

 

Ах + Ву = 0 (С = 0) – прямая проходит через начало координат;

Ах + С = 0 (В = 0) – прямая параллельна оси Оу;

Ву + С = 0 (А = 0) – прямая параллельна оси Ох;

Ах = 0 (В = С = 0) – прямая совпадает с осью Оу;

Ву = 0 (А = С = 0) – прямая совпадает с осью Ох.

1. Уравнение прямой в отрезках: = 1.

а и b – длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно.

 

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

y – y ₀ = k (x – x ₀)

 

k = tg α (α – угол, образуемый прямой с осью Ох); (x ₀; у ₀) – координаты данной точки.

 

5. Уравнение y – y ₀ = k (x – x ₀) называют также уравнением пучка прямых с центром в точке (x ₀; у ₀).

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0 имеет вид:

 

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ + λ (А ₂ х + В ₂ у + С ₂) = 0,

 

где λ – числовой множитель.

 

1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

М ₁(x ₁; у ₁) и М ₂(x ₂; у ₂):

 

Если x ₁= x ₂, то уравнение будет иметь вид: x = x ₁; если у ₁= у ₂, то у = у ₁.

1. Нормальное уравнение прямой:

 

x cos α + y sin α – p = 0,

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала

координат на прямую, α – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Общее уравнение прямой можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена С (в общем уравнении прямой).

 

1. Уравнение прямой в полярных координатах:

r cos (φ – α) = p.

Пример 1. Построить прямую, заданную уравнением 2 х – у – 4 = 0.

 

1. Для построения прямой достаточно знать координаты двух ее

произвольных точек Полагаем, например, в уравнениии прямой х = 0,

получим у = - 4Þ имеем одну точку А (0, - 4). Полагая х = 1,

получим у = - 2Þ вторая точка В (1, - 2). Построим точки А и В

и проведем через них прямую (рис.).

 

2. Задачу можно решить с помощью уравнения прямой в отрезках.

Приведем уравнение к виду (3). Для этого перенесем свободный член (-4)

в правую часть уравнения и разделим обе его части на 4.

Получаем 2 х – у = 4, – = 1, т.е. + = 1 – уравнение прямой в отрезках. На оси Ох от начала

координат отложим 2 единицы вправо; на оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях, через которую проводим прямую (рис.).

 

Задания для самостоятельного решения

1. Записать уравнение прямой у = 2 х – 3 в отрезках и построить ее.

 

2. Определить, при каком значении a прямая (a ² – a) х + (2 + a) у – 3 a + 1 = 0

 

а) параллельна оси Ох; б) проходит через начало координат.

 

3. Найти k из условия, что прямая у = k х + 2 удалена от начала координат на расстоянии .

 

4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (-2, ²/₅) и образующей с осью О х угол, равный arctg3.

 

Пример 2. Уравнение прямой 4 х – 3 у + 12 = 0 представить в различных видах (с угловым коэффициентом, в отрезнах, в виде нормального уравнения).

 

Для получения ур-ния прямой с угловым коэффициентом разрешим заданное уравнение относительно у. Получим: у = ⁴/₃ х + 4, здесь k = ⁴/₃, b = 4.

Для получения ур-ния прямой в отрезках перенесем свободный член С = 12 вправо и разделим обе части ур-ния на -12: Þ ^х /-₃ + ^у /₄ = 1 (а = –3, b = 4).

 

Задания для самостоятельного решения

1. Записать данное уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и нормальном виде и определить, на каком расстоянии от начала координат оно находится: а) 2 х – 3 у + 6 = 0, б) х + 2,5 = 0, в) у = х – 1, г) х + 5 у = 0.

 

Пример 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки

а) А (0, 2), В (-3, 7); б) А (2, 1), В (4, 1).

Задания для самостоятельного решения

1. Прямая проходит через точки А (2, 3) и В (-2, -1), пересекает ось Оу в точке С.

Найти координаты точки С.

 

2. Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки А (-2, -2) и В (-1, 6), и имеющая ординату, равную 22?

 

Пример 4. Из пучка прямых, определяемых уравнением у + 3 = k (x – 2), выделить ту, которая проходит через точку А (-2, 5).

 

Подставим координаты точки А в уравнение прямой: 5 + 3 = k (– 2– 2), получим 8 = – 4 k Þ

k = – 2. Следовательно, искомое уравнение прямой есть у + 3 = – 2 (x – 2) или 2 х + у –1 = 0.

 

Задание для самостоятельного решения

Найти прямую, принадлежащую пучку –4 х + 2 у + 1 + l (х – 3 у + 2) = 0 и проходящую через точку А (1, 0). Написать ее уравнение.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение прямой:

а) образующей с осью Ох угол ^p /₃ и пересекающей ось Оу в точке (0, - 6);

б) параллельной оси Ох и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 2;

с) отсекающей на осях координат, отрезки, равные 3 и 4.