Аналитическая геометрия (семинары)

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (СЕМИНАРЫ)

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

 

Расстояние между двумя точками А (x ₁, y ₁) и В (x ₂, y ₂) на плоскости:

 

.

 

Расстояние между двумя точками А (x ₁, y ₁, z ₁) и В (x ₂, y ₂, z ₂) в пространстве:

 

.

 

Координаты (x, y) точки М, делящей в заданном отношении λ ₁ : λ ₂ отрезок АВ, где А (x ₁, y ₁) и В (x ₂, y ₂) : .

Координаты (x, y) точки М, делящей в заданном отношении λ ₁ : λ ₂ отрезок АВ, где А (x ₁, y ₁, z ₁) и В (x ₂, y ₂, z ₂) : .

В частности, при λ ₁ = λ ₂(точка М делит отрезок АВ пополам):

.

1. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярная система координат задается

точкой О, называемой полюсом, лучом Ор,

называемым полярной осью, и единичным

вектором ē того же направления, что и луч Ор.

Положение точки М на плоскости определяется

двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и

углом φ, образованном отрезком ОМ с полярной осью

и отсчитываемым в положительном направлении.

Числа r и φ называются полярными координа-

тами точки М: r называют полярным радиусом,

φ – полярным углом (0 ≤ r ≤ +∞, 0 ≤ φ ≤ 2 π).

 

Связь между полярными и прямоугольными координатами:

 

Определяя величину φ следует (по знакам х и у) определить четверть, в

которой лежит точка М, и учитывать, что - π < φ ≤ π.

 

 

1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых

Под углом между прямыми l ₁ и l ₂ плоскости

понимается наименьший (острый) из двух смежных

углов, образованных этими прямыми.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэф-

фициентом y = k ₁ x + b ₁и y = k ₂ x + b ₂,

то угол φ между ними равен: tg φ = .

Условие параллельности прямых l ₁ и l ₂: k ₁ = k ₂ .

Условие перпендикулярности прямых l ₁ и l ₂: k ₁ = – (или k ₁ k ₂ = – 1).

Если прямые l ₁ и l ₂ заданы общими уравнениями А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0,

то угол φ между ними равен углу между их нормальными векторами = { A ₁; B ₁} и

= { A ₂; B ₂}:

tg φ = .

 

Условие параллельности прямых l ₁ и l ₂: (или A ₁ B ₂ – А ₂ B ₁ = 0).

Условие перпендикулярности прямых l ₁ и l ₂: A ₁ А ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

 

Для нахождения общих точек прямых l ₁ и l ₂ необходимо решить систему уравнений

или

При этом:

если , то имеется единственная точка пересечения прямых;

если , прямые не имеют общей точки, т.е. параллельны;

если , прямые совпадают.

Расстояние от данной точки до данной прямой

 

Расстоянием d от точки М ₀ (x ₀; у ₀) до прямой Ах + Ву + С = 0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую:

d = .

 

Расстояние d от точки М ₀ (x ₀; у ₀) до прямой х cos α + у sin α – p = 0:

 

d = | х ₀cos α + у ₀sin α – p |.

 

Пример 1. Найти угол между прямыми:

 

1) у = 2 х – 3 и у = ¹¤₂ х + 5; 2) 2 х – 3 у + 10 = 0 и 5 х – у + 4= 0; 3) у = ³¤₄ х – 2 и 8 х + 6 у + 5 = 0.

1) Имеем: tg φ = = = = , φ = arctg (φ ≈ 37º);

2) tg φ = = = = 1, φ = .

3) Здесь k ₁ = , найдем k ₂. Для этого перейдем от 6 у = – 8 х – 5 к эквивалентному равенству

у = – х – . Здесь k ₂ = – . Т.к. k ₁ · k ₂ = – 1, то данные прямые перпендикулярны.

Можно воспользоваться формулой: tg φ = = = ∞, φ = .

Задания для самостоятельного решения

1. Найти угол между прямыми: а) 3 х + 2 у – 1 = 0 и 5 х – у + 4 = 0; б) у = 3,5 х – 3 и 7 х – 2 у + 2= 0;

в) х + 4 у + 10 = 0 и 5 у – 3= 0.

 

2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

а) 3 х + 5 у – 9 = 0 и 10 х – 6 у + 4 = 0; б) 2 у = х – 1 и 4 у – 2 х + 2= 0; в) х + у = 0 и х – у = 0;

г) 2 х + 3 у = 8 и х + у – 3 = 0.

 

Пример 2. Через точку пересечения 3 х – 2 у + 5 = 0, х + 2 у – 9= 0 проведена прямая, параллельная прямой 2 х + у + 6 = 0. Составить ее уравнение.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (-1, 2):

а) параллельно прямой у = 2 х – 7; б) перпендикулярно прямой х + 3 у - 2 = 0.

 

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку В (2, -3):

а) параллельно прямой, соединяющей точки М ₁ (- 4, 0) и М ₂ (2, 2);

б) перпендикулярно прямой х – у = 0.

 

Пример 3. Найти координаты точки М _2, симметричной точке М ₁ (- 3, 4) относительно

прямой 4 х – у – 1 = 0.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Точка А (2, -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой

х – 2 у – 7 = 0. Найти площадь этого квадрата.

 

2. Две стороны квадрата лежат на прямых 5 х – 12 у – 65 = 0 и 5 х – 12 у + 26 = 0. Найти площадь квадрата.

 

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (1, 2) так, чтобы расстояние от этой прямой до точек М ₁ (2, 3) и М ₂ (4, -5) были бы равны.

 

Пример 4. Написать уравнение прямой l ₂, проходящей через точку А (0, 2) под углом ^p /₄ к

прямой l ₁: х – 2 у + 3 = 0.

Смешанные задачи на прямую

Задания для самостоятельного решения

1. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2 х + у + 4 = 0, х + 7 у – 11 = 0 и

3 х – 5 у – 7 = 0.

 

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (- 2, 1):

а) параллельно оси Оу;

б) образующей с осью Ох угол ³/ ₄ p;

в) перпендикулярно вектору а = { 4; 2 };

г) параллельно биссектрисе первого координатного угла;

д) перпендикулярно прямой 6 х – у + 2 = 0;

е) отсекающей на оси Оу отрезок длиной 5.

 

3. Дан четырехугольник ABCD с вершинами А (3, 5), B (6, 6), C (5, 3), D (1, 1). Найти:

а) координаты точки пересечения диагоналей;

б) угол между диагоналями.

 

4. Луч света, пройдя через точки А (4, 6) и B (5, 8), упал на прямую х – 2 у + 2 = 0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч.

 

5. Известны вершины треугольника А (-4, -2), B (0, 1), C (2, -1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины В.

 

6. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки А (-1, 2) на прямую

3 х – 5 у – 21 = 0.

 

7. Дан треугольник с вершинами в точках А (2, 5), B (5, -1), C (8, 3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х + у + 4 = 0.

 

8. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба: х + 2 у – 4 = 0,

х + 2 у – 10 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х – у + 2 = 0. Найти координаты

вершин ромба.

 

9. Дан треугольник ABC с вершинами в точках А (2, 5), B (5, -1), C (8, 3). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

 

10. Даны две вершины равносторонненго треугольника ABC: А (-6, 0), B (0, 0). Найти

координаты третьей вершины С.

 

11. Даны вершины треугольника ABC: А (2, -2), B (3, 5), C (6, 1). Найти:

а) длины сторон АС и ВС;

б) уравнения прямых, на которых лежат стороны АС и ВС;

в) уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки В;

г) длину этой высоты;

д) уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки А;

е) длину этой медианы;

ж) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С;

з) центр тяжести треугольника;

и) площадь треугольника;

к) угол С.

1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Окружность

Окружность – множество всех точек плоскости,

удаленных от заданной точки А плоскости – центра окруж-

ности – на одно и то же расстояние R – радиус окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окруж-

ности (каноническое уравнение окружности):

 

(x – a)² + (y – b)² = R ²,

где (a, b) – координаты ее центра.

В частности, если a = 0, b = 0 (центр совпадает с началом координат), то уравнение окружности имеет вид:

x ² + y ² = R ².

 

Общее уравнение второй степени (1) определяет окружность, если

А = С ≠ 0 и В = 0.

 

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х ² + у ² – 4 х + 8 у – 16 = 0; а) 9 х ² + 9 у ² + 42 х – 54 у – 95 = 0.

 

а) Выделяем полные квадраты в левой части уравнения:

х ² + у ² – 4 х + 8 у – 16 = х ²– 4 х + 4 – 4 + у ² + 8 у + 16 – 16 – 16 = (х – 2)² + (у + 4)² = 6².

Центр окружности находится в точке О (2; -4), а радиус равен 6.

б) Разделив обе части уравнения на 9, найдем х ² + у ² + х – 6 у – = 0. Выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения: х ² + х + + у ² – 6 у + 9 – – 9 – = (х + )² + (у –3)² = 5².

Центр окружности находится в точке О (- ; 3), а радиус R = 5.

 

Задания для самостоятельного решения

Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х ² + у ² – 4 х + 6 у – 3 = 0; б) 3 х ² + 3 у ² + 6 х – 4 у – 2 = 0.

 

Пример 2. Написать уравнения касательных к окружности х ² + у ² – 6 х + 4 у – 12 = 0, проведенных из

точки М (0; 3).

 

Уравнения касательных должны иметь вид (в виде уравнений прямых с угловым коэффициентом) y = kx + 3. Уравнение окружности приведем к каноническому виду, выделяя полные квадраты по х и по у:

х ² + у ² – 6 х + 4 у – 12 => (х – 3)² + (у + 2)² = 25.

Для нахождения общих точек прямой и окружности надо решить систему уравнений

.

Имеем: (х – 3)² + (kx + 3 + 2)² = 25, т.е. х ²– 6 х + 9 + k ² x ² + 10 kx + 25 = 25, поэтому

(k ² + 1) x ² + (10 k – 6) x + 9 = 0. Т.к. прямая касается окружности, то это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен нулю, т.е. (5 k – 3)² – 9(k ² + 1) = 0, откуда k ₁ = 0, k ₂ = .

Значит, у = 3 и у = х + 3 – искомые уравнения.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку (-4; 2).

 

2. Найти уравнения касательных к окружности (х – 4)² + (у –2)² = 4, проведенных из начала координат.

 

3. Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 3 х + 4 у – 12 = 0,

4 х – 3 у + 12 = 0, у = 0.

 

Пример 3. Написать уравнение окружности, проходящей через точки (-1; 3), (0; 2), (1; -1).

 

Уравнение окружности ищем в виде (х – a)² + (у – b)² = R ². Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и R: . Из первых двух уравнений получаем (-1 – a)² + (3– b)² = a ² + (2– b)², т.е. 1 + 2 a + a ² + 9 – 6 b + b ² = a ² + 4 – 4 b + b ², поэтому a – b = – 3; из второго и третьего уравнений системы получаем a ² + (2– b)² = (1 – a)² + (-1– b)², отсюда a – 3 b = – 1. Решая систему уравнений , находим a = – 4, b = – 1. Подставляя эти значения a и b во второе уравнение первоначальной системы, находим: 16 + 9 = R ², т.е. R ² = 25.

Т.о., искомое уравнение есть (х + 4)² + (у +1)² = 25.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Написать уравнение окружности, если:

а) центр находится в точке С (-2; 0), а радиус R = 2;

б) центр лежит в точке С (-4; 5) и окружность проходит через точку М (-1; 1);

в) концы одного из диаметров имеют координаты (0; 4) и (6; 0).

 

3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 5), В (5; -1), если ее центр лежит на прямой х – у – 2 = 0.

 

 

Эллипс

Эллипс – множество точек плоскости, сумма

расстояний от каждой из которых до двух данных

точек – фокусов эллипса – величина постоянная,

большая, чем расстояние между фокусами.

 

Каноническое уравнение эллипса:

+ = 1, (2)

а – большая полуось, b – малая полуось эллипса.

Координаты фокусов: F ₁(- c; 0), F ₂(c; 0), где с – половина расстояния между фокусами. Числа a, b и c связаны соотношением: с ² = а ² – b ².

Точки A, B, C, D – вершины эллипса, точка О – центр эллипса, расстояния r ₁ и r ₂ от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение ε = (ε < 1, т.к. с < а).

 

Фокальные радиусы: r ₁= а + εх, r ₂= а – εх (r ₁ + r ₂ = 2 а).

 

Директрисами эллипса называются прямые l ₁ и l ₂ параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном ; уравнения директрис: х = - , х = .

Если а = b, то уравнение (2) определяет окружность x ² + y ² = а ².

Если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид,

изображенный на рисунке. В этом случае:

b > a, с ² = b ² – a ², ε = , уравнения директрис у = .

Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным:

+ = 1,

где (х ₀; у ₀) – координаты центра эллипса.

 

Параметрические уравнения эллипса: , t [0; 2 π ].

t – угол между осью Ох и прямой ОМ, соединяющей центр

эллипса с его точкой М.

 

Пример 4. Показать, что уравнение 4 х ² + 3 у ² – 8 х + 12 у – 32 = 0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.

 

Преобразуем данное уравнение кривой (выделяем полные квадраты по х и по у в левой части уравнения):

 

4 х ² + 3 у ² – 8 х + 12 у – 32 = 4(х ²– 2 х + 1 – 1) + 3(у ² + 4 у + 4 – 4) – 32 = 4(х – 1)² + 3(у + 2)² = 48,

т.е. + = 1. Получили каноническое уравнение эллипса, центр симметрии которого имеет координаты (1; -2). Из уравнения находим: а ² = 12, а = 2 и b ² = 16, b = 4 (b > a). Поэтому

с = = = 2. Эксцентриситет эллипса ε = = .

Пример 5. Дано уравнение эллипса 24 х ² + 49 у ² = 1176. Найти

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет эллипса;

4) уравнения директрис и расстояние между ними;

5) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F ₁ равно 12.

Разделив правую и левую части уравнения на 1176, получим каноническое уравнение эллипса: + = 1.

1) Отсюда а ² = 49, b ² = 24, т.е. а = 7, b = 2 .

2) с = = = 5. Следовательно, F ₁ (-5; 0) и F ₂ (5; 0).

3) a > b = > ε = = .

4) Уравнения директрис имеют вид: х = ± = ± = ± .

Расстояние между ними d = – = = 19,6.

5) По формуле r ₁ = a + ε x находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки F ₁ равно 12:

12 = 7 + х, т.е. х = 7. Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек:

24 · 49 + 49 у ² = 1176, 49 у ² = 0, у = 0. Условию задачи удовлетворяет точка А (7; 0).

 

Задания для самостоятельного решения

1. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса

16 х ² + 25 у ² – 400 = 0.

 

2. Составить уравнение эллипса, зная, что:

1) его большая полуось равна 10 и фокусы суть F ₁ (-6; 0), F ₂ (10; 0).

2) a = 5, F ₁ (-3; 5), F ₂ (3; 5).

 

Пример 6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки А (2; - 4 ) и В (-1; 2 ).

 

Уравнение эллипса ищем в виде + = 1. Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим два уравнения для определения a и b: + = 1 и + = 1. Умножая второе уравнение на (-4) и складывая с первым, находим – = –3, т.е. b ² = 64. Подставляя полученное значения b ² в первое уравнение, получаем + = 1, откуда а ² = 16.

Т.о., искомое уравнение эллипса есть + = 1.

 

 

Задания для самостоятельного решения

1. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох,

симметрично относительно начала координат, если:

а) задана точка М (2 ; 1) эллипса и его малая полуось равна 2;

б) заданы две точки эллипса М ₁(0; 7) и М ₂(8; 0);

в) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26;

г) эксцентриситет равен ε = и заданы фокусы (±7; 0).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично

относительно начала координат, если:

а) М ₁(2 ; 0,4 ) и М ₂(- ; ) – точки эллипса;

б) точка М (3; -2 ) принадлежит эллипсу, ε = ;

в) 2 а = 20, ε = ;

г) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5.

 

Пример 7. Найти уравнение касательной к эллипсу + = 1 перпендикулярно прямой х – у + 50 = 0.

Уравнение касательной должно иметь вид (в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом) y = kx + с.

Угловой коэффициент k найдем из условия k · k ₁ = -1 перпендикулярности прямых, где k ₁ – угловой коэффициент прямой х – у + 50 = 0. Т.к. k ₁ = 1 (у = х + 50), то k = -1, уравнение касательной к эллипсу имеет вид у = – х + с. Общие точки прямой и эллипса находим, решая систему уравнений .

Получаем + = 1, т.е. 5 х ² – 8 сх + 4 с ² – 20 = 0. Уравнение имеет единственное решение (прямая касается эллипса, т.е. имеет с ним единственную общую точку) лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю, т.е. 64 с ² – 4 · 5(4 с ² – 20) = 0 или 4 с ² – 5(с ² – 5) = 0. Значит, есть два решения:

с ₁ = 5 и с ₂ = -5. Условию задачи удовлетворяют две касательные: у = – х + 5 и у = – х – 5.

 

Задания для самостоятельного решения

1. При каких значениях α прямая у = х – α пересекает эллипс х ² + 2 у ² – 4 = 0? Касается его?

 

2. Эллипс касается оси Оу в точке А (0; 2) и пересекает ось Ох в точках В (4; 0) и С (10; 0).

Составить уравнение эллипса, если оси его параллельны осям координат.

 

Пример 8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, а малая ось равна 2 .

Каждый из фокусов равноудален от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси.

 

Уравнение эллипса имеет вид + = 1, b > a. По условию задачи 2 а =2 , т.е. а = , и с = .

Т.к. с ² = b ² – a ², то получаем: = b ² – 3, т.е. b ² = 4. Т.о., уравнение эллипса есть + = 1.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оу, симметрично

относительно начала координат, если:

а) его полуоси равны 5 и 8;

б) 2 с = 24, ε = .

 

 

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плос-

кости, модуль разности расстояний от каждой из ко-

торых до двух заданных точек – фокусов, есть вели-

чина постоянная, меньшая, чем расстояние между

фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

– = 1, (3)

а – действ