Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка

1) Сфера радиуса R с центром в начале координат x ² + y ² + z ² = R ².

 

Уравнение (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R ² изображает сферу радиуса R с центром в точке М (a, b, c).

2) Эллипсоид с полуосями a, b, c и с центром в начале координат

.

При a = b = c = R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.

3) Однополостный гиперболоид с полуосями

a, b, c и осью Oz

 

4) Двуполостный гиперболоид с полуосями a, b, c и осью Oz

 

 

5) Параболоид эллиптический с параметрами a, b, р и

вершиной в начале координат

 

6) Параболоид гиперболический с параметрами a, b, р и

вершиной в начале координат

 

7) Конус эллиптический с вершиной в начале

координат и осью Oz

 

 

8) Цилиндры

 

 

Эллиптический

 

 

Гиперболический

Параболический y ² = 2 px.

 

Примечание. Если в каждом из приведенных канонических уравнений заменить

х = х – х ₀, у = у – у ₀, z = z – z ₀, где (х ₀, у ₀, z ₀) – фиксированные числа, то

новые уравнения представляют те же поверхности, полученные параллельным

сдвигом исходной поверхности на вектор = { х ₀, у ₀, z ₀}.

 

Метод параллельных сечений

Если задано уравнение той или иной поверхности, то для исследования ее формы и расположения относительно координатных осей обычно применяют метод параллельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Форма и размер полученных сечений позволяют выяснить геометрическую форму самой поверхности.

 

Пример 17. Составить уравнение сферы с центром в точке М (-5; 3; 2) и касающейся плоскости

2 х – 2 у + z – 4 = 0.

 

Для составления уравнения сферы нужен ее радиус. В данном случае R – расстояние от М ₀ до плоскости: d = = 6. Искомое уравнение: (х + 5)² + (у – 3)² + (z – 2)² = 36.

Задание для самостоятельного решения

Составить уравнение сферы с центром в точке М (0; 4; 0) и касающейся плоскости

2 х + 6 у – 3 z – 3 = 0.

 

Пример 18. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6 х – 3 у – 2 z – 35 = 0

и 6 х – 3 у – 2 z + 63 = 0, если ее центр расположен на прямой = = .

1) Определим точки М ₁ и М ₂ пересечения прямой с плоскостями (заметим, что прямая перпендикулярна плоскостям). Для этого параметрические уравнения прямой x = 11 + 6 t, y = –4 – 3 t, z = –3 – 2 t подставляем в уравнения плоскостей, находим t и возвращаемся к этим уравнениям:

6(11 + 6 t) – 3(–4 – 3 t) – 2(–3 – 2 t) – 35 = 0 => t = –1, М ₁(5; -1; -1). Аналогично находим М ₁(-7; 5; 3).

2) Центр сферы М ₀ – середина отрезка М ₁ М ₂: М ₀ (-1; 2; 1).

Радиус сферы R = = = 7.

Уравнение сферы (х + 1)² + (у – 2)² + (z – 1)² = 49.

 

Пример 19. Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки О (0; 0; 0), A (2; 0; 0),

B (1; 1; 0), C (1; 0; -1).

 

Уравнение сферы ищем в виде (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R ², где (a, b, c) – координаты центра и

R – радиус неизвестны. Подставляя координаты точек в уравнение сферы, получаем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

После возведения в квадрат, приведения подобных слагаемых получается система, из которой а = 1, b = 0, c = 0, R ² = 1. Т.о., уравнение сферы (x – 1)² + y ² + z ² = 1.

Задания для самостоятельного решения

Составить уравнение сферы, если:

1) точки А (3; -2; 6) и В (5; 2; -2) являются концами одного из ее диаметров;

 

2) имеет центр в точке М (5; 0; 3) и проходит через точку А (4; 1; -1);

3) имеет центр в точке М (2; 1; 3) и касается плоскости z = 6;

4) имеет центр в точке М (5; 2; -1) и касается плоскости 2 x – y + 3 z + 23 = 0;

5) она симметрична сфере (х – 1)² + (у – 3)² + (z + 4)² = 46 относительно плоскости

3 x + y – 2 z = 0;

6) она касается прямой = = в точке В (4; -3; 2).

 

Пример 20. Найти точки пересечения поверхности и прямой = = .

Параметрические уравнения прямой x = 4 t, y = –3 t, z = –2 + 4 t подставляем в уравнение однополостного гиперболоида и определим значение t: , (t – 1)² = 0, t _1,2 = 1. Следовательно, x = 4, y = –3, z = 2. Прямая имеет с гиперболоидом две совпадающие точки пересечения, т.е. прямая касается поверхности гиперболоида в точке М (4; -3; 2).

 

Пример 21. При каких значениях параметра р плоскость 2 х – 2 у – z = p касается сферы x ² + y ² + z ² = 81?

 

Если плоскость касается сферы, то расстояние от ее центра до плоскости равно радиусу сферы, т.е.

= 9. Отсюда | p | = 27, т.е. р = ± 27.

Задания для самостоятельного решения

1. Установить при каких m плоскость у + mz = 1 пересекает двуполостный гиперболоид

x ² + y ² – z ² = –1:

1) по эллипсу;

2) по гиперболе.

 

2. Установить при каких m плоскость mу + z = 2 пересекает эллиптический параболоид

у = :

1) по эллипсу;

2) по параболе.

 

Пример 22. Методом параллельных сечений исследовать поверхность,

определяемую уравнением .

1) Перепишем уравнение в виде и пересекаем поверхность плоскостями z = h параллельными координатной плоскости Оху. В сечениях получаются линии с уравнениями .

При |h| < 2 эти уравнения не имеют изображения (мнимые эллипсы); при h = ± 2 они изображают точки (0; 0; 2) и (0; 0; -2), а при |h| > 2 получаются эллипсы , где с = . С увеличением |h| увеличиваются и полуоси эллипсов 4 с и 3 с, т.е. эллипсы расширяются. Поверхность симметрична относительно плоскости Оху.

2) Перепишем уравнение поверхности в виде и пересечем ее вертикальными плоскостями у = l. При каждом l (-∞; +∞) соответствующие уравнения описывают гиперболы. В частности, при l = 0 получаем гиперболу , расположенную в плоскости Oxz.

3) Сечения поверхностями плоскостями х = r также гиперболы .

Но из пп. 1) и 2) уже можно сделать вывод о строении поверхности: она состоит из эллипсов, «нанизанных» на гиперболу (l = 0). Т.к. два сечения, параллельных Oxz и Oyz – гиперболы, а одно, параллельное Оху, – эллипс, то поверхность называется гиперболоидом эллиптическим; для уточнения – двуполостный, т.к. состоит из двух отдельных частей (над и под плоскостью Оху).

Задания для самостоятельного решения

1. Установить тип заданных поверхностей и построить их.

1) ; эллипсоид: a = 2, b = 4, c = 9.

2) x ² + y ² – 4 z ² = –1; двуполостный гиперболоид с осью Оz.

3)3 x ² + y ² = 2 а (z – 2); эллиптический параболоид с вершиной в точке (0; 0; 2) и

направленный «вверх» при a > 0; «вниз» при a < 0; ось Ох, если а = 0.

4) 2 у = x ² – ; параболоид гиперболический.

5) y ² = 15 z; цилиндр параболический с образующей, параллельной оси Ох.

6) z = 5 – x ² – y ²; параболоид круговой с вершиной в точке (0; 0; 5), направленный

«вниз»

7) x ² – 9 y ² = 4 z ²; конус эллиптический с осью Ох.

8) x ² = 5 y – 1; цилиндр параболический с образующей, параллельной оси Оz.

9) 2 x ² – 4 x + y ² – 6 y – z ² = 0; однополостный гиперболоид.

10) 2 x ² – 7 y ² + 11 z ² = 0; конус с осью Оу.

11) x + 2 = y ² – 3 y + 3 z ² + 6 z; параболоид эллиптический x + = (y – 3/2)²+ 3(z + 1)²,

направленный в положительном направлении оси Ох.

12) x ² = y z. конус (поворот плоскости Оуz на 45º формулами у = у ₁ – z ₁,

z = у ₁ + z ₁ приводит к уравнению x ² – у ₁² + z ₁² = 0).