Нормальное уравнение плоскости.

 

Положение плоскости вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра , опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра

Пусть , а – углы, образованные единичным вектором с осями и ; Возьмем на плоскости произвольную точку и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно : , т.е. или – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Записав его в координатах получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме:

.

Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному уравнению так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель

где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения плоскости.

 

БИЛЕТ №30.

Нахождение расстояния от точки до плоскости.

 

 

БИЛЕТ №31.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями.

 

Расстояние между двумя параллельными плоскостями выражается формулой:

Координаты точек нам неизвестны, да их и не нужно знать, поскольку перпендикуляр между плоскостями можно протянуть в любом месте.

 

БИЛЕТ №32.

Нахождение угла между плоскостями.

 

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двухгранных угла и любой из этих углов можно считать углом между плоскостями. Иными словами, острый или тупой угол получится – не имеет значения.

Обозначим угол между плоскостями через :

Наклон плоскости однозначно определяется её вектором нормали, поэтому угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью обыденной формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов:

Распишем формулу в коэффициентах:

 

БИЛЕТ №33.

Условие перпендикулярности плоскостей.

 

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

 

БИЛЕТ №34.

Общее уравнение прямой в пространстве.

 

Общее уравнение прямой в пространстве выводится из условия задания прямой, как пересечения двух плоскостей:

 

БИЛЕТ №35.

Каноническое уравнение прямой.

 

 

БИЛЕТ №36.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

 

 

или

(скорее 2)

 

 

 

БИЛЕТ №37.

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданные две точки.

 

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M2 (x 2, y 2, z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х2 и х = х 1, если х 1 = х2.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

 

БИЛЕТ №38.

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

 

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости .

Решение.

Подставим в уравнение плоскости выражения :

Находим координаты точки пересечения прямой и плоскости по параметрическим уравнениям при :

Ответ:

(3, 0, -1).

 

Пример.

Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем метод Гаусса. Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.

Ответ:

прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.

 

БИЛЕТ №39.