По заданным уравнениям её движения»

 

Для закрепления теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание К 1.

По заданным уравнениям движения точки М (табл. 2.1) установить вид её траектории и для момента времени t₁ найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Таблица 2.1

 

Номер варианта	Уравнения движения	t1, c
X = X(t), см	Y = Y(t), см
	– 2·t^2 + 3	– 5·t	0,5
	4·cos^2·(p·t/3) + 2	4·sin^2·(p·t/3)
	– cos(p·t^2/3) + 3	sin(p·t^2/3) – 1
	4·t + 4	– 4·(t + 1)
	2·sin(p·t/3)	– 3·cos(p·t/3) + 4
	3·t^2 + 2	– 4·t	0,5
	3·t^2 – t + 1	5·t^2 – 5·t/3 – 2
	7·sin(p·t^2/6) + 3	2 – 7·cos(p·t^2/6)
	– 3/(t + 2)	3·t + 6
	– 4·cos(p·t/3)	– 2·sin(p·t/3) – 3
	– 4·t^2 + 1	– 3·t	0,5
	5·sin^2·(p·t/6)	– 5·cos^2·(p·t/6) – 3
	5·cos(p·t^2/3)	– 5·sin(p·t^2/3)
	– 2·t – 2	– 2/(t + 1)
	4·cos(p·t/3)	– 3·sin(p·t/3)
	3·t	4·t^2 + 1	0,5
	7·sin^2·(p·t/6) – 5	– 7·cos^2·(p·t/6)
	1 + 3·cos(p·t^2/3)	3·sin(p·t^2/3) + 3
	– 5t^2– 4	3t
	2 – 3·t – 6·t^2	3 – 3·t/2 – 3·t^2

Окончание табл. 2.1

 

	6·sin(p·t^2/6) – 2	6·cos(p·t^2/6) + 3
	7·t^2 – 3	5·t	0,25
	3 – 3·t^2 + t	4 – 5·t^2 + 5·t/3
	– 4·cos(p·t/3) – 1	– 4·sin(p·t/3)
	– 6·t	– 2·t^2 – 4
	8·cos^2·(p·t/6) + 2	– 8·sin^2·(p·t/6) – 7
	– 3 – 9·sin(p·t^2/6)	– 9·cos(p·t^2/6) + 5
	– 4·t^2 + 1	– 3·t
	5·t^2 + 5·t/3 – 3	3·t^2 + t + 3
	2·cos(p·t^2/3) – 2	– 2·sin(p·t^2/3) + 3

2.13. Пример выполнения курсового задания К 1

 

 

Исходные данные: X = X(t) = 2·cos(p·t²/3) – 2; см. (1)

Y = Y(t) = – 2·sin(p·t²/3) + 3; см. (2)

t₁ = 1 c.

По заданным уравнениям движения точки на плоскости определить кинематические характеристики в момент времени t₁.

Решение.

1. Для определения траектории движения точки уравнения (1) и (2) связываются через параметр t. Уравнения (1) и (2) выразим в следующем виде:

X + 2 = 2·cos(p·t²/3); (1^I)

Y – 3 = – 2·sin(p·t²/3). (2^I)

Возведём в квадрат левые и правые части уравнений (1^I), (2^I) и сложим их.

(X + 2)² = (2·cos(p·t²/3))²; (1^II)

+

(Y – 3)² = (– 2·sin(p·t²/3))²_. (2^II)

После сложения уравнений (1^II), (2^II) получим

(X + 2)² + (Y – 3)² = (2·cos(p·t²/3))² + (– 2·sin(p·t²/3))² =

= 2²·((cos(p·t²/3))² + (sin(p·t²/3)))² = 2²·1 = 2².

При преобразованиях использована тригонометрическая формула sin²(α) + cos²(α) = 1. Полученное уравнение

(X + 2)² + (Y– 3)² = 2²

есть уравнение окружности (x – a)²+(y – b)² = r² c центром в точке с координатами (a, b). Построим график траектории движения точки (рис. 2.17).

 

2. Определение положения точки на траектории её движения в момент времени (t₁).

В уравнения (1) и (2) подставляем время t₁.

X(t₁) = 2·cos(p·(t₁)²/3) – 2 = 2·cos(p·(1)²/3) – 2 =

= 2·0,5 – 2 = 1,000 см < 0.

Y(t₁) = – 2·sin(p·(t₁)²/3) + 3 = – 2·sin(p·(1)²/3) + 3 =

= – 2·0,866 + 3 = 1,270 см > 0.

Точку с координатами (–1, 1,270) показываем на траектории её движения.

ВНИМАНИЕ!

Если точка не попала на траекторию её движения, то:

1) неверно определена траектория движения;

2) неверно подсчитаны значения координат точки.

3. Определение скорости точки.

Для определения скорости точки найдем производные по времени от соответствующих уравнений её движения:

= 2·(– sin(p·t²/3)·(2·p·t/3)) = (– 4·p/3)·(sin(p·t²/3))·t;

= – 2·(cos(p·t²/3)·(2·p·t/3)) = (– 4·p/3)·(cos(p·t²/3))·t.

Вычислим значения проекций , скорости на оси OX и OY в момент времени t₁:

(t₁) = (– 4·p/3)·(sin(p·(t₁)²/3))·t₁ =

=(– 4·3,14/3)·sin(p·1²/3)·1 = – 3,625 см/с < 0;

(t₁) = (– 4·p/3)·(cos(p·(t₁)²/3))·t₁ =

=(– 4·3,14/3)·cos(p·1²/3)·1 = – 2,093 см/с < 0.

Так как (t₁) и (t₁) меньше нуля, то векторы V _OX, V _OY направлены в стороны, противоположные векторам i, j. В выбранном масштабе наносим векторы V _OX, V _OY на чертёж (рис. 2.17).

На векторах V _OX, V _OY строим вектор V по правилу параллелограмма. Вектор скорости V направлен по касательной к траектории движения точки.

ВНИМАНИЕ!

Если вектор V направлен не по касательной к траектории движения, то:

1) неверно взяты производные , ;

2) неверно вычислены значения (t₁), (t₁).

 

Вычисляется модуль V скорости V в момент времени (t₁) по формуле

=

= = 4,186 см/с.

В ряде вариантов можно определить модуль скорости по формуле

= = =

= 4·p·t/3.

V(t₁) = 4·p·t₁/3 = 4·3,14·1/3 = 4,186 см/с.

4. Определение ускорения точки.

Находятся производные по времени от проекций , скорости на координатные оси OX, OY.

Так как проекция скорости на ось ОХ представляет собой произведение двух переменных ((– 4·p/3)·sin(p·t²/3) и t), то по правилу дифференцирования произведения получим

(– 8·p²/9)·cos(p·t²/3)·t² – (4·p/3)·sin(p·t²/3).

Аналогично

(8·p²/9)·sin(p·t²/3)·t² – (4·p/3)·cos(p·t²/3).

Определим и , подставляя в последние формулы значение времени t₁. Произведя расчеты, получим:

= – 8,020 см/с²; = 5,510 см/с².

Так как <0, то вектор a _OX направлен в сторону, противоположную орту i. Вектор a _OY направлен в ту же сторону, что и вектор j, так как >0. На векторах a _OX и a _OY строим вектор ускорения a. Вектор ускорения a всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

ВНИМАНИЕ!

Если ускорение a направлено не в сторону вогнутости траектории движения, то:

1) неверно взяты производные , ;

2) неверно вычислены значения , .

 

Определяется модуль ускорения по формуле

a (t₁) = = = 9,730 см/с².

5. Определение касательного и нормального ускорений.

На рис. 2.17 наносим подвижную систему отсчёта (ПСО). Разложим полное ускорение a на касательное а _oτ и нормальное а _on ускорения. Так как касательное ускорение а _oτ совпадает с направлением скорости V, то точка движется ускоренно. Модуль а _oτ касательного ускорения в момент времени t₁ находится по формуле

а _oτ(t₁) = | | = | (t₁)| =

= |((– 3,625)·(– 8,020) + (– 2,099)·5,510)/4,186| = 4,186 см/с².

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения величины скорости, поэтому его проекция на касательную может быть определена по формуле

= dV/dt = d(4pt/3)/dt = 4p/3 = 4·3,14/3 = 4,186 см/с² = const > 0.

Так как = const и направления а _oτ и V совпадают, то точка движется по окружности равноускоренно. а _oτ = = const.

Модуль нормального ускорения находится по формуле

а _on(t₁) = =

= = 8,780 см/с².

Из формулы а _on = V²/ρ определяется радиус кривизны траектории движения ρ(t₁) = V²(t₁)/(а _on(t₁)) = (4,186)²/8,780 = 2,0 см. Таким образом, радиус кривизны траектории движения равен радиусу окружности, по которому перемещается точка.

Результаты вычислений заносятся в таблицу.

Таблица

 

X(t1), см	Y(t1), см	, см/с	, см/с	, см/с^2	, см/с^2
– 1,00	1,27	– 3,63	– 2,09	– 8,02	5,51

 

Окончание таблицы

 

V(t1), см/с	а (t1), см/с^2	а oτ(t1), см/с^2	а on(t1), см/с^2	ρ(t1), см
4,19	9,73	4,20	8,78	2,00

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

 

1. Сформулировать определение термина «кинематика».

2. Сформулировать определение термина «механическое движение».

3. Записать уравнения движения точки в декартовой системе отсчёта (точка движется в пространстве).

4. Записать уравнения движения точки в декартовой системе отсчёта (точка движется в горизонтальной плоскости).

5. Записать уравнения движения точки в декартовой системе отсчёта (точка движется параллельно оси ОХ).

6. Записать уравнение траектории движения точки в декартовой системе отсчёта (точка движется в вертикальной плоскости OYZ).

7. Сформулировать определение термина «скорость».

8. Записать формулу для определения скорости точки через компоненты скорости в декартовой системе отсчёта.

9.Записать формулы для определения проекций скорости на координатные оси в декартовой системе отсчёта.

10. Записать формулу для определения модуля скорости через её проекции в декартовой системе отсчёта.

11. Записать формулы для определения направляющих косинусов при ориентации скорости в декартовой системе отсчёта.

12. Как направлена скорость точки по отношению к траектории её движения?

13. Сформулировать определение термина «ускорение».

14. Куда направлено ускорение точки по отношению к криволинейной траектории её движения?

15. Записать формулу для определения ускорения точки через компоненты ускорения в декартовой системе отсчёта.

16. Записать формулы для определения проекций ускорения на координатные оси в декартовой системе отсчёта.

17. Записать формулу для определения модуля ускорения через его проекции в декартовой системе отсчёта.

18. Записать формулы для определения направляющих косинусов при ориентации ускорения в декартовой системе отсчёта.

19. Записать уравнение равнопеременного прямолинейного движения точки в декартовой системе отсчёта.

20. Записать формулу равномерного прямолинейного движения точки в декартовой системе отсчёта.

21. Записать уравнение движения точки в естественных координатах.

22. Записать формулу для определения вектора скорости точки в естественных координатах.

23. При каком условии точка движется в сторону увеличения дуговой координаты?

24. При каком условии точка движется в сторону уменьшения дуговой координаты?

25. Записать формулу для определения модуля скорости в естественных координатах.

26. Записать формулу для определения вектора ускорения в естественных координатах.

27. Сформулировать определение термина «касательное ускорение».

28. Сформулировать определение термина «нормальное ускорение».

29. Записать формулу для определения вектора касательного ускорения.

30. Записать формулу для определения вектора нормального ускорения.

31. Записать формулу для определения модуля ускорения точки при естественном способе задания движения точки.

32. Записать формулу для определения модуля касательного ускорения с использованием проекций скорости и ускорения на координатные оси декартовой системы отсчёта.

33. Как движется точка, если проекции её скорости и ускорения на касательную совпадают по знакам?

34. Как движется точка, если проекции её скорости и ускорения на касательную не совпадают по знакам?

35. Что характеризует касательное ускорение?

36. Что характеризует нормальное ускорение?

37. Чему равен радиус кривизны траектории при прямолинейном движении точки?

38. При каких условиях происходит прямолинейное движение точки?

39. При каких условиях происходит равномерное криволинейное движение?

40. При каких условиях происходит неравномерное криволинейное движение?

41. Записать уравнение движения точки при векторном способе задания её движения.

42. Записать формулу для определения скорости точки при векторном способе задания её движения.

43. Записать формулу для определения ускорения точки при задании её движения векторным способом.

44. Записать уравнение равнопеременного движения точки в естественных координатах.

45. Записать уравнение равномерного движения точки в естественных координатах.