Определение реакций опор составных

Конструкций

 

 

Статически определимые задачи – задачи, в которых реакции внешних связей находятся из уравнений равновесия.

 

В таких задачах число неизвестных реакций равно числу уравнений равновесия, которые могут быть составлены для механической системы (рис. 1.60).

Дано: Р, М, q. Определить реакции внешних связей в точках А и В.

Порядок решения таких задач рассмотрен ранее, поэтому сразу же записывают уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил:

Σ + Σ = 0 = X_А – R_B·sin(α) = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – Q – P + Y_A + R_B·cos(α) = 0; (2)

Σ M_A(F _i^E) + Σ M_A(R _i^E) = 0 =

= – Q·1 – P·4 – M + R_B·sin(α)·3,5·tg(α) + R_B·cos(α)·7,5 = 0. (3)

Очевидно, что из трёх уравнений равновесия легко находятся реакции внешних связей X _A, Y _A, R _B.

Статически неопределимые задачи – задачи, в которых реакции внешних связей не могут быть найдены из уравнений статического равновесия, составленных для данной механической системы.

 

Для балки (рис. 1.61) можно составить только три уравнения равновесия, в которые входят четыре неизвестные реакции X _A, Y _A, X _B, Y _B.

Дано: Р, М, q. Определить реакции внешних связей в точках А и В.

Подробное решение такой задачи (статически неопределимой) рассматривается в курсе сопротивления материалов.

 

 

Алгоритм решения задач

На определение реакций внешних связей

Для составных конструкций

 

 

Существует целый класс задач на равновесие составной конструкции, которые могут быть решены методами статики твёрдого тела. Решение таких задач проводится по следующему алгоритму.

1. Выбирается система отсчёта.

2. Выделяется механическая система (составная конструкция), равновесие которой рассматривается.

3. К механической системе прикладываются активные нагрузки. Если задана распределённая нагрузка, то она приводится к сосредоточенной силе.

4. Согласно аксиоме связей внешние связи, наложенные на механическую систему, отбрасывают, и действие их заменяют соответствующими реакциями.

5. Записываются уравнения равновесия, соответствующие системе сил, действующей на составную конструкцию (система активных сил и реакций внешних связей).

6. Установив, что число неизвестных реакций внешних связей превышает число уравнений равновесия, составную конструкцию расчленяют по внутренним связям.

7. Рассматривают равновесие каждого из тел составной конструкции, которое находится в покое под действием активных сил, реакций внешних связей и реакций внутренних связей.

8. Для каждого из тел конструкции записывают соответствующие уравнения равновесия.

9. Полученную систему уравнений решают в наиболее удобной последовательности и находят неизвестные реакции внешних и внутренних связей.

Обычно при расчёте используются не все уравнения равновесия, составленные для механической системы и для каждого из тел в отдельности. Поэтому оставшиеся уравнения используют для проверки полученных результатов.

1.24. Варианты курсового задания С 3

«Определение реакций опор составной конструкции

(система двух тел)»

 

Методологию расчёта реакций внешних связей, наложенных на составную конструкцию, рассмотрим на примере выполнения курсового задания С 3, которое входит в контрольную работу обучающегося.

Конструкция состоит из двух тел. Определить реакции внешних связей, наложенных на составную конструкцию. Варианты расчётных схем конструкций и приложенные к ним нагрузки приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

 

Номер варианта	Расчётная схема	Исходные данные	Определяемые величины
		Р1 = 10 кН; Р2 = 10 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 6 кН; Р2 = 10 кН; М = 12 кН·м; q = 1 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?

 

 

Продолжение табл. 1.3

 

		Р1 = 8 кН; Р2 = 10 кН; М = 3 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 5 кН; Р2 = 12 кН; М = 4 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 6 кН; Р2 = 8 кН; М = 3 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 4 кН; Р2 = 6 кН; М = 10 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZB =? YВ =?

 

 

Продолжение табл. 1.3

 

		Р1 = 7 кН; Р2 = 8 кН; М = 15 кН·м; q = 2 кН/м	RA =? ZB =? YВ =? MВ =?
		Р1 = 8 кН; Р2 = 8 кН; М = 16 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 10 кН; Р2 = 10 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 10 кН; Р2 = 3 кН; М = 9 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?

Продолжение табл. 1.3

 

		Р1 = 12 кН; Р2 = 5 кН; М = 6 кН·м; q = 1 кН/м	RA =? ZB =? YВ =? MВ =?
		Р1 = 11 кН; Р2 = 3 кН; М = 8 кН·м; q = 4 кН/м	RA =? ZB =? YВ =? MВ =?
		Р1 = 10 кН; Р2 = 12 кН; М = 8 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 10 кН; Р2 = 2 кН; М = 12 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?

Продолжение табл. 1.3

 

		Р1 = 15 кН; Р2 = 10 кН; М = 5 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 16 кН; Р2 = 10 кН; М = 4 кН·м; q = 1 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 17 кН; Р2 = 3 кН; М = 6 кН·м; q = 6 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 18 кН; Р2 = 9 кН; М = 4 кН·м; q = 8 кН/м	XA =? YA =? XВ =? YВ =?

Продолжение табл. 1.3

 

		Р1 = 19 кН; Р2 = 7 кН; М = 12 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 20 кН; Р2 = 12 кН; М = 8 кН·м; q = 4 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 21 кН; Р2 = 10 кН; М = 12 кН·м; q = 6 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 22 кН; Р2 = 12 кН; М = 10 кН·м; q = 5 кН/м	XA =? YA =? MA =? RВ =?

Продолжение табл. 1.3

 

		Р1 = 23 кН; Р2 = 9 кН; М = 5 кН·м; q = 8 кН/м	RA =? ZB =? YВ =? MВ =?
		Р1 = 24 кН; Р2 = 10 кН; М = 12 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 25 кН; Р2 = 10 кН; М = 8 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 26 кН; Р2 = 16 кН; М = 6 кН·м; q = 6 кН/м	RA =? ZB =? YВ =? MВ =?

Окончание табл. 1.3

 

		Р1 = 27 кН; Р2 = 10 кН; М = 4 кН·м; q = 3 кН/м	ZA =? YA =? ZВ =? YВ =?
		Р1 = 28 кН; Р2 = 18 кН; М = 8 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 28 кН; Р2 = 20 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м	ZA =? YA =? MA =? RВ =?
		Р1 = 30 кН; Р2 = 20 кН; М = 6 кН·м; q = 1 кН/м	RA =? ZB =? YВ =? MВ =?

1.25. Пример выполнения курсового задания С 3

 

 

В качестве примера, иллюстрирующего порядок расчёта составной конструкции, рассматривается равновесие механической системы, состоящей из двух тел, соединенных между собой внутренним шарниром в точке D (рис. 1.62).

Дано: Р₁ = 2 кН; Р₂ = 4 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м.

Определить реакции внешних связей в точках А, В, С.

Решение.

Распределённая нагрузка интенсивностью q заменяется сосредоточенной силой Q, модуль которой равен:

Q = q·L = 2·4 = 8 кН.

К механической системе, состоящей из тел 1 и 2, приложены активные силы P ₁, P ₂, Q и активная пара сил с алгебраическим моментом М, а также реакции X _A, Y _A, R _B, R _c внешних связей. Так как система сил, действующих на совокупность тел 1 и 2 плоская произвольная, то составляются три уравнения равновесия.

Σ + Σ = 0 =

= P₁·cos(60^о) + P₂·sin(45^о) + X_A – R_B·sin(45^о) – R_c·sin(45^о) = 0; (1)

Σ + Σ = 0 =

= – Q – P₁·sin(60^о) – P₂·cos(45^о) + Y_A +

+ R_B·cos(45^о) + R_c·cos(45^о) = 0; (2)

Σ M_D(F _i^E) + Σ M_D(R _i^E) = 0 =

= Q·6 + P₁·sin(60^о)·2 + P₂·3 – М – Y_A·8 – R_B·6 + R_C·6 = 0. (3)

Так как имеются три уравнения равновесия, в которые входят четыре неизвестные реакции X _A, Y _A, R _B, R _C, то такая система уравнений не решается. Поэтому конструкцию расчленяют по внутренней связи в точке D и рассматривают равновесие каждого тела в отдельности.

На рис. 1.63 изображено тело 1, которое находится в покое под действием активных сил Q, P ₁, реакций внешних связей X _A, Y _A и реакций внутренних связей X _D, Y _D.

Следует отметить, что для тела 1 силы Q, P ₁, X _A, Y _A, X _D, Y _D являются внешними силами.

Система сил, действующая на тело 1, плоская произвольная, поэтому для неё составляется три уравнения равновесия.

Σ + Σ = 0 =

= 0 = P₁·cos(60^о) + X_A + X_D = 0; (4)

Σ + Σ = 0 =

= – Q – P₁·sin(60^о) + Y_A + Y_D = 0; (5)

Σ M_D(F _i^E) + Σ M_D(R _i^E) = 0 =

= Q·6 + P₁·sin(60^о)·2 – Y_A·8 = 0. (6)

На рис. 1.63 реакции X _D, Y _D внутренней связи показывают, как тело 2 действует на тело 1 в точке D.

Рассматривается равновесие тела 2, на которое действуют активная сила Р ₂, активная пара сил с алгебраическим моментом М, реакции R _B, R _C внешних связей в точках В и С и реакции X _D^I, Y _D^I внутренней связи в точке D (рис. 1.64).

Реакции X _D^I, Y _D^I показывают, как тело 1 действует на тело 2 в точке D. По аксиоме равенства действия и противодействия эти реакции направлены противоположно одноименным реакциям, показанным на рис. 1.63.

 

X _D = – X _D^I; Y _D = – Y _D^I; X_D = X_D^I; Y_D = Y_D^I.

По отношению к телу 2 активные нагрузки Р, М и реакции R _B, R _C, X _D^I, Y _D^I являются внешними нагрузками.

Таким образом, на тело 2 действует плоская произвольная система сил, поэтому составляют три уравнения равновесия. С целью сокращения формы записи уравнений равновесия использована система отсчёта OXY, одна из осей которой направлена вдоль стержня ВС.

Σ + Σ = 0 =

= – X_D^I·cos(45^о) – Y_D^I·cos(45^о) = 0; (7)

Σ + Σ = 0 =

= – P₂ + R_B + X_D^I·sin(45^о) – Y_D^I·sin(45^о) + R_c = 0; (8)

Σ M_D(F _i^E) + Σ M_D(R _i^E) = 0 =

= P₂·3 – M – R_B·6 + R_C·6 = 0. (9)

 

Таким образом, по рис. 1.62, 1.63, 1.64 составлено девять уравнений равновесия, в которые вошли шесть неизвестных реакций. С целью сокращения времени расчёта целесообразно использовать уравнения равновесия, составленные для тел 1 и 2 механической системы.

Из уравнения (6) определяется проекция реакции Y _A на координатную ось OY:

Y_A = (Q·6 + P₁·sin(60^о)·2)/8 = (8·6 + 2·0,866·2)/8 = 6,433 кН.

Из уравнения (5) имеем

Y_D = – Y_A + Q + P₁·sin(60^о) = – 6,433 + 8 + 2·0,866 = 3,299 кН.

Из уравнения (7) определяется проекция реакции X _D внутренней связи в точке D на координатную ось ОХ:

X_D = X_D^I = – Y_D = – 3,299 кН.

Из уравнения (4) определяется проекция реакции X _A на ось ОХ:

X_A = – P₁·cos(60^о) – X_D = – 2·0,5 – (–3,299) = 2,299 кН.

С учётом выражения (7) уравнения (8) и (9) несложно преобразовать в систему уравнений (8^I), (9^I):

R_B – P₂ + 2·X_D·cos(45^о) + R_C = 0; (8^I)

– R_B + P₂·(3/6) – (M/6) + R_C = 0. (9^I)

Складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение

– 0,5·P₂ – (M/6) + 2·X_D·cos(45^о) + 2·R_C = 0. (10)

Из уравнения (10) находим модуль реакции R_C:

 

R_C = (0,5·P₂ + (M/6) – 2·X_D·cos(45^о))/2 =

= (0,5·4 + (6/6) – 2·(– 2,299)·0,707)/2 = 3,832 кН.

 

Возвращаясь к уравнению (9^I), находим модуль реакции R_B:

 

R_B = P₂·(3/6) – (M/6) + R_C = 4·(3/6) – (6/6) + 3,832 = 4, 832 кН.

 

Таким образом, при совместном решении уравнений (4) – (9) определяются реакции X _A, Y _A, R _B, R _C внешних связей в точках А, В, С и реакции X _D, Y _D, X _D^I, Y _D^I внутренней связи механической системы в точке D.

Для проверки полученных результатов расчётов используются уравнения (1), (2), (3):

Σ + Σ = 0 =

= P₁·cos(60^о) + P₂·sin(45^о) + X_A – R_B·sin(45^о) – R_c·sin(45^о) = 0 =

= 2·0,5 + 4·0,707 + 2,299 – 4,832·0,707 – 3,832·0,707 = 0; (1)

Σ + Σ = 0 =

= – Q – P₁·sin(60^о) – P₂·cos(45^о) + Y_A +

+ R_B·cos(45^о) + R_c·cos(45^о) = 0 =

= – 8 – 2·0,866 – 4·0,707 + 6,433 +

+ 4,832·0,707 + 3,832·0,707 = 0; (2)

Σ M_D(F _i^E) + Σ M_D(R _i^E) = 0 =

= Q·6 + P₁·sin(60^о)·2 + P₂·3 – М – Y_A·8 – R_B·6 + R_C·6 = 0 =

= 8·6 + 2·0,866·2 + 4·3 – 6 – 6,433·8 – 4,832·6 + 3,832·6 = 0. (3)

 

Проверка показала, что расчёты проведены правильно.

Результаты проведенных расчётов помещают в таблицу.

Таблица

 

Проекции реакций внешних связей на координатные оси	Проекции реакции внутренней связи на координатные оси
XA, кН	YA, кН	RB, кН	RC, кН	XD, кН	YD, кН
2,299	6,433	4,832	3,832	–3,299	3,299

 

Таким образом, если необходимо определить реакции внешних связей для составной конструкции, то следует расчленить конструкцию по внутренней связи и рассмотреть равновесие каждого тела.

Для решения некоторых задач на составную конструкцию может быть использована теорема о равновесии трёх непараллельных сил.

Теорема. Линии действия трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.

На рис. 1.65 изображена составная конструкция из двух тел, соединённых между собой внутренним шарниром в точке D.

Дано. На тело 1 действует активная сила F. Тело 2 загружено только по его концам В и D. Исходя из этого, тело 2 можно считать невесомым стержнем.

Определить реакции внешних связей.

Решение. На механическую систему, состоящую из двух тел, действуют три взаимно уравновешивающиеся внешние силы: активная сила F и реакции R _A, R _B в шарнирно-неподвижных опорах А и В. Так как тело 2 является невесомым стержнем, то линия действия реакции R _B проходит по стержню 2. Линии действия силы F и реакции R _B пересекаются в точке C. Так как три силы F, R _A и R _B не параллельны и лежат в одной плоскости, то линия действия реакции R _A тоже должна проходить через точку C.

Система сил (F, R _A, R _B) уравновешенная, поэтому силовой треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнут (см. рис. 1.65). Для определения величин реакций используется теорема синусов:

 

F/sin(α+β) = R_B/sin(α) = R_A/sin(β).

 

Величина угла α находится из рис. 1.65 по формулам:

 

tg(α)= 2/6 = 0,333; α = arctg(0,333) = 18,434^o.

 

Величина угла β = 45^o. Это так же видно из рис. 1.65. Окончательно находим:

R_A = = = 31,633 кН;

R_В = = = 14,138 кН.

Действительное направление реакций R _A и R _B показано на силовом треугольнике.

Эту задачу можно решить и по изложенному ранее алгоритму. Однако такое решение требует больших расчётных работ.

 

 

Вопросы и задания для самоконтроля

 

 

1. Сформулировать определение понятия «статически определимые задачи».

2. Сформулировать определение понятия «статически неопределимые задачи».

3. Записать алгоритм решения задач статики для составных конструкций.

4. Сформулировать теорему о трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил.