Сферическое движение твёрдого тела

 

 

Рассмотрим движение тела, одна из точек которого во всё время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение называют сферическим движением твёрдого тела.

 

Сферическое движение твёрдого тела – движение, при котором скорость одной точки тела равна нулю, а остальные точки движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с этой неподвижной точкой.

 

Примером сферического движения тела служит движение волчка, имеющего неподвижную точку О₁ (рис. 2.51).

Для определения положения тела в каждый момент времени используют две системы отсчёта: неподвижная система отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ и подвижная система отсчёта OXYZ, которая жёстко закреплена на теле. При этом начало отсчёта ПСО совпадает с началом отсчёта НСО.

На рис. 2.51 стрелками показаны положительные направления отсчёта углов Ψ, φ, и θ. Рассмотрим подробнее порядок отсчёта этих углов. Плоскость OXY подвижной системы отсчёта OXYZ пересекается с плоскостью O₁X₁Y₁ неподвижной системы отсчёта O₁X₁Y₁Z₁ по линии O₁L. Эту линию называют осью узлов. Введём единичный вектор р, направленный от точки О₁ к точке L оси узлов. Единичные векторы i ₁, p лежат в горизонтальной плоскости O₁X₁Y₁ и образуют угол Ψ, величина которого зависит от времени. Ψ = f₁(t). Положительное направление отсчёта угла Ψ определяют по правилу: смотря навстречу вектору k ₁, поворот вектора i ₁ к вектору р должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы k ₁, k образуют плоскость, в которой находится угол θ, который также зависит от времени. θ = f₂(t). Положительное направление отсчёта угла θ определяют по правилу: смотря навстречу вектору i, поворот вектора k ₁, к вектору k должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Единичные векторы р, i образуют плоскость, в которой лежит угол φ, величина которого зависти от времени. φ = f₃(t). Правило положительного направления отсчёта угла φ: смотря навстречу вектору j, поворот вектора р к вектору i должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.

Углы Ψ, θ, φ называют также эйлеровыми углами:

угол Ψ – угол прецессии;

угол θ – угол нутации;

угол φ – угол собственного вращения.

Так как положение тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется тремя эйлеровыми углами, т. е. тремя параметрами, то оно имеет три степени свободы.

Таким образом, сферическое движение тела описывается тремя уравнениями движения:

Ψ = f₁(t); θ = f₂(t); φ = f₃(t).

При сферическом движении широко используют теорему Эйлера-Даламбера.

Твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку (рис. 2.52).

Другими словами, тело может вращаться относительно мгновенной оси вращения.

Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

 

В случае сферического движения вектор угловой скорости Ω в данный момент времени откладывается от неподвижной точки О по мгновенной оси в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела, происходящим против хода часовой стрелки.

Tело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку. Примером такого движения является качение подвижного конуса 1 по неподвижному конусу 2 (рис. 2.53). Покажем на рисунке направление вектора мгновенной угловой скорости и запишем формулу для определения модуля скорости точки С подвижного конуса.

Так как скорость V _О точки О конуса 1 равна нулю, то этот конус совершает сферическое движение. Такое движение можно представить как вращательное движение относительно мгновенной оси вращения. Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Для тела 1 мгновенной осью вращения является ось ОК (см. рис. 2.53).

Вектор Ω угловой скорости тела 1 откладывается на мгновенной оси вращения в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела, происходящим против хода часовой стрелки.

Модуль V_C скорости точки С конуса 1 определяют по формуле

V_C = Ω·CL,

где CL – кратчайшее расстояние от точки С тела 1 до мгновенной оси вращения.

Для заочной и дистанционной форм обучения выполнение контрольных работ на сферическое движение не предусмотрено. Однако такие задачи довольно часто встречаются в дидактических единицах интернет–экзамена. Приведём примеры решения задач такого типа.

Пример 1.

Подвижный конус катится по неподвижной горизонтальной плоскости O₁X₁Y₁, имея неподвижную точку О₁ (рис. 2.54).

Запишите номер вектора, по которому направлена мгновенная угловая скорость вращения.

 

Ответ. Мгновенная угловая скорость вращения Ω совпадает с направлением 1.

 

Пример 2.

Подвижный конус 1 катится без проскальзывания по неподвижному конусу 2, так, что модуль угловой скорости вращения оси О₁С относительно оси О₁С₁ неподвижного конуса постоянен и равен ω₁ рад/с (рис. 2.55).

 

(Для справки: sin(15^o) = cos(75^o) = 0,26; sin(75^o) = cos(15^o) = 0,96).

Мгновенная угловая скорость подвижного конуса равна …

Варианты ответов: Ω = 1,9ω₁ рад/с; Ω = 2,7ω₁ рад/с; Ω = 0,52ω₁ рад/с; Ω = 0,35ω₁ рад/с; Ω = 0,7ω₁ рад/с.

Решение.

Модуль скорости точки С при вращении оси О₁С относительно оси О₁С₁ определим по формуле V_C = ω₁·CM = ω₁·O₁C·sin(30^o) (рис. 2.56).

Конус 1 вращается относительно мгновенной оси О₁D вращения с угловой скоростью Ω. Исходя из этого, модуль V_C скорости точки С конуса 1 равен

V_C = Ω·CL = Ω·R·cos(15^o) = Ω·(O₁C·tg(15^o))·cos(15^o) =

= Ω·O₁C·(sin(15^o)/cos(15^o))·cos(15^o) = Ω·O₁C·(sin(15^o).

Тогда

V_C = ω₁·O₁C·sin(30^o) = Ω·O₁C·(sin(15^o)).

Решая последнее равенство, получим

Ω = ω₁·(sin(30^o)/sin(15^o)) = ω₁·(0,5/0,26) = 1,93 рад/с.

Правильный ответ: Ω = 1,93 рад/с.

 

Пример 3.

Подвижный конус 1 катится без проскальзывания по неподвижному конусу 2, так, что модуль угловой скорости вращения оси ОС относительно оси ОС₁ неподвижного конуса постоянен и равен ω₁ рад/с (рис. 2.57).

(Для справки: sin(15^o) = cos(75^o) = 0,26; sin(75^o) = cos(15^o) = 0,96).

Если известны углы и радиус основания R = 1 м, то мгновенная угловая скорость подвижного конуса 1 равна …

Варианты ответов: Ω = 0,73·ω₁ рад/с; Ω = 0,52·ω₁ рад/с; Ω = 0,28·ω₁ рад/с; Ω = 1,37·ω₁ рад/с; Ω = 1,92·ω₁ рад/с.

Решение.

Модуль скорости точки С при вращении оси ОС относительно оси ОС₁ определим по формуле V_C = ω₁·CM = ω₁·OC·sin(75^o) (рис. 2.58).

 

Конус 1 вращается относительно мгновенной оси О₁D вращения с угловой скоростью Ω. Исходя из этого, модуль V_C скорости точки С конуса 1 равен

V_C = Ω·CL = Ω·(OC)·sin(45^o).

Тогда

V_C = ω₁·OC·sin(75^o) = Ω·OC·sin(75^o).

Решая последнее равенство, получим

Ω = ω₁·(sin(75^o)/sin(45^o)) = ω₁·(0,96/0,707) = 1,37·ω₁ рад/с.

Правильный ответ: Ω = 1,37·ω₁ рад/с.